Kolokwium II

rok 2012/2013

Zadanie 2:

Wyznaczyć zbiór tych

R

x



, dla których szereg









1

2

2

)

3

(

n

n

n

n

x

jest zbieżny (ustalić także rodzaj

zbieżności). Podać promień zbieżności tego szeregu oraz obliczyć jego sumę wewnątrz przedziału zbieżności.

Rozwiązanie:

1) Ustalenie zbieżności szeregu:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

3

)

2

2

(

*

2

*

*

3

lim

2

2

2

*

3

lim

*

3

2

*

2

2

3

*

3

*

*

lim

3

2

*

2

2

3

lim

)

3

(

2

*

2

2

)

3

(

lim

)

(

)

(

lim

x

n

n

n

x

n

n

x

x

n

n

x

x

x

n

n

x

x

n

n

x

x

f

x

f

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n































































Szereg jest zbieżny dla

1

)

(

)

(

lim

1









x

f

x

f

n

n

n

wtedy:

3

3

3

1

3

1

1

3

2

2















x

x

x

x

Dla

3

3



x

szereg jest bezwzględnie zbieżny, a dla

3

3



x

szereg jest rozbieżny.

2) Ustalenie zbieżności na krańcach przedziału:

a)

3

3



x







































1

1

1

1

2

2

)

1

(

2

3

1

*

3

*

)

1

(

2

)

3

1

(

*

)

3

(

2

)

3

3

(

*

)

3

(

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Szereg naprzemienny











n

n

n

2

1

2

)

1

(

Szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny, sprawdzam więc zbieżność z kryterium Leibniza



0

2

1





n

a

n



ciąg malejący



0

1

2

1

lim

lim

















n

a

n

n

n

Wniosek szereg jest zbieżny warunkowo dla

3

3



x

b)

3

3





x









































1

1

1

1

2

2

)

1

(

2

3

1

*

3

*

)

1

(

2

)

3

1

(

*

)

3

(

2

)

3

3

(

*

)

3

(

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Szereg naprzemienny











n

n

n

2

1

2

)

1

(

Szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny, sprawdzam więc zbieżność z kryterium Leibniza



0

2

1





n

a

n



ciąg malejący



0

1

2

1

lim

lim

















n

a

n

n

n

Wniosek szereg jest zbieżny warunkowo dla

3

3





x

Podsumowując szereg jest zbieżny bezwzględnie w przedziale

)

3

3

,

3

3

(





x

, zbieżny warunkowo dla

3

3





x

i dla

3

3



x

oraz rozbieżny w przedziale

)

,

3

3

(

)

3

3

,

(











x

.

3) Obliczanie promienia zbieżności:

Promień zbieżności wynosi

3

3



R

, dla

0

0



x

co możemy odczytać z przedziału, w którym szereg jest

zbieżny







3

3

,

3

3

x

.

4) Obliczenie sumy szeregu w przedziale zbieżności:

)

(

)

3

1

ln(

2

1

1

ln

2

1

3

1

ln

2

1

)

3

1

6

(

2

1

3

1

3

3

1

3

3

)

3

(

*

)

1

(

3

*

)

3

(

*

3

*

)

1

(

2

*

)

3

(

*

)

1

(

2

)

3

(

2

2

0

2

0

2

2

1

0

1

2

1

0

1

1

2

1

2

2

2

1

1

2

x

S

x

x

dt

t

t

dt

t

t

q

t

q

t

a

dt

t

dt

t

n

x

n

x

x

x

x

n

n

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n





















































































































Obliczanie sumy na krańcach szeregu:

a)

3

3



x

2

ln

2

1

)

3

1

*

3

1

ln(

2

1

)

3

1

ln(

2

1

lim

)

3

3

(

2

3

3





















x

S

x

b)

3

3





x

2

ln

2

1

)

3

1

*

3

1

ln(

2

1

)

3

1

ln(

2

1

lim

)

3

3

(

2

3

3

























x

S

x

Odpowiedź:

Dla

3

3



x

szereg jest bezwzględnie zbieżny, dla

}

3

3

,

3

3

{





x

warunkowo zbieżny, a dla

3

3



x

szereg jest rozbieżny, promień zbieżności jest równy

3

3



R

, a suma szeregu jest równa

)

3

1

ln(

2

1

)

(

2

x

x

S







dla

)

3

3

,

3

3

(





x

,





)

3

3

(

S

2

ln

2

1

)

3

3

(





S

.

Autor:

Mateusz N.

grupa

2

16.01.2014