Macierze. Działania na macierzach.
Treść wykładu
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik macierzy.
Własności wyznacznika.
Układy Cramera.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja macierzy
Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a
ij
ciała K,
to mówimy, że jest określona
macierz prostokątna
A = [a
ij
] typu
m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
.
Rzędy poziome tej tablicy nazywamy
wierszami
, a rzędy pionowe
—
kolumnami
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja macierzy
Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a
ij
ciała K,
to mówimy, że jest określona
macierz prostokątna
A = [a
ij
] typu
m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
.
Rzędy poziome tej tablicy nazywamy
wierszami
, a rzędy pionowe
—
kolumnami
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja macierzy
Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a
ij
ciała K,
to mówimy, że jest określona
macierz prostokątna
A = [a
ij
] typu
m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
.
Rzędy poziome tej tablicy nazywamy
wierszami
, a rzędy pionowe
—
kolumnami
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja macierzy
Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a
ij
ciała K,
to mówimy, że jest określona
macierz prostokątna
A = [a
ij
] typu
m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
.
Rzędy poziome tej tablicy nazywamy
wierszami
, a rzędy pionowe
—
kolumnami
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja macierzy
Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a
ij
ciała K,
to mówimy, że jest określona
macierz prostokątna
A = [a
ij
] typu
m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
.
Rzędy poziome tej tablicy nazywamy
wierszami
, a rzędy pionowe
—
kolumnami
.
Macierze. Działania na macierzach.
Rodzaje macierzy
Gdy m = n macierz nazywamy
kwadratową
.
O elementach a
ii
macierzy kwadratowej A mówimy, że tworzą
przekątną główną
.
A =
2
4
0
9
6
4
5
1
1
1
3
5
9
8
7
6
.
Macierze. Działania na macierzach.
Rodzaje macierzy
Gdy m = n macierz nazywamy
kwadratową
.
O elementach a
ii
macierzy kwadratowej A mówimy, że tworzą
przekątną główną
.
A =
2
4
0
9
6
4
5
1
1
1
3
5
9
8
7
6
.
Macierze. Działania na macierzach.
Rodzaje macierzy
Gdy m = n macierz nazywamy
kwadratową
.
O elementach a
ii
macierzy kwadratowej A mówimy, że tworzą
przekątną główną
.
A =
2
4
0
9
6
4
5
1
1
1
3
5
9
8
7
6
.
Macierze. Działania na macierzach.
Rodzaje macierzy
Macierz, w której a
ij
= 0 dla i < j (odpowiednio: a
ij
= 0 dla i > j )
nazywamy
dolnotrójkątną
(odpowiednio:
górnotrójkątną
).
A =
2
0
0
0
6
4
0
0
0
1
3
0
9
8
7
6
.
Jeśli a
ij
= 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy
diagonalną
.
Macierze. Działania na macierzach.
Rodzaje macierzy
Macierz, w której a
ij
= 0 dla i < j (odpowiednio: a
ij
= 0 dla i > j )
nazywamy
dolnotrójkątną
(odpowiednio:
górnotrójkątną
).
A =
2
0
0
0
6
4
0
0
0
1
3
0
9
8
7
6
.
Jeśli a
ij
= 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy
diagonalną
.
Macierze. Działania na macierzach.
Rodzaje macierzy
Macierz, w której a
ij
= 0 dla i < j (odpowiednio: a
ij
= 0 dla i > j )
nazywamy
dolnotrójkątną
(odpowiednio:
górnotrójkątną
).
A =
2
0
0
0
6
4
0
0
0
1
3
0
9
8
7
6
.
Jeśli a
ij
= 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy
diagonalną
.
Macierze. Działania na macierzach.
Macierz transponowana
Jeśli w macierzy A zamienimy wiersze z kolumnami, to otrzymamy
macierz, którą nazywamy macierzą
transponowaną
macierzy A i
oznaczamy A
T
.
Jeśli A = [a
ij
] jest typu m × n, to A
T
= [a
ji
] jest typu n × m.
Macierze. Działania na macierzach.
Macierz transponowana
Jeśli w macierzy A zamienimy wiersze z kolumnami, to otrzymamy
macierz, którą nazywamy macierzą
transponowaną
macierzy A i
oznaczamy A
T
.
Jeśli A = [a
ij
] jest typu m × n, to A
T
= [a
ji
] jest typu n × m.
Macierze. Działania na macierzach.
Macierz transponowana
A =
1
0
3
2
2
3
0
4
0
5
−1 5
,
A
T
=
1
2
0
0
3
5
3
0
−1
2
4
5
.
Macierze. Działania na macierzach.
Macierz transponowana
A =
1
0
3
2
2
3
0
4
0
5
−1 5
,
A
T
=
1
2
0
0
3
5
3
0
−1
2
4
5
.
Macierze. Działania na macierzach.
Dodawanie macierzy
Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a
ij
] i B = [b
ij
]
otrzymujemy po dodaniu odpowiadających
sobie wyrazów:
A + B = [a
ij
+ b
ij
].
Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.
Macierze. Działania na macierzach.
Dodawanie macierzy
Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a
ij
] i B = [b
ij
] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających
sobie wyrazów:
A + B = [a
ij
+ b
ij
].
Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.
Macierze. Działania na macierzach.
Dodawanie macierzy
Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a
ij
] i B = [b
ij
] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających
sobie wyrazów:
A + B = [a
ij
+ b
ij
].
Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.
Macierze. Działania na macierzach.
Dodawanie macierzy
Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a
ij
] i B = [b
ij
] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających
sobie wyrazów:
A + B = [a
ij
+ b
ij
].
Działanie to jest łączne,
przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.
Macierze. Działania na macierzach.
Dodawanie macierzy
Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a
ij
] i B = [b
ij
] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających
sobie wyrazów:
A + B = [a
ij
+ b
ij
].
Działanie to jest łączne, przemienne,
i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.
Macierze. Działania na macierzach.
Dodawanie macierzy
Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a
ij
] i B = [b
ij
] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających
sobie wyrazów:
A + B = [a
ij
+ b
ij
].
Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.
Macierze. Działania na macierzach.
Dodawanie macierzy
Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a
ij
] i B = [b
ij
] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających
sobie wyrazów:
A + B = [a
ij
+ b
ij
].
Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.
Macierze. Działania na macierzach.
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca
ij
].
Oczywiście
1·A = A,
c(d A) = (cd )A,
(c + d )A = cA + d A,
c(A + B) = cA + cB.
Macierze. Działania na macierzach.
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca
ij
]. Oczywiście
1·A = A,
c(d A) = (cd )A,
(c + d )A = cA + d A,
c(A + B) = cA + cB.
Macierze. Działania na macierzach.
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca
ij
]. Oczywiście
1·A = A,
c(d A) = (cd )A,
(c + d )A = cA + d A,
c(A + B) = cA + cB.
Macierze. Działania na macierzach.
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca
ij
]. Oczywiście
1·A = A,
c(d A) = (cd )A,
(c + d )A = cA + d A,
c(A + B) = cA + cB.
Macierze. Działania na macierzach.
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca
ij
]. Oczywiście
1·A = A,
c(d A) = (cd )A,
(c + d )A = cA + d A,
c(A + B) = cA + cB.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy
Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.
Iloczynem
AB
nazywamy macierz C(m × p) taką, że
c
ik
=
n
X
j =1
a
ij
b
jk
.
Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy
Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.
Iloczynem
AB
nazywamy macierz C(m × p)
taką, że
c
ik
=
n
X
j =1
a
ij
b
jk
.
Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy
Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.
Iloczynem
AB
nazywamy macierz C(m × p) taką, że
c
ik
=
n
X
j =1
a
ij
b
jk
.
Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy
Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.
Iloczynem
AB
nazywamy macierz C(m × p) taką, że
c
ik
=
n
X
j =1
a
ij
b
jk
.
Warunkiem istnienia iloczynu AB jest,
by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy
Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.
Iloczynem
AB
nazywamy macierz C(m × p) taką, że
c
ik
=
n
X
j =1
a
ij
b
jk
.
Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.
Macierze. Działania na macierzach.
Macierz jednostkowa
Macierz
I =
1
0
. . .
0
0
1
. . .
0
. . . . . . . . . . . .
0
0
. . .
1
.
nazywamy
macierzą jednostkową
.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne,
tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania,
tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Macierze. Działania na macierzach.
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy
det A = a
lub
|A| = a.
2) Jeżeli
A =
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
jest macierzą stopnia 2, to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę
det A = a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Piszemy także
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy
det A = a
lub
|A| = a.
2) Jeżeli
A =
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
jest macierzą stopnia 2, to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę
det A = a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Piszemy także
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy
det A = a
lub
|A| = a.
2) Jeżeli
A =
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
jest macierzą stopnia 2,
to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę
det A = a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Piszemy także
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy
det A = a
lub
|A| = a.
2) Jeżeli
A =
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
jest macierzą stopnia 2, to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę
det A = a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Piszemy także
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy
det A = a
lub
|A| = a.
2) Jeżeli
A =
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
jest macierzą stopnia 2, to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę
det A = a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Piszemy także
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
3) Jeżeli
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
jest macierzą stopnia n,
M
ik
oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w
macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A
ik
= (−1)
i +k
M
ik
,
to określamy
det A =
n
X
k=1
a
1k
A
1k
Tę równość nazywamy
rozwinięciem Laplace’a
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
3) Jeżeli
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
jest macierzą stopnia n,
M
ik
oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w
macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A
ik
= (−1)
i +k
M
ik
,
to określamy
det A =
n
X
k=1
a
1k
A
1k
Tę równość nazywamy
rozwinięciem Laplace’a
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
3) Jeżeli
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
jest macierzą stopnia n,
M
ik
oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w
macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A
ik
= (−1)
i +k
M
ik
,
to określamy
det A =
n
X
k=1
a
1k
A
1k
Tę równość nazywamy
rozwinięciem Laplace’a
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
3) Jeżeli
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
jest macierzą stopnia n,
M
ik
oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w
macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A
ik
= (−1)
i +k
M
ik
,
to określamy
det A =
n
X
k=1
a
1k
A
1k
Tę równość nazywamy
rozwinięciem Laplace’a
.
