POŁĄCZENIA PROSTYCH ŁUKIEM I KLOTOIDĄ

Przykład – Obliczanie połączenia dwóch prostych łukiem kołowym

Obliczanie połączenia łukiem polega na podaniu pikietażu punktów charakterystycznych:
PO, PŁ, ŚŁ, KŁ, KO
Pikietaż – odległość punktów od początku drogi w tym wypadku w rzucie (bez uwzględnienia
pochylenia niwelety)

Dane do przykładowego zadania:
R=125m,

γ

= 60

o

=1,0472 rad,

Pikietaż początku opracowania: km 23 + 238,27
Długość odcinka

AWŁ

= 2323,17 m

Długość odcinka

WŁ

B= 1789,43 m

OBLICZENIA
1. Pikietaż wierzchołka łuku:

44

,

561

25

+

=

+

=

km

AWŁ

PO

WŁ

2. Pikietaż końca opracowania „po łamanej”:

87

,

350

27

km

WLB

AWŁ

PO

'

KO

+

=

+

+

=

3. Długość stycznej:

m

tg

tg

R

T

o

17

,

72

30

125

2

=

⋅

=

⋅

=

γ

4. Obniżenie łuku (odległość od WŁ do ŚŁ):

m

R

R

R

Z

o

34

,

19

1

30

cos

1

125

1

2

cos

1

2

cos

=













−

⋅

=





















−

⋅

=

−

=

γ

γ

5. Długość łuku:

m

R

Ł

o

90

,

130

2958

,

57

=

=

γ

1

6. Skrócenie trasy:

m

Ł

T

S

t

44

,

13

90

,

130

17

,

72

2

2

=

−

⋅

=

−

=

Pikietaż punktów charakterystycznych:

43

,

337

27

'

17

,

620

25

72

,

554

25

2

1

27

,

489

25

27

,

238

23

+

=

−

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

−

=

+

=

km

S

KO

KO

km

Ł

PŁ

KŁ

km

Ł

PŁ

SŁ

km

T

WŁ

PŁ

km

PO

t

Krzywa przejściowa określanie parametru A

PKP – początek krzywej przejściowej
KKP – koniec krzywej przejściowej

Klotoida – jest to krzywa przejściowa pomiędzy prostą, a łukiem o proporcjonalnej do łuku
długości dzięki czemu znalazła zastosowanie przy projektowaniu dróg i linii kolejowych.
Pojazd poruszający się po klotoidzie ze stałą prędkością liniową ma jednostajne
przyspieszenie kątowe i jednostajnie rosnącą siłę odśrodkową.

2

Wzór parametru klotoidy:

L

R

A

⋅

=

2

gdzie:

R – promień na końcu odcinka klotoidy
L – długość odcinka klotoidy
A – parametr klotoidy (jeżeli wartość parametru jest duża klotoida jest łagodna, jeżeli
natomiast A=1 to wynikiem graficznym jest punkt)

z przekształceń:

R

A

L

2

=

τ

- kąt zwrotu na klotoidzie;

A

L

⋅

=

2

2

τ

3

Warunki doboru parametru A (wybrane):

1. Warunek dynamiczny. Przyrost przyspieszenia odśrodkowego k działający na

samochód poruszający się z prędkością projektową nie może być mniejszy niż §22.1

k

6

,

3

V

A

3

3

p

min

)

1

(

⋅

=

V

p

– prędkość projektowa

k – przyrost przyspieszenia dośrodkowego

§ 22. 1. Dwa odcinki drogi, które mają stałe i o różnej wartości krzywizny w planie, powinny być połączone krzywą przejściową, z
zastrzeżeniem ust. 3 i 4. Krzywa przejściowa powinna być wykonana tak, aby:

1) przyrost przyspieszenia dośrodkowego działającego na pojazd poruszający się z prędkością projektową nie był
większy niż określony w tabeli:

Prędkość projektowa (km/h)

120-100

80

70

60

50

40

Przyrost przyspieszenia dośrodkowego (m/s

3

)

0,3

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

2) kąt zwrotu trasy na długości krzywej przejściowej mieścił się w przedziale 3°-30°, z zastrzeżeniem ust. 2,

3) dodatkowe pochylenie podłużne zewnętrznej krawędzi jezdni na krzywej przejściowej spełniało warunki, o których
mowa w § 18 ust. 3.

