GRANICA CIĄGU
SYMBOLE NIEOZNACZONE :
∞
∞
;
0
0
; ∞ − ∞ ; 0 · ∞ ; 1
∞
; 0
0
; 0
∞
; ∞
0
PONADTO:
lim
n→∞
n
√
n = 1
lim
n→∞
n
√
a = 1 gdy a > 0
lim
n→∞
a
n
k
= 0 gdy a ∈ R, k > 0
lim
n→∞
a
n
=
0
gdy |a| < 1
1
gdy a = 1
∞
gdy a > 1
nie istnieje
gdy a 6 −1
W ciągach o budowie podobnej do funkcji wielomianowej, w których występuje symbol nieoznaczony ”∞−∞” licząc
granicę wyłączamy przed nawias n w najwyższej potędze występującej w wyrażeniu.
Zad 1 Znaleźć granice ciągów:
a) a
n
= n
4
+ 2n
2
− 1
c) a
n
= n
3
− 2n
2
+ n − 1
b) a
n
= −n
5
+ n
2
− 4
d) a
n
= 1 − n
2
+ 6n
3
− 4n
6
W ciągach o budowie podobnej do funkcji wymiernej licząc granicę:
- wyłączamy przed licznik oraz przed mianownik n w najwyższej potędze występującej w mianowniku
ALBO
- wyłączamy przed licznik n w najwyższej potędze występującej w liczniku oraz przed mianownik n w najwyższej
potędze występującej w mianowniku.
Zad 2 Znaleźć granice ciągów:
a) a
n
=
−n
3
+3n
2
−1
2n
3
−3n+5
k) a
n
=
√
n
2
+n−1−5n
√
n
2
−1+n+1
b) a
n
=
n
3
+n
2
−3
2n
2
−3n+1
l) a
n
=
√
n+1−5
3
√
n
2
−1+1
c) a
n
=
2n−1
2n−3+5n
3
m) a
n
=
3
√
n+1−5
√
n
2
−1+1
d) a
n
=
3n
2
−1
n+5
− 3n
n) a
n
=
√
n+1−
√
5n
4
+3
√
n
4
−n
2
+1
e) a
n
=
−3n
2
+1
n
√
n−n+2
o) a
n
=
5
√
n−3
3
√
n+2n
6
√
n−
√
n+1
f) a
n
=
(n+1)!
n!−3(n+1)!
p) a
n
=
√
n
2
+1−5n
2
3
√
n
3
−1+1
g) a
n
=
n!+(n+1)!
(n+2)!
r) a
n
=
(n−1)(n−2)(2n+3)(3n−1)(n+3)(2−3n)−3
4n−(n
2
+1)(n
2
+4)(1−n)(n+6)
h) a
n
=
(n+1)
10
(2n−1)
14
s) a
n
=
(n+1)(n+2)(n+3)−(n−1)(n−2))
n
2
+2n+3
i) a
n
=
(n
3
√
n−2n
2
+1)
8
(n
4
−2n+2)
7
t) a
n
=
(n+1)(n+2)(n+3)−(n−1)(n−2))
n
3
+2n+3
j) a
n
=
(n
5
−2n
2
+3)
2008
(n
2
−2n+3)
8002
u) a
n
=
(n+1)(n+2)(n+3)−(n−1)(n−2))
n
2
+2n
4
+3
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG
W ciągach z elementami o charakterze wykładniczym licząc granicę:
- wyłączamy przed licznik oraz przed mianownik a
n
, gdzie a największa podstawa występująca w mianowniku
ALBO
- wyłączamy przed licznik a
n
gdzie a największa podstawa występująca w liczniku oraz przed mianownik b
n
gdzie b największa podstawa
występująca w mianowniku.
Zad 3 Znaleźć granice ciągów:
a) a
n
= 2
n
+ 3
n
− 4
n
j) a
n
=
n
√
e
n
+ π
n
− 3
n
b) a
n
= (−
2
3
)
n
+ 3
−n
+ 11
k) a
n
=
4
√
e
n
+ π
n
− 3
n
c) a
n
=
3
π
n
+
e
3
n
−
π
e
n
l) a
n
=
n
q
3·4
n
+2
n
3
n
−1
d) a
n
=
2
n
+3
n
4
n
+5
n
m) a
n
=
n
q
3
2n
−4
n
4
n+1
+5
n
e) a
n
=
3
n+1
−6
n
2
n+2
+6
n+1
n) a
n
= 3
1
n
+
2
3
1
n
+2
f) a
n
=
3
2n
+4
n
−1
2−3
n
−9
n
7
o) a
n
=
n
√
n
5
−5·n
2
n
3
√
n
3
−1+1
g) a
n
=
√
9
n
−1
3·2
n
+5
p) a
n
= 9
2n−8
4n−1
h) a
n
=
4
n
+2·8
2n+1
5−4
3n+1
r) a
n
=
4
3
√
n4−n+2n
n+3
i) a
n
=
n
√
2
n
+ 2
−n
+ 5
s) a
n
= −
2
3
−n
2
+n
Gdy obliczając granicę ciągu postaci a
n
= √
− √
otrzymujemy symbol nieoznaczony ”∞ − ∞” rozszerzamy wyrażenie mnożąc
i dzieląc przez tzw. sprzężenie tzn. przez (√
+ √
). Następnie w liczniku korzystamy z wzoru skróconego mnożenia.
