Pochodne funkcji wielu

zmiennych

1.06.21

2

Pochodne cząstkowe (I

rzędu)

• Jeśli funkcja f zależy od kilku zmiennych

(2,3,...,n) tzn. f = f(x

1

, x

2

, ... ,x

n

) to można

obliczyć jej pochodną względem każdej z nich –
np. x

i

– traktując pozostałe jako stałe. Tak

wyznaczoną funkcję nazywamy

pochodną

cząstkową (I rzędu) funkcji f względem
zmiennej x

i

i oznaczamy

'

2

1

2

1

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

i

i

i

n

n

i

f

x

f

x

x

x

x

f

x

x

x

f















1.06.21

3

Pochodne cząstkowe cd.

• Przykłady pochodnych cząstkowych. Niech

f(x,y) = x

2

+ y

2

+ 2x – y.

• Wówczas:

1

2

2

2

















y

x

f

x

x

f

• Niech teraz

g(x,y) = x

3

+ x

2

y + 2xy

2

– y

3

.

• Wówczas

2

2

2

2

3

4

2

2

3

y

xy

x

x

g

y

xy

x

x

g





















1.06.21

4

Gradient i ekstrema

funkcji

• Wektor utworzony z pochodnych cząstkowych

funkcji f nazywamy

gradientem

i oznaczamy

grad f.

Tak więc dla przykładowych funkcji f i g mamy:
grad f = <2x + 2; 2y – 1>
grad g = < 3x

2

+ 2xy + 2y

2

; x

2

+4xy –3y

2

>.

• Inne oznaczenie - f (nabla).
• Gradient wskazuje kierunek największego

wzrostu (malenia) funkcji f w danym punkcie.

n

x

f

x

f

x

f

f

grad















,

...

,

,

2

1

1.06.21

5

Interpretacja gradientu

1.06.21

6

Interpretacja geometryczna

gradientu

2

2

( , ) 1

( , ) ( 2 , 2 )

f x y

x

y

f x y

x

y

F

V

= -

-

�

= -

-

=- �

r

r

r

Kierunek

najszybszego

wzrostu

1.06.21

7

Gradient i ekstrema

funkcji cd.

• Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w

pewnym obszarze i ma w nim
ekstremum w punkcie P=(P

1

, P

2

, ... , P

n

)

to gradient funkcji w tym punkcie jest
wektorem zerowym tj. wszystkie jego
współrzędne są równe 0. Wówczas



















0

,

...

,

0

,

0

)

,

...

,

,

(

,

...

,

,

2

1

2

1

n

n

P

P

P

x

f

x

f

x

f

f

grad

1.06.21

8

Pochodne cząstkowe II

rzędu

• Jeśli wyznaczona została pochodna

cząstkowa I rzędu (np. względem zmiennej
x

i

) i jest ona różniczkowalna, to jej

pochodną względem zmiennej x

j

nazywamy

pochodną cząstkową II rzędu funkcji f
względem zmiennych x

i

i x

j

i oznaczamy:

j

i

j

i

n

n

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

f

ij

















2

2

1

2

2

1

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

1.06.21

9

Pochodne cząstkowe II

rzędu cd.

• Przykłady pochodnych cząstkowych II rzędu. Dla
f(x,y) = x

2

+ y

2

+ 2x – y

mamy

:

x

y

f

y

x

f

y

f

y

y

f

x

f

x

x

f













































2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

2

• Analogicznie dla

g(x,y) = x

3

+ x

2

y + 2xy

2

– y

3

mamy:

x

y

g

y

x

y

x

g

y

x

y

g

y

y

g

y

x

x

g

x

x

g



















































2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

6

4

2

6

1.06.21

10

Pochodne cząstkowe II

rzędu cd.

• Oznaczenie.

Pochodne II rzedu liczone

względem tej samej zmiennej nazywamy

pochodnymi czystymi,

zaś pochodne

liczone względem różnych zmiennych –

pochodnymi mieszanymi

.

• Uwaga.

Dla podstawowych funkcji (klasy

C

2

) zachodzi równość

zatem pochodne mieszane liczymy tylko raz.

i

j

j

i

x

x

f

x

x

f















2

2

1.06.21

11

• Pochodne cząstkowe II rzędu funkcji f

zapisujemy w postaci macierzy, zwanej
hesjanem tej funkcji. Macierz ta ma
postać następującą:

Pochodne cząstkowe II

rzędu cd.

























































































































n

n

n

n

n

n

j

i

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

f

H

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

2

...

