GRANICA

Definicja Heinego:

Liczbę a nazywamy granicą funkcji f: A→ R w punkcie x₀, jeśli dla każdego ciągu (x_n) argumentów funkcji f zbieżnego do x₀, o wyrazach różnych od x₀, odpowiadający mu ciąg (f(x_n)) wartości funkcji f jest zbieżny do a.

Jeśli funkcje f i g mają w punkcie x₀ granice odpowiednio a i b, to istnieją w punkcie x₀ granice funkcji: f+g, f-g, fg, f/g, przy czym ta ostatnia istnieje przy b 0 i zachodzą związki:

POCHODNA FUNKCJI

Jeśli funkcja f jest określona w przedziale (a;b), x (a;b) i istnieje skończona granica

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy symbolem f'(x₀).

Wzory na pochodną:

f(x)=k f'(x)=0

f(x)=ax+b f'(x)=a

f(x)=ax²+bx+c f'(x)=2ax+b

f(x)=a/x f'(x)=-a/(x)²

f(x)= x f'(x)=1/(2 x)

f(x)=a*g(x) f'(x)=a*g'(x)

f(x)=g(x)+k(x) f'(x)=g'(x)+k'(x)

f(x)=g(x)*k(x) f'(x)=g'(x)*k(x)+g(x)*k'(x)

f(x)=g(x)/k(x)

f'(x)=(g'(x)*k(x)-g(x)*k'(x))/(k(x))²

f(x)=xⁿ f'(x)=n*x^n-1

Jeśli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a;b) jest w tym przedziale funkcją rosnącą, to jej pochodna f' w każdym punkcie przedziału (a;b) przyjmuje wartość nieujemną.

Jeśli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a;b) jest w tym przedziale funkcją malejącą, to jej pochodna f' w każdym punkcie przedziału (a;b) przyjmuje wartość niedodatnią.

Ekstremum funkcji:

warunek konieczny

Jeżeli funkcja f: A→ R ma w punkcie x_0 A ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to f'(x₀)=0.

warunek wystarczający

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu U=(x₀-δ ; x₀+δ ) (gdzie δ >0) punktu x₀ i jej pochodna f' spełnia następujące warunki:

1) f'(x₀)=0

2) f'(x)>0 dla każdego x (x₀-δ ; x₀) i f'(x)<0 dla każdego x (x₀; x₀+δ ), to w punkcie x₀ funkcja f ma maksimum.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu U=(x₀-δ ; x₀+δ ) (gdzie δ >0) punktu x₀ i jej pochodna f' spełnia następujące warunki:

1) f'(x₀)=0

2) f'(x)<0 dla każdego x (x₀-δ ; x₀) i f'(x)>0 dla każdego x (x₀; x₀+δ ), to w punkcie x₀ funkcja f ma minimum.

Druga pochodna:

Jeśli funkcja f: X→ R jest różniczkowalna w zbiorze X oraz jej pochodna f': X→ R jest również różniczkowalna w zbiorze X to mówimy, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w X. Funkcję nazywamy drugą pochodną funkcji f. f''=(f')'

Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x₀ i jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz f'(x₀)=0 i f''(x₀)>0 to w punkcie x₀ funkcja f ma minimum.

Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x₀ i jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz f'(x₀)=0 i f''(x₀)<0 to w punkcie x₀ funkcja f ma maximum.
 
 

Równanie stycznej w punkcie:

---