Wydział WiLiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Funkcje wielu zmiennych - ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Zad.1 Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

1.1 f (x, y) = x

2

+ 2y

2

− 2xy − 4x

1.2 f (x, y) = 3x

2

+ 4y

2

+ xy

1.3 f (x, y) = x

4

+ 8x

2

+ y

2

− 4y

1.4 f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

+ 12xy

1.5 f (x, y) = x

2

y + xy

2

− 6xy

1.6 f (x, y) = x

4

+ y

4

− 2x

2

+ 4xy − 2y

2

1.7 f (x, y) = x

3

+ y

3

− 3xy

1.8 f (x, y) = x

3

+ 8y

3

− 6xy + 5

1.9 f (x, y) = x

4

+ y

4

− 2(x − y)

2

1.10 f (x, y) = (x − y)

2

+ (y + 2)

3

1.11 f (x, y) = (x − 2y)e

xy

1.12 f (x, y) = e

2x

(x + y

2

+ 2y)

1.13 f (x, y) = xy +

2

x

+

1
y

1.14 f (x, y) = y − 4x −

1

x

+

1
y

1.15 f (x, y) = ln x + 3 ln y − xy − 4y

2

1.16 f (x, y) = 4 ln x + 24 ln y − 4x

2

y

3

+ 3x

1.17 f (x, y) = arctg (xy) + arctg x

1.18 f (x, y) = arctg (xy

2

) − arctg x

1.19 f (x, y) = ln(y

2

+ x) +

x

2

− y

1.20 f (x, y) = x − 2y + ln

p

x

2

+ y

2

+ 3arctg

y
x

1.21 f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

+ 2x − 4y − 6z

1.22 f (x, y, z) = xyz (5 − x

2

− y

2

− z

2

)

1.23 f (x, y, z) = x

3

+ y

2

+ z

2

+ 12xy + 2z

1.24 f (x, y, z) = xy

2

z

3

(7 − x − 2y − 3z)

Zad.2 Wyznacz ekstrema lokalne funkcji określonej w pierwszej ćwiartce układu:

2.1 f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 15x − 12y

2.2 f (x, y) = xy +

50

x

+

20

y

Zad.3 Wyznacz ekstrema lokalne funkcji określonej w obszarze x > 0, y > 0, z > 0:

3.1 f (x, y, z) = x +

y
x

+

z
y

+

2
z

3.2 f (x, y, z) = x +

y

2

4x

+

z

2

y

+

2
z

Zad.4 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f na zbiorze D :

4.1 f (x, y) = x

2

+ y

2

− xy − x − y,

D = { (x, y) : x > 0, y > 0, x + y 6 3 }

4.2 f (x, y) = x

2

y(4 − x − y),

D = { (x, y) : x > 0, y > 0, x + y 6 6 }

4.3 f (x, y) = (x

2

+ y

2

− 7)

2

+ 24x,

D =

 (x, y) : x

2

+ y

2

6 7

4.4 f (x, y) = 2x

2

− 2y

2

,

D =

 (x, y) : x

2

+ y

2

6 4

4.5 f (x, y) = x

2

+ 2xy − 4x + 8y,

D = { (x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2 }

4.6 f (x, y) = x

3

+ y

3

− 9xy − 27,

D = { (x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 }

4.7 f (x, y) = x

2

+ y

2

− x − 4y,

D = { (x, y) : x 6 4, 0 6 y 6

√

x }

4.8 f (x, y) = x

2

− 2xy + 2y

2

− 2y,

D =

n

(x, y) :

x

2

2

6 y 6 2

o

4.9 f (x, y) = 2y − x,

D = { (x, y) : 1 6 x 6 e, ln x 6 y 6 2 ln x }

4.10 f (x, y) = x + ln(4 − x − y

2

),

D =

 (x, y) : 0 6 x 6 1 − y

2

Zad.5 Znaleźć odległość punktu A(0, 3, 0) od powierzchni y = xz.

Zad.6

Prostopadłościenny otwarty zbiornik o grubości ścian 0, 1 m ma mieć pojemność 4 m

3

. Podać zewnętrzne

wymiary tego zbiornika, które minimalizują objętość materiału potrzebnego do jego wykonania.