Kolokwium II

rok 2010/2011

Zadanie 2:

Wyznaczyć zbiór tych

R

x



dla których szereg













0

1

2

)

1

2

(

)

9

(

n

n

n

n

x

jest zbieżny (ustalić także

rodzaj zbieżności). Podać promień zbieżności tego szeregu oraz obliczyć jego sumę wewnątrz przedziału
zbieżności.

Rozwiązanie:

1)

Ustalenie zbieżności szeregu:

9

)

3

2

(

)

1

2

(

9

lim

)

3

2

(

9

)

1

2

(

lim

)

1

2

(

9

)

3

2

(

9

9

lim

)

1

2

(

9

)

1

2

2

(

9

lim

)

1

2

(

)

9

(

lim

)

(

)

(

lim

2

2

2

2

3

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

x

n

n

n

n

x

n

n

x

x

x

n

n

x

x

x

n

n

x

n

x

x

f

x

f

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n





















































































Szereg jest zbieżny dla

1

)

(

)

(

lim

1









x

f

x

f

n

n

n

wtedy:

3

9

1

9

2

2











x

x

x

Dla

3



x

szereg jest bezwzględnie zbieżny, a dla

3



x

szereg jest rozbieżny.

2)

Ustalamy zbieżność na krańcach przedziału

a)

3



x



































































0

0

0

1

2

0

1

2

0

1

2

1

2

3

)

1

(

)

1

2

(

9

3

9

)

1

(

)

1

2

(

9

3

)

1

(

)

1

2

(

9

)

1

(

)

1

2

(

)

9

(

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

x

1

2

3





n

a

n

Szereg naprzemienny















)

1

2

(

3

)

1

2

(

)

1

(

3

n

n

n

n

n

n

n

n

1

3

3

2

3

1

2

3











szereg naprzemienny

nie jest bezwzględnie zbieżny, sprawdzam więc zbieżność

z kryterium Leibnitza



0



n

a

 ciąg malejący



0

3

1

2

3

lim

lim



















n

a

n

n

n

Wniosek szereg jest zbieżny warunkowo dla

3



x

b)

3





x









































































0

0

0

1

2

0

1

2

0

1

2

1

2

)

3

(

)

1

(

)

1

2

(

9

)

3

(

9

)

1

(

)

1

2

(

9

)

3

(

)

1

(

)

1

2

(

9

)

1

(

)

1

2

(

)

9

(

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

x

1

2

3







n

a

n



0



n

a



ciąg rosnący



0

3

1

2

3

lim

lim























n

a

n

n

n

Wniosek szereg jest

zbieżny warunkowo

dla

3





x

Podsumowując szereg jest zbieżny bezwzględnie w przedziale

)

3

;

3

(





x

, zbieżny warunkowo dla

x=3 i dla x=-3 oraz

rozbieżny w przedziale

)

;

3

(

)

3

;

(











x

.

3)

Obliczenie promienia zbieżności

Promień zbieżności wynosi

3



R

, dla

0

0



x

co możemy odczytać z przedziału w którym szereg

jest

zbieżny







3

;

3

x

4)

Obliczenie sumy szeregu w przedziale zbieżności

)

(

3

3

3

3

3

1

1

1

)

3

1

(

)

)

3

1

(

(

3

1

)

1

(

1

2

9

1

)

1

2

(

)

9

(

0

0

2

2

0

0

2

0

0

2

2

0

1

2

0

1

2

x

S

x

arctg

t

arctg

dt

t

q

t

q

dt

t

dt

t

n

x

n

x

x

x

x

n

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n









































































































 





































Obliczenie sumy na krańcach szeregu:

a)

3



x

 

4

3

1

3

3

3

3

3

3

lim

)

3

(

3







































arctg

arctg

x

arctg

S

x

b)

3





x

 

4

3

1

3

3

3

3

3

3

lim

)

3

(

3





















 

























arctg

arctg

x

arctg

S

x

Odpowiedź:

Dla

3



x

szereg jest bezwzględnie zbieżny, dla





3

,

3





x

warunkowo zbieżny, a dla

3



x

szereg jest rozbieżny, promień zbieżności wynosi

3



R

a suma szeregu jest równa















3

3

)

(

x

arctg

x

S

dla

 

0

\

)

3

,

3

(





x

, 0 dla

0



x

,

4

3

)

3

(





S

dla

3



x

i

4

3

)

3

(









S

dla

3





x

.

Autor:

Anna B.

grupa

2

6.12.2013