2012-12-27

1

Katarzyna Mamcarz

Metody oceny projektów

inwestycyjnych

Analiza wartości pieniądza w czasie

PV (present value) -

wartość obecna, bieżąca,

aktualna, zaktualizowana

Dzisiejsza wartość przyszłego przepływu pieniężnego

bądź

strumienia

przepływów

pieniężnych

otrzymanego za n lat.

2

Gdzie: r

t

– stopa procentowa w ujęciu rocznym w

kolejnych latach; n- liczba lat, t= 1, …, n;

∏

∏

∏

∏

====

++++

××××

====

++++

××××

××××

++++

××××

++++

××××

====

n

t

t

n

n

n

r

FV

r

r

r

FV

PV

1

2

1

0

)

1

(

1

)

1

(

1

...

)

1

(

1

)

1

(

1

2012-12-27

3

Gdzie: r

t

– stała stopa procentowa w ujęciu rocznym w kolejnych

latach; n- liczba lat, t= 1, …, n; m – liczba okresów kapitalizacji

w ciągu roku, FV – wartość przyszła

(((( ))))

(((( ))))

n

m

n

n

m

n

n

n

n

n

r

FV

m

r

FV

PV

r

FV

r

FV

PV

××××

−−−−

××××

−−−−

++++

××××

====

++++

====

++++

××××

====

++++

====

1

)

1

(

1

)

1

(

0

0

2012-12-27

FV (future value, compound value)

wartość

przyszła

kwota,

do

której

wzrośnie

wartość

przepływu

pieniężnego bądź strumienia przepływów pieniężnych

(PV

0

) w danym okresie i dla danej, składanej stopy

procentowej.

4

( ) ( ) ( )

( )

( )

n

n

n

t

t

n

n

r

PV

FV

r

PV

r

r

r

PV

FV

+

×

=

+

×

=

+

×

×

+

×

+

×

=

∏

=

1

1

1

...

1

1

0

1

0

2

1

0

r

1

=r

2

=r

n

2012-12-27

5

(

)

r

n

PV

FV

e

PV

FV

m

r

PV

FV

n

n

r

n

n

m

n

×

+

×

=

×

=















+

×

=

×

×

1

1

0

0

1

)

1

(

−

+

=

m

e

m

r

r

Kapitalizacja ciągła

Procent prosty

Efektywne oprocentowanie roczne

2012-12-27

2012-12-27

6

ZAD. 1.

Oblicz przyszłą wartość kwoty 500 tys. zł, którą

ulokowano na 1, 2,3 lata przy kapitalizacji rocznej,

jaką

kwotę

uzyskamy

po

roku

w

przypadku

kapitalizacji półrocznej, kwartalnej, miesięcznej, jeżeli

r=12% p.a. Ustal efektywną stopę procentową.

2012-12-27

2

7

( )

(

)

(

)

(

)

.

.

702464

4949

,

1

500000

12

,

0

1

500000

.

.

627200

2544

,

1

500000

12

,

0

1

500000

.

.

560000

12

,

1

500000

12

,

0

1

500000

1

3

3

2

2

1

1

0

p

j

x

FV

p

j

x

FV

p

j

x

FV

r

PV

FV

n

n

=

=

+

×

=

=

=

+

×

=

=

=

+

×

=

+

×

=

0

1 2 3 4

FV

1

FV

2

FV

3

FV

4

ZAD.1.

2012-12-27

8

( )

( )

( )

.

.

5

,

563412

1268

,

1

500000

01

,

1

500000

12

12

,

0

1

500000

.

.

4

,

562754

1255

,

1

500000

03

,

1

500000

4

12

,

0

1

500000

.

.

561800

1236

,

1

500000

06

,

1

500000

2

12

,

0

1

500000

1

12

1

12

12

,

1

4

1

4

4

,

1

2

1

2

2

,

1

0

p

j

x

x

FV

p

j

x

x

FV

p

j

x

x

FV

m

r

PV

FV

n

m

n

=

=

=















+

×

=

=

=

=















+

×

=

=

=

=















+

×

=















+

×

=

×

×

×

×

ZAD.1.

Kapitalizacja półroczna

Kapitalizacja kwartalna

Kapitalizacja miesięczna

Im więcej okresów kapitalizacji w ciągu roku, tym

wyższa kwota na koniec okresu.

2012-12-27

9

%

68

,

12

1

)

12

12

,

0

1

(

%

55

,

12

1

)

4

12

,

0

1

(

%

36

,

12

1

)

2

12

,

0

1

(

1

)

1

(

12

12

,

1

4

4

,

1

2

2

,

1

=

−

+

=

=

−

+

=

=

−

+

=

−

+

=

r

r

r

m

r

r

m

e

ZAD.1.

Wraz ze zwiększeniem częstotliwości kapitalizacji rośnie efektywna

stopa procentowa.

2012-12-27

2012-12-27

10

ZAD. 2.

Oblicz

obecną

wartość

kwoty

200

zł,

którą

otrzymasz za dwa lata, jeżeli r=12% p.a.

ZAD. 3.

