Wydział WiLiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Funkcje wielu zmiennych - pochodne funkcji złożonej, funkcje uwikłane.

Zad.1 Obliczyć pochodną funkcji złożonej:

1.1 z = e

x−2y

,

jeżeli

x = sin t, y = t

3

1.2 z = ln(e

x

+ e

y

),

jeżeli

y = x

3

1.3 z = f (x, y),

jeżeli

x = t cos t, y = arctg t

1.4 z = f (x, y),

jeżeli

x = ln t, y =

1

t

Zad.2 Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji złożonej:

2.1 z = sin x cos y,

jeżeli

x = u − 2v, y = u + 2v

2.2 z = x

2

y − xy

2

,

jeżeli

x = u + v, y = u − v

2.3 z = f (x, y),

jeżeli

x = u sin v, y = uv

2.4 z = f (x, y),

jeżeli

x = ln(uv), y = u + v

Zad.3 Obliczyć

∂z
∂y

, jeżeli z = f (xy

2

,

x
y

) + g(3xy).

Zad.4 Obliczyć dz , jeżeli z = f (x, y) i x = cos(uv), y = x

5

− 7y.

Zad.5 Wykazać, że funkcja z = y · f ( cos(x − y) ) spełnia równanie

∂z

∂x

+

∂z

∂y

=

z

y

.

Zad.6 Wykazać, że funkcja z = x · f

y
x

− x

2

− y

2

spełnia równanie

x

∂z

∂x

+ y

∂z

∂y

= z − x

2

− y

2

.

Zad.6 Obliczyć y

0

, jeżeli funkcja uwikłana y = y(x) określona jest równaniem:

6.1 x + ye

x

− y + 5x

2

y = 0

6.2 xy + arctg (xy) = 0

6.3 x

2

ln y − y

2

ln x + 1 = 0

6.4 2y sin x − 2xarctg y + 3 = 0

Zad.7 Obliczyć y

0

i y

00

, jeżeli funkcja uwikłana y = y(x) określona jest równaniem:

7.1 x

2

+ y

2

− 5xy = 0

7.2 x − y + ln y = 0

7.3 y − 2xarctg

y
x

= 0

7.4 arctg

y
x

− ln

p

x

2

+ y

2

= 0

7.5 1 + xy − ln (e

xy

+ e

−xy

) = 0

Zad.8 Obliczyć y

0

(1) i y

00

(1) , jeżeli funkcja uwikłana y = y(x) spełnia równanie:

x

2

− 2xy + y

2

+ x + y − 2 = 0.

Zad.9 Obliczyć y

0

(2) , jeżeli funkcja uwikłana y = y(x) spełnia równanie:

e

x−2

+ xy − 3y − 1 = 0.

Zad.10 Obliczyć y

0

(0) , jeżeli funkcja uwikłana y = y(x) spełnia równanie:

x

2

− xy + 2y

2

+ x − y = 0.

Zad.11 Obliczyć y

0

(e) i y

00

(e) , jeżeli funkcja uwikłana y = y(x) spełnia równanie:

x

2

y − e

2y

= 0.