Przygotowa la Joanna Grabowska na podstawie Szymański, Dróbka “Ma-tematyka w szkole średniej. Powtórzenie i zbiór zadań”
1
Pochodna funkcji
Za lóżmy, że funkcja f jest określona na przedziale (a, b) oraz że xo ∈ (a, b), a ∆x jest liczba, dla której (xo + ∆x) ∈ (a, b). Liczbe ∆x nazywamy przy-rostem argumentu, natomiast różnice f (x0 + ∆x) − f(x0) nazywamy przy-rostem wartości funkcji F i oznaczamy ∆f . Stosunek ∆f = f(x0+∆x)−f(x0)
∆x
∆x
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f odpowiadajacym przyrostowi argument o ∆x. Iloraz różnicowy ma prosta interpretacje geometryczna. Dla ustalonego x0 i ustalonego ∆x punkty A = (x0, f(x0)), B = (x0 +∆x, f(x0 +
∆x)) należa do wykresu funkcji f. Prosta przechodzaca przez e punkty jest tzw. sieczna.
Iloraz różnicowy ∆f jest równy tangensowi kata jaki sieczna tworzy z
∆x
osia x. Jesli funkcja f jest oreślona w przedziale (a, b) i x0 ∈ (a, b) i ist-nieje skończona granica lim
f (x0+∆x)−f (x0)
∆x→0
, to te granice nazywamy
∆x
pochodna funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f′(x0). W tym przypadku mówimy również, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0. Z definicji wynika, że pochodna funkcji w punkcie x0 jest liczba rzeczywista, równa granicy ∆f przy ∆x dażacym do zera. Czesto sadzi sie,że styczna do krzywej
∆x
jest to prosta, która ma z Ta krzywa dok ladnie jeden punkt wspó lny. Nie jest to poprawne określenie stycznej, gdyż np każda prosta równoleg la do osi symetrii paraboli ma z ta parabola dok ladnie jeden punkt wspólny, ale styczna do parboli nie jest. Styczna można określić w nastepujacy sposób: Jeśli funkcja f jest określona w punkcie x0 i w pewnym przedziale, którego środkiem jest x0, a także jest różniczkowalne w x0, to styczna do wykresu funkcji f w punkcie P = (x0, f(x0)) nazywamy prosta o równaniu: y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0)
Za przyjeciem takiej definicji stycznej przemawia nastepujace rozumowa-nie. Jeśli ∆x daży do zera, to punkt B daży po wykresie funkcji do punktu A. Każdemu po lożeniu punktu B odpowiada sieczna przechodzaca przez B
i przez A. Zatem styczna do wykresu funkcji f w punkcie A = (x0, f(x0)) możemy traktować jako graniczne po lożenie siecznej AB, gdy B dazy po wykresie do A.
Stad wynika, że pochodna funkcji f w punkcie x0 można interpretować geometrycznie jako wspó lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji F
w punkcie A = (x0, f(x0)).
1
Pochodna jako funkcja
Niech D′ oznacza zbiór wszystkich argumentów x funkcji f, dla których ist-f
nieje pochodna f ′(x). Rozpatrzmy funkcje, która każdej liczbie x ∈ D′ przy-f
porzadkowuje f ′(x). Funkcje te nazywamy pochodna funkcji f i oznaczamy f’. W takim razie pochodna funkcji f jest funkcja, natomiast pochodna funkcji f w punkcie x0 jest liczba. Te dwa pojecia nalzeży odróżniać.
[cf (x)]′ = cf ′(x)
[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)
[f(x) - g(x)]’ = f’(x) - g’(x)
[f(x) g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
f ′(x) = f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g′(x)
g2(x)
g(x) 6= 0
2.1
Pochodne niektórych funckji
1) (c)’ = 0, c - ustalona liczba rzeczywista 2) (xa)′ = axa−1; a ∈ R
3) (sin x)′ = cos x
4) (cos x)’ = -sin x
5) (tgx)′ =
1
cos2 x
6) (ctgx)′ = − 1
sin2 x
7) (ex)′ = ex
8) (ax)′ = axlna, a ∈ R+ − 1
9) (lnx)′ = 1x
10) (logax)′ = 1
xlna
2
Przyk ladowe zadania
3.1
Zadanie 1
Wyznaczyć pochodna funkcji f (x) = x2 + 2x − 1
Rozwiazanie: Aby roziwazać to zadanie wyznaczamy iloraz różnicowy funkcji.
f ′(x) = lim ∆x → 0 f(x+∆x)−f(x) =
∆x
= lim ∆x → 0 [(x+∆x)2+2(x+∆x)−1]−(x2+2x−1) =
∆x
lim ∆x → 0 [(∆x)2+2x∆x+2∆x) =
∆x
lim ∆x → 0(∆x + 2x + 2) = 2x + 2
Znaczy to, że pochodna rozpatrywnej funkcji f jest funkcja f’określona wzorem f ′(x) = 2x + 2. Inaczej (x2 + 2x − 1)′ = 2x + 2
W praktyce wyznaczajac pochodnafunkcji korzystamy z odpowiednich wzorów i twierdzeń u latwiajacych obliczenia, podanych powyżej.
3.2
Zadanie 2
Wyznaczyć pochodna funkcji f (x) = x2−2x+3
x2+x+1
Rozwiazanie:
f ′(x) = (x2−2x+3)′(x2+x+1)−(x2+x+1)′(x2−2x+3) =
(x2+x+1)2
= (2x−2)(x2+x+1)−(2x+1)(x2−2x+3) =
(x2+x+1)
= 3x2−4x−5
(x2+x+1)2
3.3
Zadanie 3
Wykazać, że (ex)′ = ex
Rozwiazanie: (ex)′ = lim
ex+∆x−ex
∆x→0
=
∆x
= lim∆x→0 ex e∆x−1 =
∆x
lim
e∆x−1
∆x→0 ex lim∆x→0
∆x
= ex lim
e∆x−1
∆x→0
∆x
Wyrażenie lim
e∆x−1
∆x→0
= 1.
∆x
3