§ 12. 1. Dla klas dróg, o których mowa w § 4 ust. 1, ustala się prędkości projektowe określone w tabeli:

Klasa drogi

A

S

GP

G

Z

L

D

prędkość projektowa drogi (km/h):

poza terenem zabudowy

120, 100, 80

1)

120

2)

, 100, 80 100, 80, 70, 60 70, 60, 50 60, 50, 40 50, 40 40, 30

na terenie zabudowy

80, 70, 60

1)

70, 60

60, 50

60, 50, 40 40, 30 30

2. Warunek komfortu jazdy. Dodatkowy przyrost pochylenia podłużnego

i

∆

na

krzywej przejściowej nie może być większy niż §18.3

(

)

p

o

i

i

B

i

R

A

+

⋅

⋅

∆

=

2

min

)

2

(

i

p

– pochylenie na prostej (daszkowe – 2%)

i

o

– pochylenie na łuku zależne od prędkości projektowej (miarodajnej)

B – szerokość całej jezdni (2 pasy ruchu)

i

∆

- zmiana pochylenia poprzecznego jezdni drogi wg § 18.

§ 15. 1. Szerokość pasa ruchu, z zastrzeżeniem § 14 ust. 6 i § 16, określa tabela:

Usytuowanie drogi

Szerokość pasa ruchu (m) na drodze klasy

A

S

GP

G

Z

L

D

poza terenem zabudowy

3,75

1)

3,50

3,50

3,00-3,50

2,75-3,00

2,50-2,75

2,50-2,75

5)

3,75

2)

3,50-3,00

6)

na terenie zabudowy

3,50

3,50

3,50

3,50

3,50

3,00

2,50-2,25

5)

3,50-3,25

3)

3,50-3,25

3)

3,50-3,25

3)

3,00-2,50

7)

3,50-3,00

8)

3,25-3,00

4)

3,25-2,75

4)

§ 21. 1. Odcinek krzywoliniowy może zawierać łuk kołowy, kombinacje łuków kołowych i krzywych przejściowych, a także inne rodzaje
krzywych.

4

2) wartości promienia łuku kołowego w planie oraz pochylenia poprzecznego jezdni są zgodne, z zastrzeżeniem ust. 5, z określonymi w
tabelach:

a) droga klasy G i drogi wyższych klas, jeżeli jezdnia nie jest ograniczona krawężnikami:

Prędkość miarodajna (km/h)

Promień łuku kołowego w planie (m) przy pochyleniu poprzecznym jezdni

1)

jak na odcinku prostym

2% do 2,5%

3%

4%

5%

6%

2)

7%

2)

130

≥4000

≥3500

2500

1800

1400

1100

≤900

120

≥3500

≥3000

2000

1500

1200

900

≤750

110

≥2800

≥2500

1800

1400

1000

800

≤600

100

≥2200

≥2000

1400

1000

800

600

≤500

90

≥1600

≥1500

1000

750

600

500

≤400

80

≥1200

≥1100

800

600

450

350

≤300

70

≥1000

≥800

600

400

300

250

≤200

60

≥600

≥500

350

250

200

150

≤125

50

≥450

≥350

250

175

125

100

≤80

c) drogi klasy Z, L i D, jeżeli jezdnia nie jest ograniczona krawężnikami:

Prędkość projektowa (km/h)

