Metoda Elementów Skończonych
Strona – 1
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
– przykład rozwiązania kratownicy
materiały pomocnicze do zajęć z przedmiotu
Metody Komputerowe
Rzeszów 2007
Macierz kierunkowa
Transformacja
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 3
Równanie metody elementów skończonych dla modelu w globalnym ukła-
dzie
odniesienia zapisać możemy jako:
K · a
= f ,
(1)
gdzie K jest globalną macierzą sztywności analizowanego układu, a wek-
torem parametrów węzłowych (przemieszczeń, obrotów - jeśli występują),
f
wektorem (węzłowych) obciążeń zewnętrznych.
Podobną zależność zapisać możemy również dla pojedynczego elementu
skończonego:
k
i
· V
i
= S
i
,
(2)
gdzie k
i
jest macierzą sztywności i-tego elementu w układzie globalnym,
V
i
wektorem parametrów węzłowych elementu, S
i
obciążeniem działa-
jącym w węzłach i-tego elementu.
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 4
Przejście pomiędzy lokalnym układem współrzędnych (dla danego ele-
mentu) oraz globalnym układem współrzędnych (dla całej konstrukcji)
wymaga uwzględnienia różnicy kątów pomiędzy osiami obu układów.
Macierz kosinusów w przestrzeni 2D zapisać możemy jako
c
i
=
cos(x, ξ)
cos(x, η)
cos(y, ξ)
cos(y, η)
=
cos(α) − sin(α)
sin(α)
cos(α)
,
(3)
gdzie x, y są osiami globalnego układu
współrzędnych, ξ, η są osiami układu lo-
kalnego, zaś α wyraża kąt pomiędzy osia-
mi obu układów odniesienia.
Przyjmując dla uproszczenia założenie, że
c
= cos(α) oraz s = sin(α), równanie (3)
skraca się do postaci
c
i
=
c
−
s
s
c
.
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 5
Aby transformować wektory obciążenia (pomiędzy układami odniesie-
nia), posłużyć należy się następującymi formułami podanymi w notacji
macierzowej
S
i
= C
i
· S
i,l
⇔
S
i,l
= C
T
i
· S
i
.
(4)
W identyczny sposób transformują się wektory przemieszczeń
V
i
= C
i
· V
i,l
⇔
V
i,l
= C
T
i
· V
i
.
(5)
Wymiar tzw. macierzy kierunkowej C
i
zależeć może np. od liczby stop-
ni swobody w węźle i liczby węzłów w danym elemencie. Przykładowo
dla elementu prętowego z dwoma stopniami swobody w każdym węźle,
macierz kierunkowa będzie mieć wymiar 4×4 i przyjmie postać
C
i
=
c
i
0
0
c
i
=
c
−
s
0
0
s
c
0
0
0
0
c
−
s
0
0
s
c
.
(6)
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 5
Wówczas formułę transformacji wektora obciążeń (4) zapisać możemy
jako
h
S
1
S
2
i
1
h
S
3
S
4
i
2
|
{z
}
S
i
=
"
c
−s
0
0
s
c
0
0
0
0
c
−s
0
0
s
c
#
|
{z
}
C
i
·
h
N
ξ
T
η
i
1
h
N
ξ
T
η
i
2
|
{z
}
S
i,l
Zapisując równianie MES dla elementu w układzie lokalnym (analogicz-
nie do (2)) jako
S
i,l
= k
i,l
V
i,l
możemy podstawić je do równania (4), a uwzględniając zależność (5)
dostaniemy
S
i
= C
i
k
i,l
V
i,l
= C
i
k
i,l
C
T
i
|
{z
}
k
i
V
i
= k
i
V
i
Równanie MES
Macierz kierunkowa
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 5
Przez analogię do równania MES spostrzec można, że równanie trans-
formacji lokalnej macierzy sztywności elementu w macierz globalną ele-
mentu zdefiniować możemy zależnością
k
i
= C
i
· k
i,l
· C
T
i
(4)
Zatem dla wspomnianego elementu prętowego z dwoma stopniami swo-
body w każdym węźle, przekształcenie macierzy lokalnej w globalną
przyjmie postać:
k
i
=
"
c
−s
0
0
s
c
0
0
0
0
c
−s
0
0
s
c
#
·
EA
l
"
1
0
−1
0
0
0
0
0
1
0
−1
0
0
0
0
0
# "
c
−s
0
0
s
c
0
0
0
0
c
−s
0
0
s
c
#
k
i
=
EA
l
c
2
cs
−c
2
−cs
cs
s
2
−cs
−s
2
−c
2
−cs
c
2
cs
−cs
−s
2
cs
s
2
=
EA
l
h
k
(i)
11
k
(i)
12
k
(i)
21
k
(i)
22
i
(5)
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 7
Dla przykładu rozwiążmy za pomocą MES prosty układ kratownicowy,
którego schemat pokazano na poniższym rysunku.
