Praca domowa z analizy matematycznej nr 5

Zadanie 1 Obliczyć granice ciągów:

1) lim

n→∞

n

n+

3

√

n

3

+1

2) lim

n→∞

n

3

−100n

2

+1

100n

2

+15n

3) lim

n→∞

(n+1)

4

−(n−1)

4

(n+1)

4

+(n−1)

4

4) lim

n→∞

n!

(n+1)!−n!

5) lim

n→∞

1+

1
2

+

1
4

+...+

1

2n

1+

1
3

+

1
9

+...+

1

3n

6) lim

n→∞

1

n

2

(1 + 2 + 3 + . . . + n)

7) lim

n→∞

3

√

n

3

+ 3n − n

8) lim

n→∞

n

√

5

n

+ 7

n

+ 9

n

Zadanie 2 Obliczyć granice funkcji:

1) lim

x→0

tg x

x

2) lim

x→1

tg(x−1)

2

x−1

3)

lim

x→−∞

x

3

−2x

x

2

+2x+6

4) lim

x→∞

x

2

x+1

5) lim

x→0

sin 4x−sin 5x

sin x

6) lim

x→

π

4

cos x−sin x

cos 2x

7) lim

x→∞

x

3

+3x

2

−1

1−x

3

8) lim

x→∞

(

√

x

2

+ x − x)

1

Zadanie 3 Zbadać ciągłość funkcji:

1) f (x) =

(

x

dla |x| > 1

−1 dla |x| ¬ 1

2) f (x) =











x

2

+ 1 dla x ¬ 0

1
x

dla 0 < x < 1

x − 1

dla x ­ 1

3) f (x) =











x

dla x ¬ 0

x

x−1

dla 0 < x < 1

1
x

dla x ­ 1

Zadanie 4 Wyznaczyć punkty nieciągłości funkcji:

1) f (x) =

(

x+3

x

2

+x−6

dla x 6= −3 i x 6= 2

−

1
5

dla x = −3 lub x = 2

2) f (x) =

(

x

x

2

−9

dla x < 0 i x 6= −3

x

x

2

+1

dla x ­ 0 lub x = −3

Zadanie 5 Wykazać, że funkcja:

1) y = arc cos x jest ciągła i malejąca

2) y = arc tg x jest ciągła i rosnąca w swojej dziedzinie

3) y = arc ctg x jest ciągła i malejąca.

Zadanie 6

1) f

0

(1) jeśli f (x) = 2x

2

− x

2) f

0

(

√

3) jeśli f (x) =

3
x

3) f

0

(3) jeśli f (x) =

x+1

2x

4) f

0

(−1) jeśli f (x)x

3

−

1

x

2

5) f

0

(1) jeśli f (x) =

√

x + 3

6) f

0

(−2) jeśli f (x) =

2x

x+1

Zadanie 7 Dana jest funkcja f (x) = (2−3x)

5

+sin

3

x+tg 2x. Obliczyć f

0

(0)+f

00

(π)

Zadanie 8 Napisać równanie stycznej do krzywej y =

x

3

+1

x

3

w punkcie (1, 2)

2

Zadanie 9 Obliczyć pochodną funkcji:

1) f (x) = x ∗ cos x

2) f (x) =

√

2 + cos 3x

3) f (x) =

sin x∗cos x

√

x

4) f (x) = sin

3

2x

5) f (x) =

x

2

+x+1

x

2

+2

6) f (x) =

x

3

+

3

√

x+5

√

x

3

+6x+1

7) f (x) = 3x

2

∗ tg x

8) f (x) =

2x

ctg x

9) f (x) =

2

x

+2x

log x

10) f (x) =

sin 2x

2

√

cos x

3