Wydział Zarządzania – Matematyka – Ćwiczenia

Zestaw 1. Granice funkcji. Pochodna funkcji.

Zadanie 1.1. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):

a) lim

x→2

x

2

+4

x+2

b)

lim

x→−

1
2

4x

2

−1

2x+1

c) lim

x→2

x

3

−8

x−2

d) lim

x→3

27−x

3

x−3

e) lim

x→3

x

2

−4x+3

2x−6

f) lim

x→−2

3x

2

+5x−2

4x

2

+9x+2

g) lim

x→4

x

2

−2x−8

x

2

−9x+20

h) lim

x→0

sin3x

4x

i) lim

x→0

4x

3sin2x

j) lim

x→0

tgx

4x

Zadanie 1.2. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):

a) lim

x→1

(x − 1)

√

2 − x

x

2

− 1

b) lim

x→

1
2

8x

3

− 1

6x

2

− 5x + 1

c) lim

x→1



1

1 − x

−

3

1 − x

3



d) lim

x→4

√

1 + 2x − 3

√

x − 2

e) lim

x→3

√

x + 13 − 2

√

x + 1

x

2

− 9

f) lim

x→0

sin 5x

sin 3x

g) lim

x→

π

2

cos x

π − 2x

h) lim

x→0

1 − cos x

x

2

i) lim

x→∞

 x

2

+ 1

x

2

− 2



x

2

j) lim

x→∞

√

1 + x + x

2

−

√

1 − x + x

2

k) lim

x→∞

√

x + 3 −

√

x + 1

l) lim

x→∞

x sin

1
x

m) lim

x→0

x ctg 3x,

n) lim

x→∞

 2x + 3

2x + 1



x+1

o) lim

x→∞

 3x − 1

3x + 1



2x−5

p) lim

x→0

√

cos x − 1

x

2

q) lim

x→

π

4

cos x − sin x

cos 2x

r) lim

x→0

sin 5x − sin 3x

sin x

Zadanie 1.3. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie x

0

, jeśli:

a) f (x) =

1

x − 3

, x

0

= 3

b) f (x) =

1

3 − x

, x

0

= 3

c) f (x) =

1

(3 − x)

2

, x

0

= 3

d) f (x) =

x + 1

x − 1

, x

0

= 1

e) f (x) =

1

x

2

− 4

, x

0

= 2

f) f (x) = 2

1

x−1

, x

0

= 1

g) f (x) = 4

1

x2−4

, x

0

= 2

h) f (x) = e

1

4−x2

, x

0

= −2

i) f (x) =

x

1 + e

1
x

, x

0

= 0

Zadanie 1.4. Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją granice:

a) lim

x→1

x + 1

x − 1

b) lim

x→0

x [x]

c) lim

x→1

|x − 1|

3

x

3

− x

2

d) lim

x→1

e

1

1−x2

Wydział Zarządzania – Matematyka – Ćwiczenia

Zadanie 1.5. Zbadać ciągłość funkcji f jeżeli:

a) f (x) =

(

2

x

+ 3

dla x ≤ 0

(x − 2)

2

dla x > 0

b) f (x) =

(

x − 1 dla x < 0

3

x

dla x ≥ 0

c) f (x) =

(

e

x

1−x

dla x 6= 1

0

dla x = 1

d) f (x) =

(

sin x

x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

e) f (x) =

(

cos

1
x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

f) f (x) =

(

arctg

1
x

dla x 6= 0

0

dla x = 0

Zadanie 1.6. Sprawdzić, czy można dobrać wartości parametrów a i b tak, aby funkcja f : R → R
była ciągła, jeżeli:

a) f (x) =

(

2

x

+ 8

dla x ≤ 0

(x − a)

2

dla x > 0

b) f (x) =

(

cos

πx

2

dla x ≤ 1

a |x − 1| dla x > 1

c) f (x) =











−a

x

dla

x ≤ −1

2x + 3

dla −1 < x ≤ 1

b (x − 2)

2

+ 3 dla

x > 1

d) f (x) =











2 + e

1
x

dla x < 0

sin ax

3x

dla x > 0

b

dla x = 0

2

Wydział Zarządzania – Matematyka – Ćwiczenia

Zadanie 1.7. Obliczyć pochodne następujących funkcji:

1) f (x) = 3

2) f (x) = x

4

+ 3x

2

−

1

x

+

√

x

3) f (x) = 2x

3

− x

2

4) f (x) =

5x − 1

3 − 2x

5) f (x) =

x

2

− 1

x

2

+ 1

6) f (x) =

2

x

3

− 1

7) f (x) = x

√

1 + x

2

8) f (x) = (

√

x + 1)(

1

√

x

− 1)

9) f (x) = x

2

e

x

10) f (x) =



x

3

+

1

x

2



e

x

11) f (x) = 10

x

12) f (x) =

x

4

x

13) f (x) = 2

√

x − 3 ln x + 1

14) f (x) = x ln x

15) f (x) =

ln x

1 + x

2

16) f (x) = log

3

x

17) f (x) = sin x + cos x

18) f (x) = x

3

sin x

19) f (x) =

√

x cos x

20) f (x) =

sin x

x

4

+ 4

21) f (x) =

sin x − cos x

sin x + cos x

22) f (x) = arc sin x + arc cos x

23) f (x) = x arc sin x

24) f (x) = x + arctg x

25) f (x) =

q

1−x
1+x

26) f (x) = ln(e

x

+

√

1 + e

x

)

27) f (x) = e

(x

2

−3x−4)

28) f (x) = cos

1 −

√

x

1 +

√

x

29) f (x) = (2x

3

− 1)

5

30) f (x) =

 1 + x

2

1 + x



5

31) f (x) =



sin x

1 + cos x



3

32) f (x) = cos

3

4x

33) f (x) =

√

4x

2

+ 2

3x

4

34) f (x) = (2x + 1) 2

2x+1

35) f (x) = (1 +

√

x) tg (

√

x)

36) f (x) = sin 2x cos

2

x

37) f (x) = arc sin

x
2

38) f (x) = arc sin

√

1 − 5x

39) f (x) = arctg

2x

1 − x

2

3