Oblicz obecną wartość strumieni pieniądza 100 zł,

120 zł, 145 zł, otrzymywanych odpowiednio za rok,

dwa

i

trzy

lata

od

chwili

obecnej,

przy

oprocentowaniu rocznym, r= 10%.

11

PV

1

PV

2

PV

3

FV

1

FV

2

FV

3

0

1 2 3

((((

))))

((((

))))

.

.

44

,

159

7972

,

0

200

12

,

0

1

200

)

12

,

0

1

(

200

1

)

1

(

2

2

0

0

p

j

x

PV

r

FV

r

FV

PV

n

n

n

n

====

====

====

++++

××××

====

++++

====

++++

××××

====

++++

====

−−−−

−−−−

ZAD.2.

2012-12-27

12

( )

(

)

(

)

(

)

.

.

088

,

299

3

2

1

.

.

93

,

108

7513

,

0

145

3

10

,

0

1

145

3

)

10

,

0

1

(

100

3

.

.

168

,

99

8264

,

0

120

2

10

,

0

1

120

1

)

10

,

0

1

(

120

2

.

.

91

,

90

9091

,

0

100

1

10

,

0

1

100

1

)

10

,

0

1

(

100

1

1

)

1

(

0

p

j

PV

PV

PV

PV

p

j

x

PV

p

j

x

PV

p

j

x

PV

n

r

n

FV

n

r

n

FV

PV

=

+

+

=

=

=

−

+

×

=

+

=

=

=

−

+

×

=

+

=

=

=

−

+

×

=

+

=

−

+

×

=

+

=

ZAD.3.

2012-12-27

2012-12-27

3

Ilościowe metody oceny projektów

13

METODA PROSTEJ STOPY ZWROTU (r),

METOD KSIĘGOWEJ STOPY ZWROTU (ARR),

METODA PROGU RENTOWNOŚCI,

METODA OKRESU SPŁATY,

CECHY:

Służą do oceny wstępnej,

Nie powinny być postawą do podejmowania decyzji,

Mogą ułatwić selekcją projektów przy znacznej ich liczbie.

Proste:

2012-12-27

14

METODA WARTOŚCI KAPITAŁOWEJ (NPV)

WSKAŹNIK NPV (NPVR),

INDEKS RENTOWNOŚCI (PI)

METODA WEWNĘTRZNEJ STOPY ZWROTU(IRR),

METODA ZMODYFIKOWEJE WEWNĘTRZNEJ STOPY

ZWROTU (MIRR)

CHECHY:

•

Służą do podejmowania wiążących decyzji o realizacji projektu,

•

Ich wyniki są wiarygodne,

•

Są podstawą do podejmowania decyzji,

•

Uwzględniają zmiany wartości pieniądza w czasie.

Dyskontowe:

2012-12-27

Cechy

Formuła:

Zysk i amortyzacja

przyjmowane w obliczeniach

ustalane dla tzw. typowego

roku gospodarczego (rok

pełnego wykorzystania

zdolności wytwórczych)

Kryterium wybory projektu:

maksymalizacja stopy zwrotu

- średni zysk roczny,

A – przeciętna roczna amortyzacja,

I – całkowite nakłady inwestycyjne

CF – przepływ przeciętny

n

Z

%

100

×

+

=

=

I

A

Z

I

CF

r

n

Prosta stopa zwrotu

15

2012-12-27

Księgowa stopa zwrotu

16

Pomija czynnik czasu,

Pomija rozkład dochodów w czasie,

Obojętne jest, czy nadwyżki generowane są na

początku,

czy

na

końcu

–

posługujemy

się

wielkościami przeciętnymi,

Analiza wielkości przeciętnych nie pozwala na

poznanie trendów w kształtowaniu się wielkości

ekonomicznych,

co

utrudnia

właściwą

ocenę

projektu.

Kryterium wyboru: maksymalizacja stopy zwrotu.

2012-12-27

Księgowa stopa zwrotu

Formuła:

- spodziewany przeciętny zysk roczny (średnia arytmetyczna

dla całego okresu eksploatacji;

(spodziewany roczny dochód netto = przeciętny roczny

strumień gotówki – roczna amortyzacja),

- przeciętny poziom inwestycji

(PPI = inwestycje początkowe – 0,5 x całkowita amortyzacja)

n

Z

I

Z

ARR

n

=

I

17

2012-12-27

Okres spłaty

18

Określa liczbę lat, w ciągu których nastąpi zwrot

poniesionych nakładów inwestycyjnych z przyszłych

strumieni gotówkowych,

Relacja między nakładami inwestycyjnymi a rocznymi

oszczędnościami gotówkowymi,

Pomija czynnik czasu,

Nie może być podstawą do rzetelnej oceny projektów

inwestycyjnych

Kryterium wyboru projektu: jak najkrótszy okres spłaty

2012-12-27

2012-12-27

4

Okres spłaty

Formuła:

Gdzie:

n - liczba lat eksploatacji, jaka mija od momentu pojawienia się

ostatniego ujemnego skumulowanego CF

- ostatni ujemny przepływ (skumulowany);

- nadwyżka wygenerowana w roku następującym po ujemnym

przepływie

*

W przypadku równych przepływów pieniężnych (nadwyżki w

stałej wysokości), I- nakłady inwestycyjne, CF- spodziewana

nadwyżka roczna

1

+

+

−

+

=

t

t

CF

CF

n

PB

t

CF

−

1

+

+

t

CF

CF

I

PB

=

*

19

2012-12-27

A

B

C

D

E ( B

F

G)

H

Lata

CF

Zysk
netto

Amortyzacja

Skumulowane

CF

DF

CF_dysk.