Rysunek 1: Schemat kratownicy.
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 8
Pierwszym etapem algorytmu MES jest dyskretyzacja (idealizacja)
rozważanego modelu. Polega to przede wszystkim na podziale konstrukcji
na elementy skończone, a następnie ponumerowaniu zdefiniowanych
w ten sposób węzłów i elementów.
Rysunek 2: Dyskretyzacja układu kratownicy.
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 9
Następnie w każdym z węzłów
przyjmujemy odpowiednią do da-
nego typu elementu liczbę stopni
swobody. Dla elementu kratowni-
cowego (T=0) sytuacja ta poka-
zana została na rysunku obok.
Lokalną macierz sztywności i–
tego elementu kratownicowego
zapisać możemy jako:
Rysunek 3: Dodatnie kierunki sił
dla układu lokalnego i globalnego.
k
i,l
=
EA
l
1
0
−
1
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
0
0
0
0
(6)
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 10
Korzystając z równania (4) otrzymujemy globalną macierz sztywności k
i
dla i–tego elementu w postaci (5):
ki =
EA
l
"
c2
cs
−c
2
−cs
cs
s2
−cs
−s
2
−c
2
−cs
c2
cs
−cs
−s
2
cs
s2
#
Zatem dla kolejnych elementów naszego modelu, nachylonych do układu
globalnego pod kątem α, dostaniemy
(α = 0◦ , c = 1, s = 0)
k2 = k4 = k6 =
EA
l
1
0
−1
0
0
0
0
0
−1
0
1
0
0
0
0
0
(α = 90◦ , c = 0, s = 1)
k1 = k5 =
EA
l
0
0
0
0
0
1
0
−1
0
0
0
0
0
−1
0
1
(α = 45◦ , c = s =
√
2
2
)
k3 = k7 =
EA
l
"
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
1
2
#
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Kolejnym etapem algorytmu MES złożenie macierzy sztywności każdego
z elementów w globalną macierz całego układu wg zależności
K
= K
1
+ K
2
+ . . . + K
7
(7)
Macierze
sztywności
K
i
muszą
uwzględniać
zarówno
informa-
cję o początkowym i końcowym węźle danego elementu, jak
również położenie danego elementu w analizowanym układzie.
Konstruując zatem globalną macierz sztywności K
1
(dla elemen-
tu nr 1), wiemy że element ten ma swój początek w węźle nr 2
(wg globalnej numeracji węzłów) oraz koniec w węźle nr 1. Jeśli
przyjmiemy dla układu lokalnego, że początek jest punktem nr
1
,
a koniec
2
, wówczas:
✔
przypadkowi węzła 1-1 odpowiada lokalna numeracja
2-2
, co
wskazuje na element k
(1)
22
globalnej macierzy sztywności k
1
✔
połączeniu węzłów 1-2 odpowiada lokalna numeracja
2-1
, co
wskazuje na element k
(1)
21
globalnej macierzy sztywności k
1
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Przechodząc do węzła nr 2 napisać możemy, że:
✔
przypadkowi węzła 2-2 odpowiada lokalna numeracja
1-1
, co wska-
zuje na element k
(1)
11
globalnej macierzy sztywności k
1
✔
dla przypadku połączenia 2-1 odpowiada lokalna numeracja
1-2
, co
wskazuje na element k
(1)
12
globalnej macierzy sztywności k
1
Na tej podstawie zbudować możemy teraz globalną macierz K
1
, umiesz-
czając podmacierze k
(1)
ij
na miejscach odpowiadającym indeksom wyzna-
czonym przez numery węzłów, jak następuje
K
1
=
EA
l
k
(1)
22
k
(1)
21
0
0
0
k
(1)
12
k
(1)
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
gdzie wymiar macierzy K
1
odpowiada liczbie węzłów (5 × 5).