Macierze. Działania na macierzach.
Definicja wyznacznika
3) Jeżeli
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
jest macierzą stopnia n,
M
ik
oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w
macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A
ik
= (−1)
i +k
M
ik
,
to określamy
det A =
n
X
k=1
a
1k
A
1k
Tę równość nazywamy
rozwinięciem Laplace’a
.
Macierze. Działania na macierzach.
Liczbę M
ik
nazywamy
podwyznacznikiem
lub
minorem
macierzy
A, natomiast A
ik
— to
dopełnienie algebraiczne
elementu a
ik
macierzy A.
Piszemy także:
det A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
12
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
.
Macierze. Działania na macierzach.
Liczbę M
ik
nazywamy
podwyznacznikiem
lub
minorem
macierzy
A, natomiast A
ik
— to
dopełnienie algebraiczne
elementu a
ik
macierzy A.
Piszemy także:
det A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
12
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
.
Macierze. Działania na macierzach.
Twierdzenie Laplace’a
Twierdzenie
Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:
det A =
n
X
j =1
a
ij
A
ij
(rozwinięcie Laplace’a według i -tego wiersza) oraz
det A =
n
X
i =1
a
ij
A
ij
(rozwinięcie Laplace’a według j -tej kolumny).
Macierze. Działania na macierzach.
Twierdzenie Laplace’a
Twierdzenie
Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:
det A =
n
X
j =1
a
ij
A
ij
(rozwinięcie Laplace’a według i -tego wiersza)
oraz
det A =
n
X
i =1
a
ij
A
ij
(rozwinięcie Laplace’a według j -tej kolumny).
Macierze. Działania na macierzach.
Twierdzenie Laplace’a
Twierdzenie
Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:
det A =
n
X
j =1
a
ij
A
ij
(rozwinięcie Laplace’a według i -tego wiersza) oraz
det A =
n
X
i =1
a
ij
A
ij
(rozwinięcie Laplace’a według j -tej kolumny).
Macierze. Działania na macierzach.
Twierdzenie Laplace’a
Twierdzenie
Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:
det A =
n
X
j =1
a
ij
A
ij
(rozwinięcie Laplace’a według i -tego wiersza) oraz
det A =
n
X
i =1
a
ij
A
ij
(rozwinięcie Laplace’a według j -tej kolumny).
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik:
1
2
3
−4
5
6
−2 −1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
1 · (−1)
2
·
5
6
−1 −1
+
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
+
3 · (−1)
4
·
−4
5
−2 −1
= . . .
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
2 · (−1)
3
·
−4
6
−2 −1
+
5 · (−1)
4
·
1
3
−2 −1
+
+
(−1) · (−1)
5
·
1
3
−4 6
= . . .
Macierze. Działania na macierzach.
Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.
4
−2
3
0
4
0
−5 6
2
−3 −1 0
0
0
−2 0
= 6 · (−1)
6
·
4
−2
3
2
−3 −1
0
0
−2
=
=
6 · (−2) · (−1)
6
·
4
−2
2
−3
= − 12(−12 + 4) = 96.
Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.
Macierze. Działania na macierzach.
Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.
4
−2
3
0
4
0
−5 6
2
−3 −1 0
0
0
−2 0
=
6 · (−1)
6
·
4
−2
3
2
−3 −1
0
0
−2
=
=
6 · (−2) · (−1)
6
·
4
−2
2
−3
= − 12(−12 + 4) = 96.
Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.
Macierze. Działania na macierzach.
Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.
4
−2
3
0
4
0
−5 6
2
−3 −1 0
0
0
−2 0
= 6 · (−1)
6
·
4
−2
3
2
−3 −1
0
0
−2
=
=
6 · (−2) · (−1)
6
·
4
−2
2
−3
= − 12(−12 + 4) = 96.
Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.
Macierze. Działania na macierzach.
Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.
4
−2
3
0
4
0
−5 6
2
−3 −1 0
0
0
−2 0
= 6 · (−1)
6
·
4
−2
3
2
−3 −1
0
0
−2
=
=
6 · (−2) · (−1)
6
·
4
−2
2
−3
=
− 12(−12 + 4) = 96.
Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.
Macierze. Działania na macierzach.
Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.
4
−2
3
0
4
0
−5 6
2
−3 −1 0
0
0
−2 0
= 6 · (−1)
6
·
4
−2
3
2
−3 −1
0
0
−2
=
=
6 · (−2) · (−1)
6
·
4
−2
2
−3
=
− 12(−12 + 4) = 96.
Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.
Macierze. Działania na macierzach.
Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.
