Kolokwium II

rok 2007/2008

Zadanie 2 :

Korzystając z własności szeregów potęgowych obliczyć sumę szeregu liczbowego

∑

(−1)

𝑛 1

5

𝑛

1

𝑛

∞

𝑛=1

Dla odpowiedniego szeregu potęgowego wyznaczyć promień zbieżności, przedział

zbieżności oraz zbadać zbieżność na krańcach przedziału zbieżności.

Rozwiązanie:

Ustalamy wzór szeregu potęgowego:

∑(−1)

𝑛

∗

𝑥

𝑛

𝑛

∞

𝑛=1

1.

Wyznaczamy przedział zbieżności i promień zbieżności szeregu ( z twierdzenia d’Alamberta)

lim

𝑛→∞

|

(−1)

𝑛+1

∗ 𝑥

𝑛+1

𝑛 + 1

∗

𝑛

(−1)

𝑛

∗ 𝑥

𝑛

| = lim

𝑛→∞

|

𝑛

𝑛 + 1

∗

𝑥

𝑛

∗ 𝑥

𝑥

𝑛

| = |𝑥| < 1

|𝑥| < 1

−1 < 𝑥 < 1

𝑥

0

= 0 → 𝑅 = 1

Dla

𝒙 ∈ (−1: 1)

szereg jest bezwzględnie zbieżny, promień zbieżności R=1.

2.

Badamy zbieżność na krańcach przedziału zbieżności



x=1

∑(−1)

𝑛

∞

𝑛=1

∗

1

𝑛

𝑛

= ∑

(−1)

𝑛

𝑛

∞

𝑛=1

Szereg o wyrazach naprzemiennych

– badamy bezwzględną zbieżność:

∑ |

(−1)

𝑛

𝑛

| =

∞

𝑛=1

∑

1
𝑛

∞

𝑛=1

→ 𝑠𝑧𝑒𝑟𝑒𝑔 ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐𝑧𝑛𝑦 𝑜 𝛼 = 1, 𝑟𝑜𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑦

Szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, badamy zbieżność z kryterium Leibnitza:

𝑏

𝑛

=

1
𝑛

𝑏

𝑛

> 0

ciąg malejący

lim

𝑛→∞

𝑏

𝑛

= lim

𝑛→∞

1
𝑛

= [

1

∞

] = 0

szereg warunkowo zbieżny



x=-1

∑(−1)

𝑛

∗

(−1)

𝑛

𝑛

∞

𝑛=1

= ∑

(−1)

2𝑛

𝑛

= ∑

1
𝑛

→ 𝑠𝑧𝑒𝑟𝑒𝑔 ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐𝑧𝑛𝑦 𝑜 𝛼 = 1, 𝒓𝒐𝒛𝒃𝒊𝒆ż𝒏𝒚

∞

𝑛=1

∞

𝑛=1

3.

Obliczamy sumę szeregu liczbowego

∑(−1)

𝑛

1

5

𝑛

1
𝑛

∞

𝑛=1

na podstawie sumy szeregu potęgowego

∑(−1)

𝑛

∗

𝑥

𝑛

𝑛

∞

𝑛=1

𝑺(𝒙) = ∑(−1)

𝑛

∗

𝑥

𝑛

𝑛

∞

𝑛=1

= ∑(−1)

𝑛

∫ 𝑡

𝑛−1

𝑑𝑡

𝑥

0

= ∑ ∫(−1)

𝑛

∗ 𝑡

𝑛−1

𝑑𝑡

𝑥

0

=

∞

𝑛=1

∞

𝑛=1

= ∫ (∑(−1)

𝑛

∗ 𝑡

𝑛−1

∞

𝑛=1

) 𝑑𝑡 = |

𝑠𝑧𝑒𝑟𝑒𝑔 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦𝑐𝑧𝑛𝑦

𝑎

1

= −1, 𝑞 = −𝑡

|𝑞| < 1

| =

𝑥

0

∫

−1

1 + 𝑡

𝑑𝑡 =

𝑥

0

= − ln|1 + 𝑡| |

𝑥
0

= − ln|1 + 𝑥|

𝑺(𝒙) = − 𝐥𝐧|𝟏 + 𝒙| , 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ (−1; 1)

dla podanego szeregu liczbowego

𝑥 =

1
5

𝑺 (

1
5

) = −𝒍𝒏 |

6
5

|

Odpowiedź:

∑(−1)

𝒏

1

5

𝒏

1

𝒏

= −𝐥𝐧

6
5

∞

𝒏=1

Szereg potęgowy

∑(−1)

𝒏

∗

𝒙

𝒏

𝒏

∞

𝒏=1

Jest:



bezwzględnie zbieżny dla

𝒙 ∈ (−1; 1)

, promień zbieżności R=1



warunkowo zbieżny dla x=1



rozbieżny dla x=-1

Autor:

Anna Styszyńska

grupa

10