RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel

1/3

Macierze – układ równań

Układ równań

a

1,1

* x + a

1,2

* y + a

1,3

* z = l

1

a

2,1

* x + a

2,2

* y + a

2,3

* z = l

2

a

3,1

* x + a

3,2

* y + a

3,3

* z = l

3

zapis algebraiczny

A * X = L

(zapis macierzowy układu równań)

Macierz odwrotna dla macierzy współczynników przy

ni

ewiadomych układu równań określa rozwiązanie tego układu,

(dla macierzy A kwadratowej i nieosobliwej)

A

n,n

* X

n,1

= L

n,1

1

,

1

,

1

,

*

n

n

n

n

L

A

X

A * X

= L

/

mnożymy lewostronnie

* A

-1

A

-1

* A * X = A

-1

* L

(A

-1

* A) * X = A

-1

* L

( E ) * X

= A

-1

* L

E * X

= A

-1

* L

X

= A

-1

* L

Praktycznie realizacja (wariant 1):

A = H

T

* G

H

T

* (H

T

)

-1

= E

G * G

-1

= E

G

-1

* (H

T

)

-1

= A

-1

X = A

-1

* L

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

3

,

3

2

,

3

1

,

3

3

,

2

2

,

2

1

,

2

3

,

1

2

,

1

1

,

1

L

l

l

l

3

2

1

X

z

y

x

RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel

2/3

Macierze – układ równań

Układ trzech równań liniowych
x - 5y + 3z = -5
3x -13y + 17z = -21
2x -14y - 5z = -3

Macierz X

Macierz L

1

-5

3

x

-5

3

-13

17

*

y

=

-21

2

-14

-5

Z

-3

1

-5

3

1

0

0

1

-5

3

3

-13

17

=

3

2

0

*

0

1

4

2

-14

-5

2

-4

5

0

0

1

1

0

0

1.00

0.00

0.00

1

0

0

3

2

0

*

-1.50

0.50

0.00

=

0

1

0

2

-4

5

-1.60

0.40

0.20

0

0

1

1

-5

3

1.00

5.00 -23.00

1

0

0

0

1

4

*

0.00

1.00

-4.00

=

0

1

0

0

0

1

0.00

0.00

1.00

0

0

1

1.00

5.00 -23.00

1.00

0.00

0.00

30.30

-6.70

-4.60

0.00

1.00

-4.00

*

-1.50

0.50

0.00

=

4.90

-1.10

-0.80

0.00

0.00

1.00

-1.60

0.40

0.20

-1.60

0.40

0.20

Macierz X

Macierz L

3

30.30

-6.70

-4.60

-5

1

=

4.90

-1.10

-0.80

*

-21

-1

-1.60

0.40

0.20

-3

Macierz X

Macierz L

1

-5

3

3

-5

3

-13

17

*

1

=

-21

2

-14

-5

-1

-3

Kontrola

Iloczyn

odwrotnośći

Macierz A-1

Rozwiązanie

Macierz A

Odwrotność

Macierz G

-1

Macierz (H

T

)

-1

Macierz A

-1

Odwrotność

Macierz G

Macierz G

-1

E

Macierz G

Rozkład

Macierz H

T

Macierz (H

T

)

-1

E

Układ

Macierz A

Macierz A

Macierz H

T

RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel

3/3

Macierze – układ równań