4
−2
3
0
4
0
−5 6
2
−3 −1 0
0
0
−2 0
= 6 · (−1)
6
·
4
−2
3
2
−3 −1
0
0
−2
=
=
6 · (−2) · (−1)
6
·
4
−2
2
−3
=
− 12(−12 + 4) = 96.
Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A
T
,
det A = det A
T
.
3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A
T
,
det A = det A
T
.
3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A
T
,
det A = det A
T
.
3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A
T
,
det A = det A
T
.
3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A
T
,
det A = det A
T
.
3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A
T
,
det A = det A
T
.
3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
6) Wspólny czynnik wszystkich elementów jednego wiersza (jednej
kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.
7) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
proporcjonalne, to det A = 0.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
6) Wspólny czynnik wszystkich elementów jednego wiersza (jednej
kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.
7) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
proporcjonalne, to det A = 0.
Macierze. Działania na macierzach.
8)
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i 1
+ a
∗
i 1
a
i 2
+ a
∗
i 2
· · ·
a
in
+ a
∗
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
=
=
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i 1
a
i 2
· · ·
a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
+
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
∗
i 1
a
∗
i 2
· · ·
a
∗
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
.
Macierze. Działania na macierzach.
Własności wyznacznika
9) Jeżeli do elementów jednego wiersza (jednej kolumny)
wyznacznika dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (innej
kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę, to wartość
wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Macierze. Działania na macierzach.
Równanie postaci:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b
nazywamy
równaniem liniowym o n niewiadomych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem
tego
równania,
jeśli jest
a
1
s
1
+ a
2
s
2
+ . . . + a
n
s
n
= b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x
1
, x
2
, . . . , x
n
nazywa się
układem równań liniowych
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem układu
, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy
sprzecznym
.
Macierze. Działania na macierzach.
Równanie postaci:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b
nazywamy
równaniem liniowym o n niewiadomych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem
tego
równania,
jeśli jest
a
1
s
1
+ a
2
s
2
+ . . . + a
n
s
n
= b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x
1
, x
2
, . . . , x
n
nazywa się
układem równań liniowych
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem układu
, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy
sprzecznym
.
Macierze. Działania na macierzach.
Równanie postaci:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b
nazywamy
równaniem liniowym o n niewiadomych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem
tego
równania,
jeśli jest
a
1
s
1
+ a
2
s
2
+ . . . + a
n
s
n
= b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x
1
, x
2
, . . . , x
n
nazywa się
układem równań liniowych
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem układu
, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy
sprzecznym
.
Macierze. Działania na macierzach.
Równanie postaci:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b
nazywamy
równaniem liniowym o n niewiadomych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem
tego
równania,
jeśli jest
a
1
s
1
+ a
2
s
2
+ . . . + a
n
s
n
= b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x
1
, x
2
, . . . , x
n
nazywa się
układem równań liniowych
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem układu
, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy
sprzecznym
.
Macierze. Działania na macierzach.
Równanie postaci:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b
nazywamy
równaniem liniowym o n niewiadomych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem
tego
równania,
jeśli jest
a
1
s
1
+ a
2
s
2
+ . . . + a
n
s
n
= b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x
1
, x
2
, . . . , x
n
nazywa się
układem równań liniowych
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem układu
, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy
sprzecznym
.
Macierze. Działania na macierzach.
Równanie postaci:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b
nazywamy
równaniem liniowym o n niewiadomych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem
tego
równania,
jeśli jest
a
1
s
1
+ a
2
s
2
+ . . . + a
n
s
n
= b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x
1
, x
2
, . . . , x
n
nazywa się
układem równań liniowych
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem układu
, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy
sprzecznym
.
Macierze. Działania na macierzach.
Równanie postaci:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b
nazywamy
równaniem liniowym o n niewiadomych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem
tego
równania,
jeśli jest
a
1
s
1
+ a
2
s
2
+ . . . + a
n
s
n
= b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x
1
, x
2
, . . . , x
n
nazywa się
układem równań liniowych
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem układu
, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy
sprzecznym
.
Macierze. Działania na macierzach.
Równanie postaci:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= b
nazywamy
równaniem liniowym o n niewiadomych
x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem
tego
równania,
jeśli jest
a
1
s
1
+ a
2
s
2
+ . . . + a
n
s
n
= b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x
1
, x
2
, . . . , x
n
nazywa się
układem równań liniowych
.
Ciąg n liczb (s
1
, s
2
, . . . , s
n
) nazywa się
rozwiązaniem układu
, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy
sprzecznym
.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ Cramera
Układ n równań o n niewiadomych
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
(1)
nazywa się
układem Cramera
, jeśli
det A = det[a
ij
] 6= 0.
Macierz A nazywamy
macierzą układu
, a det A
wyznacznikiem
układu
.
Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy
nieosobliwą
.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ Cramera
Układ n równań o n niewiadomych
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
(1)
nazywa się
układem Cramera
, jeśli
det A = det[a
ij
] 6= 0.
Macierz A nazywamy
macierzą układu
, a det A
wyznacznikiem
układu
.
Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy
nieosobliwą
.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ Cramera
Układ n równań o n niewiadomych
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
(1)
nazywa się
układem Cramera
, jeśli
det A = det[a
ij
] 6= 0.
Macierz A nazywamy
macierzą układu
, a det A
wyznacznikiem
układu
.
Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy
nieosobliwą
.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ Cramera
Układ n równań o n niewiadomych
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
(1)
nazywa się
układem Cramera
, jeśli
det A = det[a
ij
] 6= 0.
Macierz A nazywamy
macierzą układu
, a det A
wyznacznikiem
układu
.
Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy
nieosobliwą
.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ Cramera
Układ n równań o n niewiadomych
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
(1)
nazywa się
układem Cramera
, jeśli
det A = det[a
ij
] 6= 0.
Macierz A nazywamy
macierzą układu
, a det A
wyznacznikiem
układu
.
Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy
nieosobliwą
.
Macierze. Działania na macierzach.
Twierdzenie (Cramera)
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jest one dane wzorem:
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n)
(2)
gdzie macierz A
k
powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej
kolumny kolumną utworzoną z wyrazów b
1
, b
2
, . . . , b
n
.
Macierze. Działania na macierzach.
Twierdzenie (Cramera)
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jest one dane wzorem:
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n)
(2)
gdzie macierz A
k
powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej
kolumny kolumną utworzoną z wyrazów b
1
, b
2
, . . . , b
n
.
Macierze. Działania na macierzach.
Twierdzenie (Cramera)
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jest one dane wzorem:
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n)
(2)
gdzie macierz A
k
powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej
kolumny kolumną utworzoną z wyrazów b
1
, b
2
, . . . , b
n
.
Macierze. Działania na macierzach.
Lemat
Niech A = [a
ij
] będzie macierzą kwadratową, A
ij
dopełnieniem
algebraicznym elementu a
ij
.
Jeżeli i 6= k, to
n
X
j =1
a
ij
A
kj
= 0.
Podobnie, jeśli j 6= k, to
n
X
i =1
a
ij
A
ik
= 0.
Dowód: suma
P
n
j =1
a
ij
A
kj
= 0 jest rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.
Macierze. Działania na macierzach.
Lemat
Niech A = [a
ij
] będzie macierzą kwadratową, A
ij
dopełnieniem
algebraicznym elementu a
ij
. Jeżeli i 6= k, to
n
X
j =1
a
ij
A
kj
= 0.
Podobnie, jeśli j 6= k, to
n
X
i =1
a
ij
A
ik
= 0.
Dowód: suma
P
n
j =1
a
ij
A
kj
= 0 jest rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.
Macierze. Działania na macierzach.
Lemat
Niech A = [a
ij
] będzie macierzą kwadratową, A
ij
dopełnieniem
algebraicznym elementu a
ij
. Jeżeli i 6= k, to
n
X
j =1
a
ij
A
kj
= 0.
Podobnie, jeśli j 6= k, to
n
X
i =1
a
ij
A
ik
= 0.
Dowód: suma
P
n
j =1
a
ij
A
kj
= 0 jest rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.
Macierze. Działania na macierzach.
Lemat
Niech A = [a
ij
] będzie macierzą kwadratową, A
ij
dopełnieniem
algebraicznym elementu a
ij
. Jeżeli i 6= k, to
n
X
j =1
a
ij
A
kj
= 0.
Podobnie, jeśli j 6= k, to
n
X
i =1
a
ij
A
ik
= 0.
Dowód: suma
P
n
j =1
a
ij
A
kj
= 0 jest rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.
Macierze. Działania na macierzach.
Lemat
Niech A = [a
ij
] będzie macierzą kwadratową, A
ij
dopełnieniem
algebraicznym elementu a
ij
. Jeżeli i 6= k, to
n
X
j =1
a
ij
A
kj
= 0.
Podobnie, jeśli j 6= k, to
n
X
i =1
a
ij
A
ik
= 0.
Dowód: suma
P
n
j =1
a
ij
A
kj
= 0 jest rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.
Macierze. Działania na macierzach.
Lemat
Niech A = [a
ij
] będzie macierzą kwadratową, A
ij
dopełnieniem
algebraicznym elementu a
ij
. Jeżeli i 6= k, to
n
X
j =1
a
ij
A
kj
= 0.
Podobnie, jeśli j 6= k, to
n
X
i =1
a
ij
A
ik
= 0.
Dowód: suma
P
n
j =1
a
ij
A
kj
= 0 jest rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x
1
, x
2
, . . . , x
n
,
to
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n).
Załóżmy, że x
1
, x
2
, . . . , x
n
jest rozwiązaniem układu.
Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A
1k
, A
2k
, . . . , A
nk
elementów k-tej kolumny:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
/ · A
1k
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
/ · A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
/ · A
nk
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x
1
, x
2
, . . . , x
n
,
to
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n).
Załóżmy, że x
1
, x
2
, . . . , x
n
jest rozwiązaniem układu.
Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A
1k
, A
2k
, . . . , A
nk
elementów k-tej kolumny:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
/ · A
1k
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
/ · A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
/ · A
nk
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x
1
, x
2
, . . . , x
n
,
to
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n).