Przykład: lim
n→∞
(
p
n
2
+ 1−
p
n
2
− 3) = lim
n→∞
(
√
n
2
+ 1 −
√
n
2
− 3)(
√
n
2
+ 1 +
√
n
2
− 3)
√
n
2
+ 1 +
√
n
2
− 3
= lim
n→∞
n
2
+ 1 − (n
2
− 3)
√
n
2
+ 1 +
√
n
2
− 3
=
= lim
n→∞
4
√
n
2
+ 1 +
√
n
2
− 3
=
h
4
∞
i
= 0
Dla ciągów postaci a
n
=
3
√
−
3
√
dążymy do skorzystania z wzoru skróconego mnożeniaa
3
− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab + b
2
).
Zad 4 Znaleźć granice ciągów:
a) a
n
=
√
n + 1 −
√
n − 1
e) a
n
=
3
√
n2+1
3
√
n2−n
b) a
n
= 2n −
√
4n
2
+ n − 1
f) a
n
=
e
√
3n
e
√
3n−6
c) a
n
= n
√
2 −
√
2n
2
+ 3n
g) a
n
=
3
√
n
2
+ 1 −
3
√
n
2
+ 3
d) a
n
=
√
n + 1 − n
h) a
n
=
3
√
n
3
+ 1 −
3
√
n
3
+ 3n
LICZBA
e
1.
lim
n→∞
1+
1
n
n
= e
2.
lim
n→∞
1−
1
n
n
= e
−1
3.
lim
n→∞
1+
p
q · n
r·n
= e
p
q
·r
4.
Jeżeli lim
n→∞
a
n
= ∞ , to lim
n→∞
1+
1
a
n
a
n
= e
Zad 5 Znaleźć granice ciągów:
a) a
n
=
1 +
1
3n
n
g) a
n
=
2n−3
n+5
n
m) a
n
=
1 +
4
n+5
2n+5
b) a
n
=
n
n+1
2n
h) a
n
=
n+1
3n−1
2n
n) a
n
=
1 −
1
2n
n
2
c) a
n
=
1 −
2
3n
n
i) a
n
=
n
2
+3
n
2
n
2
o) a
n
=
4n−3
4n+5
n−6
d) a
n
=
n+5
n
n
j) a
n
=
n
2
+3
n
2
+5
2n
p) a
n
= n · ln
n+3
n−5
e) a
n
=
n−1
n+3
3n
k) a
n
=
2n−1
2n+5
4n
2
r) a
n
=
n
2
+2
2n(ln n−ln(n+1))
f) a
n
=
2n−3
2n+1
n
2
l) a
n
=
3n−2
3n+1
2n+1
s) a
n
=
1
2n
2
(ln(n+1)−ln(n−1))
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG
TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH
Jeżeli
∃
n
0
∈N
∀
n>n
0
a
n
6 b
n
6 c
n
oraz lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= g
(g - granica właściwa),
to
lim
n→∞
b
n
= g.
Zad 6 Znaleźć granice ciągu a
n
stosując twierdzenie o trzech ciągach:
a) a
n
=
2n+(−1)
n
3n−2
g) a
n
=
n
p
1 +
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
b) a
n
=
2n−3
n+sin n!
h) a
n
=
n
√
1
10
+ 2
10
+ · · · + n
10
c) a
n
=
4n+cos
2
n
3n
2
−sin
1
n
i) a
n
=
n
√
1 · 2
1
+ 2 · 2
2
+ 3 · 2
3
+ · + n · 2
n
d) a
n
=
n
√
2
n
+ 3
n
+ 4
n
j) a
n
=
1
√
n
3
+1
+
1
√
n
3
+2
+ · · · +
1
√
n
3
+n
e) a
n
=
n
√
π
n
+ e
n
+ 4
−n
k) a
n
=
n
p
5 + sin
n
2
f) a
n
=
n
√
2
2n+1
+ 3
3n+2
+ 4
2n
l) a
n
=
n
√
n
2
+ 5n + 16
Zad 7 Znaleźć granice ciągów:
a) a
n
=
2+(−1)
n
3n−2
g) a
n
=
1+3+5+...+(2n+1)
n
2
+2
n
2
b) a
n
=
cos n
n+1
h) a
n
=
1+
1
2
+
1
4
+...+
1
2n
1+
1
3
+
1
9
+...+
1
3n
c) a
n
= sin n · arcctg n
i) a
n
=
1−2+3−4+5−...+(2n−1)−2n
√
n
2
+1
d) a
n
= (cos n!)
n
2
· −
1
3
n
j) a
n
=
n
√
2 + 2
n
+ 2
2n
e) a
n
=
(−1)
n
ln n
k) a
n
=
n
√
n
2
+ 5n + 16
f) a
n
=
1+2+3+...+n
3n
2
+2
4
l) a
n
=
n
5
+(n+1)
5
+...+(n+100)
5
n
5
+100
5
Zad 8
Znaleźć lim
n→∞
a
n+1
a
n
gdy:
a) a
n
=
n
5
3
n
c) a
n
=
(n!)
2
n
2n
b) a
n
=
n
n
n!
d) a
n
=
n!
2
n
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
chemia zadania 2 id 113035 Nieznany
me zadanie 2 id 290295 Nieznany
plyta zadanie id 363191 Nieznany
Dodatkowe zadania id 138777 Nieznany
formularze zadania id 179681 Nieznany
(budzet zadaniowy)id 1238 Nieznany (2)
CO zadania id 118396 Nieznany
blok 7 zadania id 90420 Nieznany (2)
111 ZADANIA2 1 id 601077 Nieznany (2)
Algorytmy zadania id 51150 Nieznany (2)
elektrotechnika zadanie id 1593 Nieznany
IT zadania1 id 220832 Nieznany
jQuery zadania id 228844 Nieznany
arkusz 1 zadania id 68486 Nieznany (2)
Magnucka zadania id 276836 Nieznany
Miary opisowe zadania id 298386 Nieznany
mata zadania zadania id 765851 Nieznany
więcej podobnych podstron