Kolokwium I

rok 2012/2013

Zadanie 2:

Obliczyć

, gdzie L jest okręgiem o równaniu

Rozwiązanie:



Sprowadzamy równanie okręgu do postaci:



Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy:

Otrzymujemy w ten sposób równanie okręgu o środku w punkcie S(1,0) i promieniu r=1



Parametryzujemy równanie okręgu:



Obliczamy pierwszą pochodną parametryzacji i obliczamy jej długość:



Obliczamy całkę

Wyrażenie podcałkowe mnożymy przez

Dla

sinus przyjmuje wartości nieujemne, a dla

niedodatnie, więc rozkładamy całkę na

dwie:

Stosujemy podstawienie:

I zmieniamy granice całkowania:

t

0

u

0

2

0

W drugiej całce odwracamy granice całkowania dodając przed nią znak ‘-‘

= 8

Odpowiedź:

Dla danego łuku

.

Autor:

Agnieszka Rapczyńska, grupa 9

22.10.2012