Kolokwium I

rok 2012/2013

Zadanie 3:

a) Sformułować twierdzenie Greena.
b) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć





L

xdy

ydx

2

, gdzie łuk L jest brzegiem kwadratu o

wierzchołkach 0(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1) zorientowanym ujemnie względem swego wnętrza.

Rozwiązanie:

a)

Twierdzenie Greena

Jeżeli funkcje P i Q są klasy

1

C

wewnątrz obszaru domkniętego

2

R

D



, normalnego względem obu

osi układu współrzędnych, brzeg L obszaru D jest łukiem zorientowanym dodatnio a pole wektorowe

]

,

[

Q

P

F



jest różniczkowalne w sposób ciągły na D to:



















L

D

dxdy

y

P

x

Q

Qdy

Pdx

)

(

b)

1)

Rysujemy kwadrat o podanych wierzchołkach

2)

Określamy przedziały w jakich znajdują się x i y















1

0

1

0

:

y

x

D

3) Korzystamy ze wzoru z twierdzeniu Greena



















L

D

dxdy

y

P

x

Q

Qdy

Pdx

)

(

; gdzie P=y, Q=2x

– funkcje te są różniczkowalne w sposób ciągły

w obszarze D

4) Obliczamy pochodne z P i Q potrzebne do wzoru:

2







x

Q

;

1







y

P

5) Podstawiamy dane do wzoru z twierdzenia Gr

eena i obliczamy całkę podwójną – minus w drugim kroku

wynika z ujemnej orientacji brzegu kwadratu:



 































L

x

dx

dx

y

dy

dx

xdy

ydx

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

|

|

)

1

2

(

2

Odpowiedź:

1

2











L

xdy

ydx

Autor: Anna B. grupa 2

18.10.2013