Praca domowa z analizy matematycznej nr 1

Zadanie 1 Udowodnić tautologie podane na ćwiczeniach.
Zadanie 2 Sprawdzić, czy następujące wyrażenie jest tautologią:

a) p ⇒ [q ⇒ (p ∧ q)]

b) ([p ⇒ (∼ p)] ⇒ (∼ p)

c) [(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ r] ⇐⇒ [q ⇐⇒ (p ⇐⇒ r)]

d) [(p ∧ q) ⇒ r] ⇒ [p ∧ (q ⇒ r)]

e) (p ⇒ q) ⇐⇒ [p ∨ (∼ q)]

f) (p ∧ q) ⇐⇒ (p ∨ q)

Zadanie 3 Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwa jest równość:

a) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B

b) (A ∪ C) \ B = (A \ B) ∪ (C \ B)

c) (B ∩ C) ∪ (C \ A) = C \ (A \ B)

Zadanie 4 Znaleźć liczbę, której .

a) 3% wynosi

(3:

9

25

−15):3

1
3

0,5−

2
3

+

7

10

b) 4% wynosi 0, 228: [(1, 5291 −

14,53662

3−0,095

∗ 0, 305): 0, 12]

Zadanie 5 Wykazać, że określona na zbiorze R wszystkich liczb rzeczywistych
funkcja :

a) y =

(

x

2

+ x − 2 , gdy x ¬ 0

x

2

− x − 2 , gdy x > 0

jest parzysta,

b) y =

1−x

1+x

2

nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Zadanie 6 Znaleźć okres podstawowy funkcji:

a) y = sin 5x

b) y = cos

x
2

c) y = tg 2x

d) y =

1

sinx

1

e) y = cos

2

(x − 4)

Zadanie 7 Rozwiązać równanie:

a) |x − 3| = 3 − x

b) |3x

2

+ 2x| = x|3x + 2|

c) |6x − 2| = 10

d) |x − 3| + |4 − x| = 6

e)

√

1 − cos

2

x = 1

f) |x

2

+ 5| = x

2

+ 5

g) |x

2

− 1| + |x

2

− x| = x

h) |1 − x| + 2x = −4

i) |x − 4| + x = 4

Zadanie 8 Rozwiązać nierówność::

a) |2x + 12| ¬ 22

b) |

2x−1

4

| ­ 5

c) 10 − |

5−x

4

| > 0

d) |x − 1| + |x − 5| ¬ 10 − 2x

e) |16x

2

− 4| < 4

f) |x + 1| + |2 − x| < 3 − x

g) (

1
2

)

x−1

|x|

< 2

h) |

x−1
x+1

| < 1

i)

x

2

−4|x|

x

2

+2

> 0

2