Załóżmy, że x
1
, x
2
, . . . , x
n
jest rozwiązaniem układu.
Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A
1k
, A
2k
, . . . , A
nk
elementów k-tej kolumny:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
/ · A
1k
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
/ · A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
/ · A
nk
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x
1
, x
2
, . . . , x
n
,
to
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n).
Załóżmy, że x
1
, x
2
, . . . , x
n
jest rozwiązaniem układu.
Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A
1k
, A
2k
, . . . , A
nk
elementów k-tej kolumny:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
/ · A
1k
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
/ · A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
/ · A
nk
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x
1
, x
2
, . . . , x
n
,
to
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n).
Załóżmy, że x
1
, x
2
, . . . , x
n
jest rozwiązaniem układu.
Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A
1k
, A
2k
, . . . , A
nk
elementów k-tej kolumny:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
/ · A
1k
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
/ · A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
/ · A
nk
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x
1
, x
2
, . . . , x
n
,
to
x
k
=
det A
k
det A
(k = 1, 2, . . . , n).
Załóżmy, że x
1
, x
2
, . . . , x
n
jest rozwiązaniem układu.
Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A
1k
, A
2k
, . . . , A
nk
elementów k-tej kolumny:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
/ · A
1k
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
/ · A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+
a
n2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
/ · A
nk
Macierze. Działania na macierzach.
a
11
x
1
· A
1k
+
a
12
x
2
· A
1k
+
· · ·
+
a
1n
x
n
· A
1k
=
b
1
A
1k
a
21
x
1
· A
2k
+
a
22
x
2
· A
2k
+
· · ·
+
a
2n
x
n
· A
2k
=
b
2
A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
· A
nk
+
a
n2
x
2
· A
nk
+
· · ·
+
a
nn
x
n
· A
nk
=
b
n
A
nk
a następnie dodamy wszystkie równania stronami:
n
X
i =1
a
i 1
A
ik
!
x
1
+
· · · +
n
X
i =1
a
ik
A
ik
!
x
k
+
+
· · · +
n
X
i =1
a
in
A
ik
!
x
n
=
n
X
i =1
b
i
A
ik
(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).
Macierze. Działania na macierzach.
a
11
x
1
· A
1k
+
a
12
x
2
· A
1k
+
· · ·
+
a
1n
x
n
· A
1k
=
b
1
A
1k
a
21
x
1
· A
2k
+
a
22
x
2
· A
2k
+
· · ·
+
a
2n
x
n
· A
2k
=
b
2
A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
· A
nk
+
a
n2
x
2
· A
nk
+
· · ·
+
a
nn
x
n
· A
nk
=
b
n
A
nk
a następnie dodamy wszystkie równania stronami:
n
X
i =1
a
i 1
A
ik
!
x
1
+
· · · +
n
X
i =1
a
ik
A
ik
!
x
k
+
+
· · · +
n
X
i =1
a
in
A
ik
!
x
n
=
n
X
i =1
b
i
A
ik
(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).
Macierze. Działania na macierzach.
a
11
x
1
· A
1k
+
a
12
x
2
· A
1k
+
· · ·
+
a
1n
x
n
· A
1k
=
b
1
A
1k
a
21
x
1
· A
2k
+
a
22
x
2
· A
2k
+
· · ·
+
a
2n
x
n
· A
2k
=
b
2
A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
· A
nk
+
a
n2
x
2
· A
nk
+
· · ·
+
a
nn
x
n
· A
nk
=
b
n
A
nk
a następnie dodamy wszystkie równania stronami:
n
X
i =1
a
i 1
A
ik
!
x
1
+
· · · +
n
X
i =1
a
ik
A
ik
!
x
k
+
+
· · · +
n
X
i =1
a
in
A
ik
!
x
n
=
n
X
i =1
b
i
A
ik
(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).
Macierze. Działania na macierzach.
a
11
x
1
· A
1k
+
a
12
x
2
· A
1k
+
· · ·
+
a
1n
x
n
· A
1k
=
b
1
A
1k
a
21
x
1
· A
2k
+
a
22
x
2
· A
2k
+
· · ·
+
a
2n
x
n
· A
2k
=
b
2
A
2k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
· A
nk
+
a
n2
x
2
· A
nk
+
· · ·
+
a
nn
x
n
· A
nk
=
b
n
A
nk
a następnie dodamy wszystkie równania stronami:
n
X
i =1
a
i 1
A
ik
!
x
1
+
· · · +
n
X
i =1
a
ik
A
ik
!
x
k
+
+
· · · +
n
X
i =1
a
in
A
ik
!
x
n
=
n
X
i =1
b
i
A
ik
(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x
k
.
Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A
k
. Zatem
det A · x
k
= det A
k
,
skąd
x
k
=
det A
k
det A
,
k = 1, 2, . . . , n.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x
k
.
Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A
k
. Zatem
det A · x
k
= det A
k
,
skąd
x
k
=
det A
k
det A
,
k = 1, 2, . . . , n.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x
k
.
Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A
k
.
Zatem
det A · x
k
= det A
k
,
skąd
x
k
=
det A
k
det A
,
k = 1, 2, . . . , n.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x
k
.
Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A
k
. Zatem
det A · x
k
= det A
k
,
skąd
x
k
=
det A
k
det A
,
k = 1, 2, . . . , n.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x
k
.
Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A
k
. Zatem
det A · x
k
= det A
k
,
skąd
x
k
=
det A
k
det A
,
k = 1, 2, . . . , n.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 2. Wiemy na razie, że
jeżeli układ ma rozwiązanie
, to jest
ono określone wzorami Cramera.
Sprawdzimy, że istotnie liczby x
k
określone tymi wzorami spełniają
równania układu.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 2. Wiemy na razie, że
jeżeli układ ma rozwiązanie
, to jest
ono określone wzorami Cramera.
Sprawdzimy, że istotnie liczby x
k
określone tymi wzorami spełniają
równania układu.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:
a
s1
det A
1
det A
+ a
s2
det A
2
det A
· · · + a
sn
det A
n
det A
=
=
1
det A
h
a
s1
(b
1
A
11
+ · · · + b
n
A
n1
) + · · · +
+a
sn
(b
1
A
1n
+ · · · + b
n
A
nn
)
i
=
=
1
det A
h
b
1
(a
s
1
A
11
+ · · · + a
sn
A
1n
) + · · · +
+b
n
(a
s1
A
n1
+ · · · + a
sn
A
nn
)
i
=
=
1
det A
b
s
· det A = b
s
.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:
a
s1
det A
1
det A
+ a
s2
det A
2
det A
· · · + a
sn
det A
n
det A
=
=
1
det A
h
a
s1
(b
1
A
11
+ · · · + b
n
A
n1
) + · · · +
+a
sn
(b
1
A
1n
+ · · · + b
n
A
nn
)
i
=
=
1
det A
h
b
1
(a
s
1
A
11
+ · · · + a
sn
A
1n
) + · · · +
+b
n
(a
s1
A
n1
+ · · · + a
sn
A
nn
)
i
=
=
1
det A
b
s
· det A = b
s
.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:
a
s1
det A
1
det A
+ a
s2
det A
2
det A
· · · + a
sn
det A
n
det A
=
=
1
det A
h
a
s1
(b
1
A
11
+ · · · + b
n
A
n1
) + · · · +
+a
sn
(b
1
A
1n
+ · · · + b
n
A
nn
)
i
=
=
1
det A
h
b
1
(a
s
1
A
11
+ · · · + a
sn
A
1n
) + · · · +
+b
n
(a
s1
A
n1
+ · · · + a
sn
A
nn
)
i
=
=
1
det A
b
s
· det A = b
s
.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:
a
s1
det A
1
det A
+ a
s2
det A
2
det A
· · · + a
sn
det A
n
det A
=
=
1
det A
h
a
s1
(b
1
A
11
+ · · · + b
n
A
n1
) + · · · +
+a
sn
(b
1
A
1n
+ · · · + b
n
A
nn
)
i
=
=
1
det A
h
b
1
(a
s
1
A
11
+ · · · + a
sn
A
1n
) + · · · +
+b
n
(a
s1
A
n1
+ · · · + a
sn
A
nn
)
i
=
=
1
det A
b
s
· det A = b
s
.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:
a
s1
det A
1
det A
+ a
s2
det A
2
det A
· · · + a
sn
det A
n
det A
=
=
1
det A
h
a
s1
(b
1
A
11
+ · · · + b
n
A
n1
) + · · · +
+a
sn
(b
1
A
1n
+ · · · + b
n
A
nn
)
i
=
=
1
det A
h
b
1
(a
s
1
A
11
+ · · · + a
sn
A
1n
) + · · · +
+b
n
(a
s1
A
n1
+ · · · + a
sn
A
nn
)
i
=
=
1
det A
b
s
· det A =
b
s
.
Macierze. Działania na macierzach.
Dowód twierdzenia Cramera.
Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:
a
s1
det A
1
det A
+ a
s2
det A
2
det A
· · · + a
sn
det A
n
det A
=
=
1
det A
h
a
s1
(b
1
A
11
+ · · · + b
n
A
n1
) + · · · +
+a
sn
(b
1
A
1n
+ · · · + b
n
A
nn
)
i
=
=
1
det A
h
b
1
(a
s
1
A
11
+ · · · + a
sn
A
1n
) + · · · +
+b
n
(a
s1
A
n1
+ · · · + a
sn
A
nn
)
i
=
=
1
det A
b
s
· det A = b
s
.
Macierze. Działania na macierzach.
Przykład
x
1
+
2x
2
+
3x
3
+
4x
4
=
5
2x
1
+
x
2
+
2x
3
+
3x
4
=
1
3x
1
+
2x
2
+
x
3
+
2x
4
=
1
4x
1
+
3x
2
+
2x
3
+
x
4
=
−5 .
