Egzamin

rok 2012/2013

Zadanie 2 :

Obliczyć masę łuku L: {x(t) =

e

t

, y(t) =

e

t

, z(t) = t,

t∈[0,1]

}, jeżeli ρ(x,y,z) = xy.

Rozwiązanie:



Masa łuku wyraża się wzorem:

M =

∫

L

ρ

(x , y , z)dl

Gdzie ρ(x,y,z) jest dana ciągłą gęstością liniową masy łuku gładkiego

L∈ℝ

3



Naszą krzywą można zapisać:

⃗

γ

(t)=[e

t

, e

t

, t ]

t∈[0,1]



Obliczamy pierwszą pochodną krzywej oraz jej długość:

⃗

γ

' (t )=[e

t

,e

t

,1]

∣⃗

γ

' (t )∣=

√

e

2t

+e

2t

+1=

√

2⋅e

2t

+1



Obliczamy całkę:

M=

∫

L

ρ

(x , y , z)dl=

∫

0

1

ρ

( x(t) , y(t ), z(t ))⋅∣⃗

γ

' ( t )∣dt =

∫

0

1

e

t

⋅e

t

⋅

√

2⋅e

t

+1 dt =

∫

0

1

e

2t

⋅

√

2⋅e

2t

+1 dt

=

 Stosujemy podstawienie:

u=

2⋅e

2t

+1

du=

4⋅e

2t

+1dt



Zmieniamy granice całkowania:

t

0

1

u

3

2⋅e

2

+1



Kontynuujemy liczenie całki:

=

1
4

⋅

∫

3

e

3

+1

√

u du=[

1

4

⋅2

3

⋅u

3/ 2

]

3

e

2

+1

=1

6

⋅

√

(2⋅e

2

+1)

3

− 1

6

⋅

√

3

3

= 1

6

(

√

(2⋅e

2

+1)

3

−3⋅

√

3)

Odpowiedź:

Masa

łuku przy danej gęstości wynosi:

1
6

⋅(

√

(2⋅e

2

+1)−3⋅

√

3)

Autor:

Agnieszka Rapczyńska

grupa:

9