...

...

...

...

...

...

2

)

(

1.06.21

12

Pochodne cząstkowe II

rzędu cd.

•Dla funkcji dwóch zmiennych hesjan ma
postać:











































































y

y

f

x

y

f

y

x

f

x

x

f

y

x

f

y

x

f

H

2

2

2

2

2

))

,

(

(

1.06.21

13

Pochodne cząstkowe II

rzędu cd.

• Macierz HM

n

nazywamy

dodatnio

(ujemnie)

określoną jeśli spełniony

jest warunek:

i {1, 2, ... , n} Δ

i

> 0

((-1)

i

·Δ

i

> 0)

• gdzie Δ

i

jest wyznacznikiem macierzy:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

i

i

i

i

i

2

1

1

.

np

...

...

...

...

...

...

...

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

2

2

1

2

2
2

1

2

1

2

1

2

1

































































































































1.06.21

14

Pochodne cząstkowe II

rzędu cd.

• Twierdzenie: Jeśli gradient funkcji f wielu

zmiennych jest równy zero w punkcie P a
jej hesjan jest dodatnio (ujemnie)
określony w tym punkcie to f ma
minimum ( maximum) w tym punkcie.
Jeśli hesjan nie jest określony to
ekstremum nie ma

• Wniosek: funkcja f z przykładu ma

minimum
w punkcie (-1, 0.5), funkcja g nie ma
ekstremum w punkcie (0, 0).

1.06.21

15

Funkcja wklęsła

• Funkcję f: R

n

R nazywamy

wklęsłą

(wypukłą)

jeśli spełniony jest warunek:

x,y  R

n

, a,b  R

+

: a + b = 1

 f(ax + by)



(



)

af(x) + bf(y)

• Funkcję f: R

n

R nazywamy

silnie

wklęsłą

(silnie wypukłą)

jeśli dla x, y

różnych od zera nierówność jest ostra.

• Intuicyjnie funkcja jest wypukła

(wklęsła) jeśli jej wykres leży poniżej
(powyżej) powierzchni stycznej

1.06.21

16

Pochodne cząstkowe II rzędu

dok.

• Funkcję f, dwukrotnie różniczkowalną,

nazywamy

wklęsłą

(wypukłą)

w

obszarze W

jeśli jej hesjan jest

dodatnio

(ujemnie)

określony w tym obszarze.

• Wniosek: funkcja f jest wklęsła w R

2

(hesjan jest wszędzie dodatnio określony);
funkcja g nie jest ani wypukła ani wklęsła
w otoczeniu punktu (0, 0).

1.06.21

17

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Twierdzenie
Jeżeli funkcja f(x,y) ma w punkcie

(x

0

,y

0

) ekstremum lokalne oraz ma

w tym punkcie pochodne
cząstkowe rzędu pierwszego, to

0

)

,

(

'

)

,

(

'

0

0

0

0





y

x

f

y

x

f

y

x

1.06.21

18

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Jeżeli funkcja f(x,y) ma w otoczeniu punktu

(x

0

,y

0

) drugie pochodne cząstkowe oraz

spełnione są następujące warunki:

to w punkcie (x

0

,y

0

) funkcja f(x,y) ma

ekstremum.

0

)

,

)(

(

det(

.

3

0

)

,

(

'

.

2

0

)

,

(

'

.

1

0

0

0

0

0

0







y

x

f

H

y

x

f

y

x

f

y

x

1.06.21

19

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Jeżeli spełnione są warunki 1-3 oraz

To funkcja f(x,y) ma w punkcie

(x

0

,y

0

) minimum. W przeciwnym

wypadku – maksimum.

0

)

,

(

''

0

0



y

x

f

xx

1.06.21

20

Wyznaczyć ekstrema lokalne

funkcji:

• a)      f(x,y)=x

2

+y

2

-6xy-

38x+18y+20

• b)      f(x,y)=x

2

-2y

2

1.06.21

21

Znaleźć najmniejszą i największą

wartość funkcji:

a)   f(x,y)=x

2

+2xy-4x+8y w

prostokącie, którego boki znajdują
się na prostych x=0, y=0, x=1,
y=2