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Dla elementu nr 2 (poziomy), kolejnym indeksom odpowiadają macierze:
✔
1-1 ⇒ k
(2)
11
✔
1-3 ⇒ k
(2)
12
✔
3-3 ⇒ k
(2)
22
✔
3-1 ⇒ k
(2)
21
Zatem globalna macierz K
2
dla elementu nr 2 przyjmuje postać
K
2
=
EA
l
k
(2)
11
0
k
(2)
12
0
0
0
0
0
0
0
k
(2)
21
0
k
(2)
22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Dla elementu nr 3 (skośny), kolejnym indeksom odpowiadają macierze:
✔
2-2 ⇒ k
(3)
11
✔
2-3 ⇒ k
(3)
12
✔
3-3 ⇒ k
(3)
22
✔
3-2 ⇒ k
(3)
21
Zatem globalna macierz K
3
dla elementu nr 3 przyjmuje postać
K
3
=
EA
l
0
0
0
0
0
0
k
(3)
11
k
(3)
12
0
0
0
k
(3)
12
k
(3)
22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Dla elementu nr 4 (poziomy), kolejnym indeksom odpowiadają macierze:
✔
2-2 ⇒ k
(4)
11
✔
2-4 ⇒ k
(4)
12
✔
4-4 ⇒ k
(4)
22
✔
4-2 ⇒ k
(4)
21
Zatem globalna macierz K
4
dla elementu nr 4 przyjmuje postać
K
4
=
EA
l
0
0
0
0
0
0
k
(4)
11
0
k
(4)
12
0
0
0
0
0
0
0
k
(4)
21
0
k
(4)
22
0
0
0
0
0
0
Analogicznie tworzymy macierze K
i
dla pozostałych elementów (5 do 7),
co zaleca się wykonać samodzielnie.
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Ponieważ w przedstawionym na poprzednich slajdach zapisie, macierza-
mi są zarówno składniki k
(e)
ij
(por. równ. 5) jak również (pogrubione)
zera, stąd po uwzględnieniu wartości macierzy k
4
, macierz sztywności
K
4
ostatecznie przyjmuje postać:
K
4
=
EA
l
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 11
Mając zdefiniowane macierze sztywności K
i
dla wszystkich elementów
(i = 1 ÷ 7) i dokonując ich sumowania K =
P
7
i
=1
K
i
(por. równ. 7),
otrzymujemy globalną macierz sztywności K całego układu:
K =
EA
l
1
0
0
0
−
1
0
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2
1
2
−
1
2
−
1
2
−
1
0
0
0
0
1
3
2
1
2
−
1
2
−
1
2
0
0
0
0
−
1
0
−
1
2
−
1
2
5
2
1
2
0
0
−
1
0
0
0
−
1
2
−
1
2
1
2
1
2
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
3
2
1
2
−
1
2
−
1
2
0
0
0
0
0
−
1
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
0
0
0
0
−
1
0
−
1
2
−
1
2
3
2
1
2
0
0
0
0
0
0
−
1
2
−
1
2
1
2
1
2
Uwaga: Otrzymana macierz K jest macierzą osobliwą (det K = 0)! Nie
jest możliwe zatem wyznaczenie (na tym etapie) macierzy odwrotnej K
−
1
=
1
det K
K
D
. Do tej pory, przy budowie macierzy K, uwzględnione zostały warun-
ki równowagi oraz zgodności przemieszczeń, natomiast nie narzucono żadnych
ograniczeń kinematycznych (warunków brzegowych).
Wektor przemieszczeń i obciążenia
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 12
Przyjmijmy następujące założenia:
✔
niech wektor przemieszczeń a zawiera składowe przemieszczenia
w układzie globalnym) każdego z węzłów analizowanego układu,
✔
oraz na wektor sił f niech składają (znane) siły potencjalnie wystę-
pujących w węzłach.
Powyższe sformułowania zapisać możemy jako
a
=
a
1x
a
1y
a
2x
a
2y
a
3x
a
3y
a
4x
a
4y
a
5x
a
5y
,
f
=
f
1x
f
1y
f
2x
f
2y
f
3x
f
3y
f
4x
f
4y
f
5x
f
5y
.