Promień łuku kołowego w planie (m) przy pochyleniu poprzecznym jezdni

*)

jak na odcinku prostym

2%

3%

4%

5%

6%

7%

60

≥600

≥500

350

250

200

150

125

50

≥450

≥350

250

175

125

100

80

40

≥250

≥220

150

100

75

60

50

30

≥150

≥120

90

60

50

40

30

Prędkość miarodajna

§ 13. 1. W wypadku dróg klasy G i dróg wyższych klas wprowadza się prędkość miarodajną, określaną w następujący sposób
:
1) na dwujezdniowej drodze poza terenem zabudowy:
V

m

= V

p

+ 10 km/h przy V

p

≥ 100 km/h,

V

m

= V

p

+ 20 km/h przy V

p

≤ 80 km/h,

gdzie:
V

m

- prędkość miarodajna (km/h),

V

p

- prędkość projektowa (km/h),

2) na dwupasowej drodze dwukierunkowej poza terenem zabudowy zgodnie z tabelą:

Krętość drogi (°/km)

<80 80-160 161-240 >240

Prędkość miarodajna (km/h)

drogi klasy S o szerokości jezdni 7,5 m lub 7,0 m

110 100

90

80

drogi o szerokości jezdni 7,0 m z utwardzonymi poboczami 110 90

80

70

drogi o szerokości jezdni 7,0 m bez utwardzonych poboczy 100 90

80

70

drogi o szerokości jezdni 6,0 m z utwardzonymi poboczami 90

80

70

70

drogi o szerokości jezdni 6,0 m bez utwardzonych poboczy 90

80

70

60

3) na drodze na terenie zabudowy:
V

m

= V

o

+ 20 km/h, jeżeli jezdnia nie jest ograniczona krawężnikami,

V

m

= V

o

+ 10 km/h, jeżeli jezdnia jest ograniczona z jednej lub z obu stron krawężnikami,

gdzie:
V

m

- prędkość miarodajna (km/h),

V

o

- największa dopuszczalna prędkość samochodów osobowych na drodze, ograniczona znakiem lub dopuszczona przepisami (km/h).

5

Przy czym V

p

+ 20 km/h

(maxymalnie)

= V

m

V

m

– prędkość miarodajna

2. Prędkość miarodajna powinna być co najmniej równa prędkości projektowej drogi i nie większa od niej o więcej niż 20 km/h.

§ 18. 1. Zmiana pochylenia poprzecznego jezdni powinna być wykonana na krzywej przejściowej, prostej przejściowej, jeżeli krzywa
przejściowa nie jest wymagana, lub na łuku kołowym o większym promieniu, jeżeli jest to krzywa koszowa.

2. Usytuowanie osi obrotu jezdni powinno być tak dobrane, aby zapewnić sprawny odpływ wody oraz płynny przebieg krawędzi jezdni, o
którym mowa w § 26 ust. 1 pkt 1.

3. Zmiana pochylenia poprzecznego jezdni drogi powinna być tak prowadzona, aby dodatkowe pochylenia podłużne krawędzi jezdni nie
przekraczały wartości określonych w tabeli:

Prędkość projektowa (km/h)

Dopuszczalne dodatkowe pochylenie krawędzi jezdni (%)

największe

najmniejsze na odcinku o pochyleniu poprzecznym ≤2%

120-100

0,90

0,1 × a a - odległość krawędzi jezdni od osi obrotu (m)

80

1,0

70,60

1,6

≤50

2,0

3. Warunek geometryczny

γ

⋅

=

R

A

max

)

3

(

lub

γ

⋅

≈

R

A

132

,

0

max

)

3

(

jeżeli wartość γ jest wyrażana w stopniach

4. Warunek estetyki I

R

A

3

1

min

)

4

(

=

oraz

R

A

=

max

)

5

(

5. Warunek estetyki II

4

3

min

)

6

(

86

,

1

R

A

⋅

=

oraz

4

3

max

)

7

(

78

,

2

R

A

⋅

=

Należy teraz znaleźć odpowiednie wielkości supremum wartości A

min

oraz infinimum

wartości A

max

według:

{

}

{

}

)

7

(

)

5

(

)

3

(

)

6

(

)

4

(

)

2

(

)

1

(

;

;

inf

;

;

;

A

A

A

A

A

A

A

A

Sup

≤

≤

Odpowiedni wynik można przyrównać do warunku proporcjonalności:

