Praca domowa z analizy matematycznej nr 4

Zadanie 1 Zbadać monotoniczność ciągu (a

n

):

1) a

n

= n − 3

2) a

n

=

1−3

n

2

3) a

n

= n

2

− n + 1

4) a

n

=

√

n + 1

5) a

n

= 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . ∗ n

6) a

n

= (−1)

n 2−n

n

2

7) a

n

=

3n+1

n+3

8) a

n

=

(3+

1

n

)

2

−3

2

1

n

Zadanie 2 Zbadać, czy ciąg o podanym n-tym wyrazie jest ciągiem arytmetycz-
nym i napisać kilka początkowych wyrazów:

1) a

n

=

1
2

(3n − 1)

2) a

n

=

1
6

(3n − 1)

3) a

n

=

n

n+1

4) a

n

= 4n + 3

5) a

n

=

√

3 + n

6) a

n

=

1
5

(8n − 3)

Zadanie 3 Obliczyć sumę wszystkich takich liczb naturalnych, które są mniejsze
od 100 i które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1.
Zadanie 4 Obliczyć sumę wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych niepodziel-
nych przez 3.
Zadanie 5 Ciąg arytmetyczny składa się z 20 wyrazów. Suma wyrazów parzystych
jest równa 250, a suma wyrazów nieparzystych 220. Znaleźć dwa środkowe wyrazy
ciągu.
Zadanie 6 Pomiędzy liczby 1 i 257 wstawić trzy liczby a, b, c w taki sposób, aby
ciąg (1, a, b, c, 257) był ciągiem arytmetycznym.
Zadanie 7 Rozwiązać równanie:

1

1) 1 + 4 + 7 + . . . + x = 117

2) (x + 1) + (x + 4) + . . . + (x + 28) = 155

3) 3

1

∗ 3

2

∗ 3

3

∗ . . . ∗ 3

x

= (

1

27

)

x−2

3

Zadanie 8 Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego wynosi 60.
Suma kwadratów tych wyrazów jest równa 2952. Znaleźć iloraz tego ciągu.
Zadanie 9 w ciągu geometrycznym a

1

+a

5

= 51 i a

2

+a

6

= 102. Dla jakiej wartości

n suma S

n

= 3069.

Zadanie 10 Liczby a i b są pierwiastkami równania x

2

− 3x + A = 0, a liczby c

i d są pierwiastkami równania x

2

− 12x + B = 0. Ciąg (a, b, c, d) jest rosnącym

ciągiem geometrycznym. Obliczyć AiB.
Zadanie 11 Z czterech liczb trzy pierwsze tworzą ciąg geometrycznym, a trzy
ostatnie - ciąg arytmetyczny. Znaleźć te liczby, jeżeli wiadamo, źe suma pierwszej
i ostatniej liczby jest równa 14, a suma liczb środkowych jest równa 12.
Zadanie 12 Wiedząc, że ciąg a

n

=

1

n

, b

n

=

n−1
n+1

, obliczyć:

1) lim

n→∞

(a

n

+ b

n

)

2) lim

n→∞

(a

n

− b

n

)

3) lim

n→∞

(a

n

∗ b

n

)

4) lim

n→∞

a

n

b

n

2