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Rozwiązanie równania
MES
Wyznaczenie sił
przekrojowych
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 13
Z uwagi na warunki podparcia naszego układu zapisać możemy następu-
jące warunki brzegowe:
✔
a
2x
= 0,
✔
a
2y
= 0,
✔
a
4y
= 0.
Wartości tych jednak nie podstawiamy wprost do wektora przemiesz-
czeń a, lecz wpisujemy je w odpowiednie miejsca wektora sił f . W konse-
kwencji pozwala to zmodyfikować wartości macierzy sztywności K w ta-
ki sposób, że w miejscach przecięcia się wybranych wierszy i kolumn
wstawiamy wartość 1, natomiast pozostałe wartości w tych wierszach
i kolumnach zerujemy.
Dzięki temu macierz K staje się macierzą nieosobliwą i możliwe jest
wyznaczenie K
−1
. Ostateczny wygląd macierzy sztywności K oraz wek-
tora obciążenia f pokazany został na kolejnym slajdzie. Zmodyfikowane
składniki wyróżniono kolorem
czerwonym
.
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 14
Po uwzględnieniu warunków brzegowych macierz sztywności K oraz wek-
tor obciążenia f przyjmą wartość:
K =
EA
l
1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
5
2
1
2
0
0
−1
0
0
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2
0
−
1
2
−
1
2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
−1
0
−
1
2
0
3
2
1
2
0
0
0
0
0
0
−
1
2
0
1
2
1
2
,
f =
f1x
f1y
f2x
f2y
f3x
f3y
f4x
f4y
f5x
f5y
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−P
.
W ten sposób pozbyliśmy się osobliwości macierzy K. Przekształcając
następnie równianie (1) do postaci
a
= K
−1
f
,
wyznaczyć możemy nieznane przemieszczenia węzłów rozpatrywanego
układu. Dalej, znając przemieszczenia a, określić możemy siły wewnętrz-
ne każdego z elementów.
Schemat
Dyskretyzacja
Analiza elementu
Macierze sztywności
elementu
Agregacja
Wektor przemieszczeń
i obciążenia
Warunki brzegowe
Rozwiązanie równania
MES
Metoda Elementów Skończonych
Strona – 15
Weźmy dla przykładu elementu nr 2, dla którego zapisać możemy rów-
nanie S
2
= k
2
V
2
. Wynika z niego, że:
S
1
S
2
S
3
S
4
= k
2
·
a
1x
a
1y
a
3x
a
3y
Korzystając z równań transformacji (4) lub (5) łatwo możemy przejść do
układu lokalnego i wyznaczyć wartości sił przekrojowych Q oraz N:
N
1
Q
1
N
2
Q
2
= C
T
i
·
S
1
S
2
S
3
S
4
lub
N
1
Q
1
N
2
Q
2
= k
2,l
· C
T
i
·
a
1x
a
1y
a
3x
a
3y
Tym sposobem dobrnęliśmy do końca przykładu. Z uwagi na ludzką niedoskonałość prezentacja
może zawierać pewne błędy numeryczne. Dlatego w trakcie samodzielnej pracy nigdy nie może
zabraknąć czujności.
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
PREZENTACJA DYSLEKSJA id 390442 Nieznany
Prezentacja pdf id 391045 Nieznany
prezentacja cw3 id 390345 Nieznany
prezentacja dobra id 390418 Nieznany
krata id 250182 Nieznany
PREZENTACJA UWM id 391342 Nieznany
Prezentacja BAT id 390276 Nieznany
Prezenacja IPTV id 389694 Nieznany
Prezentacja agresji id 390224 Nieznany
prezentacja wilgoc id 391360 Nieznany
prezentacja KW id 390661 Nieznany
prezentacja o sporcie id 390955 Nieznany
MES Krata id 293433 Nieznany
prezentacja bufory id 391506 Nieznany
prezentacja macierze id 391569 Nieznany
PREZENTACJA DYSLEKSJA id 390442 Nieznany
ztzk prezent dla mamy id 593185 Nieznany
prezentacja 3 2 id 390139 Nieznany
więcej podobnych podstron