Obliczamy kolejno wyznaczniki:
det A =
1
2
3
4
2
1
2
3
3
2
1
2
4
3
2
1
= −20,
Macierze. Działania na macierzach.
Przykład
x
1
+
2x
2
+
3x
3
+
4x
4
=
5
2x
1
+
x
2
+
2x
3
+
3x
4
=
1
3x
1
+
2x
2
+
x
3
+
2x
4
=
1
4x
1
+
3x
2
+
2x
3
+
x
4
=
−5 .
Obliczamy kolejno wyznaczniki:
det A =
1
2
3
4
2
1
2
3
3
2
1
2
4
3
2
1
= −20,
Macierze. Działania na macierzach.
Przykład
x
1
+
2x
2
+
3x
3
+
4x
4
=
5
2x
1
+
x
2
+
2x
3
+
3x
4
=
1
3x
1
+
2x
2
+
x
3
+
2x
4
=
1
4x
1
+
3x
2
+
2x
3
+
x
4
=
−5 .
Obliczamy kolejno wyznaczniki:
det A =
1
2
3
4
2
1
2
3
3
2
1
2
4
3
2
1
= −20,
Macierze. Działania na macierzach.
det A
1
=
5
2
3
4
1
1
2
3
1
2
1
2
−5 3 2 1
= 40,
det A
2
=
1
5
3
4
2
1
2
3
3
1
1
2
4
−5 2 1
= −40,
Macierze. Działania na macierzach.
det A
1
=
5
2
3
4
1
1
2
3
1
2
1
2
−5 3 2 1
= 40,
det A
2
=
1
5
3
4
2
1
2
3
3
1
1
2
4
−5 2 1
= −40,
Macierze. Działania na macierzach.
det A
3
=
1
2
5
4
2
1
1
3
3
2
1
2
4
3
−5 1
= 60,
det A
4
=
1
2
3
5
2
1
2
1
3
2
1
1
4
3
2
−5
= −60.
Macierze. Działania na macierzach.
det A
3
=
1
2
5
4
2
1
1
3
3
2
1
2
4
3
−5 1
= 60,
det A
4
=
1
2
3
5
2
1
2
1
3
2
1
1
4
3
2
−5
= −60.
Macierze. Działania na macierzach.
Zatem
x
1
=
det A
1
det A
= −2,
x
2
=
det A
2
det A
= 2,
x
3
=
det A
3
det A
= −3,
x
4
=
det A
4
det A
= 3.
Macierze. Działania na macierzach.
Zatem
x
1
=
det A
1
det A
= −2,
x
2
=
det A
2
det A
= 2,
x
3
=
det A
3
det A
= −3,
x
4
=
det A
4
det A
= 3.
Macierze. Działania na macierzach.
Zatem
x
1
=
det A
1
det A
= −2,
x
2
=
det A
2
det A
= 2,
x
3
=
det A
3
det A
= −3,
x
4
=
det A
4
det A
= 3.
Macierze. Działania na macierzach.
Zatem
x
1
=
det A
1
det A
= −2,
x
2
=
det A
2
det A
= 2,
x
3
=
det A
3
det A
= −3,
x
4
=
det A
4
det A
= 3.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ jednorodny
Układ (1) dla b
1
= b
2
= . . . = b
n
= 0 nazywamy układem
jednorodnym
.
Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A
k
= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Wniosek
Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.
Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ jednorodny
Układ (1) dla b
1
= b
2
= . . . = b
n
= 0 nazywamy układem
jednorodnym
.
Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A
k
= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Wniosek
Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.
Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ jednorodny
Układ (1) dla b
1
= b
2
= . . . = b
n
= 0 nazywamy układem
jednorodnym
.
Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A
k
= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Wniosek
Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.
Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ jednorodny
Układ (1) dla b
1
= b
2
= . . . = b
n
= 0 nazywamy układem
jednorodnym
.
Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A
k
= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Wniosek
Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.
Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Macierze. Działania na macierzach.
Układ jednorodny
Układ (1) dla b
1
= b
2
= . . . = b
n
= 0 nazywamy układem
jednorodnym
.
Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A
k
= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Wniosek
Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.
Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
PREZENTACJA DYSLEKSJA id 390442 Nieznany
k macierze1 id 229458 Nieznany
Prezentacja pdf id 391045 Nieznany
prezentacja cw3 id 390345 Nieznany
Operacje na macierzach id 33628 Nieznany
k macierze id 229457 Nieznany
odwracanie macierzy id 333150 Nieznany
prezentacja dobra id 390418 Nieznany
PREZENTACJA UWM id 391342 Nieznany
prezentacja krata id 390646 Nieznany
Prezentacja BAT id 390276 Nieznany
Prezenacja IPTV id 389694 Nieznany
macierzyste id 276053 Nieznany
k macierze3 id 229460 Nieznany
Prezentacja agresji id 390224 Nieznany
prezentacja wilgoc id 391360 Nieznany
macierze 5 id 275948 Nieznany
macierze 2 id 275938 Nieznany
więcej podobnych podstron