Kolokwium II

rok 2007/2008

Zadanie 4:

a) Podać podstawowe własności dystrybuanty zmiennej losowej.
b) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest równa:

)

Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć P X 6) za pomocą dystrybuanty
oraz funkcji prawdopodobieństwa. Obliczyć EX i E X + ).

Rozwiązanie:

a) Twierdzenie Podstawowe własności dystrybuanty zmiennej losowej dowolnego typu)

Funkcja F : R → [ ] jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy gdy :

- F jest funkcją niemalejącą:

x

1

< x

2

F

) F

)

- F jest funkcją ciągłą lub co najmniej lewostronnie ciągłą:

lim

→

F ) F

)

- lim

→

F )

.

F +∞)

lim

→

F )

.

F (-∞)

Odpowiedź:

Z powyższego wynika że każda dystrybuanta jest funkcją niemalejącą ciągła lub co najmniej lewostronnie

ciągłą a jej granica w +∞ wynosi a w -∞ wynosi .

b) Wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa:
dla

: p

dla

: p

dla

: p

-1

2

5

p

0,3 0,2 0,5

Obliczamy P X 6):

Korzystając ze wzoru na obliczenie p-stwa, gdy dana jest dystrybuanta: P a X b) F b) F a) mamy:

P X 6) F 6) F ) 7

Obliczamy EX:

EX

p

) + + 6

Obliczamy E(2X+3):
E(2X+3)=2*(EX)+3= 6 +

Odpowiedź:

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać:

-1

2

5

p

0,3 0,2 0,5

oraz EX 6 E X + ) ; P X 6) 0,7.

Autorka:

Katarzyna Agata Jarzębowska

grupa

9 (4 dziekańska)

27.01.2014