ELEMENTY ANALIZY

MATEMATYCZNEJ

     POCHODNA FUNKCJI

Matematyczny związek pomiędzy
dwoma wielkościami - zmienną
zależną i zmienną niezależną -
nazywamy funkcją.

W fizyce np. droga przebyta przez
ciało zależy od czasu – jest funkcją
czasu – s(t). Z kolei objętość gazu
jest funkcją temperatury i ciśnienia –
V(T,p), czyli objętość gazu zależy od
dwu zmiennych.

Pochodna funkcji

W ogólności możemy mówić o funkcji wielu

zmiennych.

Załóżmy że y jest funkcją x; y jest zmienną

zależną, x jest zmienną niezależną.
Pochodną funkcji y = f(x) nazywa się
granicę, do której dąży stosunek Δy /Δx
(przyrost funkcji do odpowiedniego
przyrostu zmiennej niezależnej), gdy Δx
dąży do zera:

  

x

x

f

x

x

f

x

y

x

x























)

(

)

(

lim

lim

0

0

Interpretacja geometryczna

pochodnej

Pochodna ma

następującą

interpretację geometryczną.
Pochodna funkcji w danym punkcie
jest równa tangensowi kąta
nachylenia stycznej do wykresu
funkcji w tym punkcie z osią Ox.

Pochodna funkcji y = f(x) oznaczamy

różnymi symbolami:

'

' y

f

dx

df

dx

dy

Przykłady w fizyce

Pochodna wyraża szybkość zmian

funkcji f(x) przy zmianie argumentu
x, niezależnie od tego czym jest
funkcja.

Np. prędkość, czyli parametr ruchu

zdefiniowana jest jako zmiana
położenia ciała w czasie. Prędkość
jest wektorem stycznym do toru w
każdym punkcie. W układzie s(t):

dt

ds

t

s

t













lim

0



dt

d

t

a

t

















lim

0

Różniczka funkcji

Funkcję mającą pochodna w każdym punkcie

pewnego przedziału nazywa się

różniczkowalną w tym przedziale.

Znajdowanie pochodnej nazywa się

różniczkowaniem funkcji.

Różniczką funkcji y = f(x) nazywa się

iloczyn pochodnej tej funkcji przez dowolny

przyrost dx zmiennej niezależnej i oznacza

się symbolem dy
dy = f’ dx.

Różniczki w fizyce - przykłady

gdzie ds jest elementarnym

przemieszczeniem ciała (zwanym
drogą) przebytym w czasie dt z
prędkością υ, a - jest
przyspieszeniem.

dt

a

d

dt

ds









 

Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu

funkcji

Niech y(x), u(x) oraz v(x) oznaczają

funkcje różniczkowalne. Wówczas:

 
Pochodna sumy (różnicy) funkcji
Jeśli y = u ± v

to y’ = u’ ± v’

Pochodna iloczynu
Jeśli y = u v to y’ = (u v)’ = u’v + uv’

Pochodna ilorazu

Jeśli y = u/v

to

2

'

'

'

v

uv

v

u

y





Pochodna funkcji uwikłanej (złożonej)

Jeśli y = u[v(x)]

to y’ = u’ v’

Przykład:
gdy y = sinωt, to y’ = cosωt ω

Pochodna wektora

Podstawowe własności różniczkowania funkcji
są zachowane przy obliczaniu pochodnej funkcji
wektorowej względem skalarnego argumentu:

(A + B)’ = A’ + B’
(λA)’ = λ’A + λA

’

= λA

’

(A · B)’ = A’ · B + A · B’
(A x B)’ = A’ x B + A x B’

Uwaga,
skalarnym argumentem najczęściej stosowanym w
fizyce jest czas.

Pochodne wyższych rzędów

Pochodną rzędu drugiego lub drugą

pochodną

funkcji y = f(x)
nazywamy pochodną pierwszej pochodnej

tej funkcji.

Drugą pochodną oznaczamy

symbolami:

)

8

.

3

(

''

''

..

2

2

2

2

y

dx

f

d

dx

y

d

f

y

Druga pochodna w fizyce

Przyspieszenie a jest pierwszą pochodną

prędkości i

drugą pochodną zmiany położenia ciała

(drogi)

względem czasu.
Prędkość bowiem jest definiowana jako

pierwsza pochodna drogi względem czasu.

2

2

dt

s

d

dt

d

a

dt

ds











Pochodne cząstkowe

Rozważmy funkcję dwu zmiennych f(x,y).
Pochodną cząstkową tej funkcji w punkcie

(x

o,

y

o

) względem zmiennej x liczymy tak jak

zwykłą pochodną funkcji jednej zmiennej x;
przy czym zmienną y traktujemy jak stały
parametr.