6. Warunek proporcjonalności. Przy czym stosunek długości klotoidy do łuku

kołowego powinien się zawierać w przedziale 1:2 do 1:1

γ – wartość kątowa podana w radianach

2

3

γ

γ

R

A

R

≤

≤

Wszystkie wartości parametru A wyrażane są w metrach [m]

6

Dane podstawowe klotoidy i połączenia łuku z krzywą przejściową

Dane klotoidy:

a) parametr A przyjęty według wcześniejszych założeń

b)

R

A

L

2

=

c)

2

2

2

180

A

L

⋅

⋅

=

π

τ

wartość wyrażona w stopniach

d)

8

9

4

5

3456

40

A

L

A

L

L

X

⋅

+

⋅

−

=

e)

10

11

6

7

2

3

42240

366

6

A

L

A

L

A

L

Y

⋅

+

⋅

−

⋅

=

f)

R

L

H

⋅

=

24

2

g)

τ

sin

⋅

−

=

R

X

X

S

h)





















−

⋅

+

+

=

1

2

cos

1

)

(

γ

H

R

H

Z

o

Dane połączenia łuku z krzywą przejściową:

a) Styczna przesuniętego łuku:

2

)

(

1

γ

tg

H

R

T

⋅

+

=

b) Długość stycznej:

S

o

X

T

T

+

=

1

c) Kąt zwrotu na łuku:

τ

γ

α

2

−

=

d) Długość łuku kołowego:

296

,

57

α

α

⋅

=

R

Ł

7

e) Skrócenie trasy:

α

Ł

L

T

S

o

T

−

⋅

−

⋅

=

2

2

Kilometraż punktów charakterystycznych (dla przykładowych obliczeń)

•

początek opracowania

PO = km 0 + 000

•

początek krzywej przejściowej

PKP = WŁ – T

0

= 1400 m – 117,2 m = km 1 + 282,8

•

początek łuku

PŁ = PKP + L = 1282,8 m + 72 m = km 1 + 354,8

•

środek łuku

ŚŁ = PŁ + ½

α

Ł

= 1354,8 m + ½ * 81,58 m = km 1 + 395,59

•

koniec łuku

KŁ = PŁ +

α

Ł

= 1354,8 m + 81,58 m = km 1 + 436,38

•

koniec krzywej przejściowej

KKP = KŁ + L = 1436,38 m + 72 m = km 1 + 508,38

•

koniec opracowania

KO = KO’ - S

T

= 2700 m – 8,82m = km 2 + 691,18

Niweleta drogi

Obliczenia do przekroju podłużnego drogi.

a) pochylenie

m

h

7

,

25

1

=

∆

m

L

r

2100

1

=

∆

r

L

1

∆

- pochylenie drogi w

rzucie

m

h

8

,

0

2

−

=

∆

m

L

r

591

2

=

∆

%

0122

,

0

2100

7

,

25

1

1

1

=

=

∆

∆

=

L

h

i

8

%

0013

,

0

591

8

,

0

2

2

1

=

−

=

∆

∆

=

L

h

i

b) kąt nachylenia

o

arctg

i

arctg

69898

,

0

)

0122

,

0

(

1

1

=

=

∆

=

γ

o

arctg

i

arctg

07448

,

0

)

0013

,

0

(

2

2

−

=

=

∆

=

γ

c) kąt zwrotu

o

77346

,

0

07448

,

0

69898

,

0

2

1

=

−

+

=

+

=

γ

γ

γ

d) długość w nachyleniu

2
1

2

1

1

'

L

h

L

∆

+

∆

=

2

2

2

2

2

'

L

h

L

∆

+

∆

=

e) długość łuku

296

,

57

γ

⋅

=

R

Ł

f) styczna łuku

2

77446

,

0

2500

2

o

tg

tg

R

T

⋅

=

⋅

=

γ

g) długość prostych

T

L

L

−

=

'

1

1

T

L

L

−

=

'

2

2

h) obniżenie





















−

=

1

2

cos

1

γ

R

Z

9