Egzamin poprawkowy GiK

rok 2010/2011

Zadanie 1:

Wiedząc, że

jest potencjałem pola wektorowego

wyznaczyć pole

, sprawdzić czy jest ono bezźródłowe oraz obliczyć

, gdzie L jest dowolnym

łukiem zamkniętym kawałkami gładkim.

Rozwiązanie:



Pole skalarne f

jest potencjałem pola wektorowego

jeżeli grad f = [

]=

grad f = [

, zatem

[



Korzystam z dywergencji pola wektorowego

div

div

=> Pole

jest źródłowe (nie jest bezźródłowe)



Z twierdzenia Greena

Obszar

jest domknięty i zamknięty względem osi oraz normalny.

Brzeg L obszaru musi być dodatnio zorientowany.
Pole

jest różniczkowalne w sposób ciągły.

P=

Q=

P i Q są różniczkowalne w sposób ciągły, ponieważ są to wielomiany.

Poza tym z

wykładu wiadomo, że jeżeli pole jest potencjalne (a nasze pole

ma potencjał), to całka

po łuku zamkniętym, kawałkami gładkim w tym polu zawsze wynosi zero.

Odpowiedź:

Pole wektorowe wynosi

[

i jest ono źródłowe. Całka

Autor:

Katarzyna Dzieżyk

grupa

10

29.11.2013 r.