Analogicznie definiujemy pochodną

cząstkową funkcji f(x,y) względem zmiennej
y.

Pochodne cząstkowe względem zmiennej x i

zmiennej y oznaczamy odpowiednio

:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

'

'

y

x

f

y

y

x

f

y

x

f

x

y

x

f

y

x









 

Operator nabla. Gradient,

diwergencja, rotacja

Operatorem nazywamy symbol

(określający przepis) działania
matematycznego na jakiejś
wielkości. Np. symbol

dx

d

jest

jest operatorem różniczkowania po zmiennej
x.

Operator nabla, zwany operatorem

Hamiltona

z

y

x

k

j

i





























Sam operator
(suma iloczynów wersorów i pochodnych
cząstkowych)
nie oznacza żadnej wielkości. Sensu nabiera
w działaniu
na jakąś wielkość.
Ma charakter wektora, więc działa na inne
wielkości tak
jakby był wektorem.

Gradient

–

iloczyn operatora nabla i skalara jest

wektorem







grad

k

j

i

z

y

x

































)

(

y

temperatur

gradient

T

z

T

y

T

x

T

T

grad

k

j

i

































)

(

Diwergencja

Iloczyn skalarny operatora nabla i

wektora jest skalarem

A

k

j

i

k

j

i

A

div

A

A

A

z

y

x

z

y

x













































)

(

.

)

(

.

Rotacja

Iloczyn wektorowy operatora nabla i

wektora jest wektorem:

A

k

j

i

k

j

i

A

rot

A

A

A

z

y

x

z

y

x

















































)

(

)

(

Operator Laplace’a (laplasjan)

Iloczyn skalarny dwóch operatorów nabla



























































)

(

.

)

(

.

z

y

x

z

y

x

k

j

i

k

j

i

CAŁKOWANIE

Całkowanie jest działaniem “odwrotnym”
(„uzupełniającym”) do różniczkowania

.

Całka nieoznaczona funkcji f(x) symbolicznie oznaczana

jest jako

Całką funkcji f(x) [ciągłej w przedziale <a,b>] nazywamy
wyrażenie: F(x) + C,
takie, że pochodna funkcji F(x) równa się funkcji f(x):
F’(x) = f(x).



dx

x

f

)

(







C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

Zate
m:

gdzie C jest
stałą.

Całka oznaczona

Przez całkę oznaczoną funkcji f(x) w

granicach od a do b rozumiemy:

Przy czym
[funkcja f(x) jest ciągła w przedziale <a,b>]
a – dolna granica całkowania,
b – górna granica całkowania.
 









b

a

b

a

a

F

b

F

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

Przykłady zastosowań całek

oznaczonych w fizyce





t

dt

s

0



Na wykresie υ(t) [prędkość w zależności od
czasu] s [droga] jest polem powierzchni pod
krzywą, w granicach od 0 do t.





t

o

dt

I

Q

 

Na wykresie zależności natężenia prądu
elektrycznego od czasu, czyli I(t), ładunek Q
jest polem powierzchni pod krzywą, w
granicach od 0 do t.

LICZBY ZESPOLONE

Algebraiczna postać liczby zespolonej:

z = a + i b

gdzie; a,b – dowolne liczby rzeczywiste,
i – jednostka urojona; i

2

= -1

przy czym a = Re (z)

b = Im (z)

Trygonometryczna postać liczby
zespolonej:

z = r cosφ + i r sinφ

gdzie liczba zespolona jest punktem na
płaszczyźnie zespolonej.

Wg interpretacji geometrycznej –

położenie punktu dane jest za pomocą
wektora wodzącego r, ustawionego pod
kątem φ względem osi Ox. Składowa x-
owa wektora r jest rzeczywista i wynosi
a = r cosφ,

zaś składowa y-owa jest urojona i wynosi

b = r sinφ.

Postać wykładnicza liczby zespolonej:

z = r e

iφ

gdzie φ jest argumentem liczby zespolonej.

Moduł, tj. wartość bezwzględna liczby
zespolonej jest równa długości wektora
wodzącego:

z* = a - i b = r(cosφ - i sinφ) = r e

-iφ

.

Działania na liczbach zespolonych:

dodawanie
Mnożenie, dzielenie, potęgowanie.

Liczba sprzężona z liczbą z to liczba z*:

b

a

r

z

2

2