Skumulowane CF

0

-10000

20%

-10000

1,00

-10000

-10000

1

2500

500

2000

-7500

0,9091

2272,73

-7727,27

2

3000

1000

2000

-4500

0,8264

2479,34

-5247,93

3

4000

2000

2000

-500

0,7513

3005,26

-2242,67

4

5000

3000

2000

4500

0,6830

3415,07

1172,39

5

3000

1000

2000

7500

0,6209

1862,76

3035,16

Razem

17500

7500

10000

Warto

ś

ci

ś

rednie

3500

1500

2000

a

t

= 1/(1+r)

t

r =10%

=

x

+

=

20

P ARR

PB

2012-12-27

Zad.4.

21

Dokonaj

wstępnej

oceny

projektu

rozwojowego

charakteryzującego się następującymi cechami.

Okres realizacji 1 rok,

nakłady ponoszone w roku t

0

w wysokości 10 tys. zł,

stopa amortyzacji Sa = 20%, majątek amortyzowany

met. liniową.

Okres eksploatacji 5 lat.

Wymagany przez inwestora okres zwrotu 3 lata,

Zysk wygospodarowany w poszczególnych latach

(tabela 1.). Po 5 latach likwidacja przedsiębiorstwa.

2012-12-27

A

B

C

D

E ( B

F

G)

H

Lata

CF

Zysk

netto

Amortyzacja

Skumulowane

CF

DF

CF_dysk.

Skumulowane CF

a

t

= 1/(1+r)

t

r =10%

=

x

+

=

22

Prosta i księgowa
stopa zwrotu

0

1

2

3

4

5

Razem

(1-5)

17500

7500

10000

Warto

ś

ci

ś

rednie

3500

1500

2000

-10000

20%

500

2000

1000

2000

2000

2000

3000

2000

1000

2000

-10000

-7500

1,00

0,9091

0,8264

0,7513

0,6830

0,6209

-10000

2272,73

2479,34

3005,26

3415,07

1862,76

-10000

-7727,27

-5247,93

-2242,67

1172,39

3035,16

-4500

-500

4500

7500

2500

3000

4000

5000

3000

Okres spłaty

2012-12-27

Prosta stopa zwrotu

Księgowa stopa zwrotu

%

35

%

100

1000

3500

10000

2000

1500

%

100

=

=

+

=

×

+

=

=

x

r

I

A

Z

I

CF

r

n

%

30

5000

1500

=

=

=

I

Z

ARR

n

23

Tabela

2012-12-27

Okres spłaty/Zdsykontowany okres spłaty

%

10

66

,

3

3415,07

2242,67

-

3

;

1

,

3

5000

500

3

1

=

=

+

=

=

−

+

=

+

−

+

=

+

r

lat

PB

lat

CF

CF

n

PB

d

t

t

24

Tabela

2012-12-27

2012-12-27

5

Metoda wartości kapitałowej netto

Nett present value, NPV

25

Polega na sumowaniu strumieni pieniężnych netto po ich

zdyskontowaniu dla 3 okresów: budowy, eksploatacji i likwidacji,

Służy do porównywania projektów inwestycyjnych o identycznych

co do wartości i rozłożenia w czasie nakładów kapitałowych,

Kryterium wyboru:

projekt, który osiąga nie niższą od zera zdyskontowaną wartość

kapitałową netto (NPV),

Gdy kilka projektów - wybieramy ten o maksymalnym NPV

NPV ≥ 0 → max

Istotny wpływ na wybór wariantu może mieć przyjęty poziom

stopy % (zmiana rankingu)

2012-12-27

Metoda wartości kapitałowej netto

Nett present value, NPV

Formuła:

- przepływy pieniężna netto związane z bieżącym

funkcjonowaniem projektu w kolejnych latach (bez nakładów

kapitałowych), wpływy,

- nakłady kapitałowe, wypływy,

r - stopa dyskontowa

- współczynnik dyskontujący

∑

∑

∑

=

=

=

+

−

+

=

+

=

≥

×

=

n

t

t

t

n

t

t

t

t

t

t

n

t

t

r

I

r

CF

NPV

r

a

a

NCF

NPV

0

0

0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

0

)

(

t

CF

t

a

26

t

I

2012-12-27

Metoda wartości kapitałowej netto

Poziom NPV zależy od:

a) Rozkładu strumieni w czasie,

b) Wysokości stopy procentowej przyjętej do dyskonta:

im

wyższa

stopa

procentowa,

tym

mniejsza

wartość

zaktualizowanych strumieni pieniężnych.

stopa

ta

wyznacza

minimalny

poziom

efektywności projektów

inwestycyjnych,

pełni funkcję selekcji projektów inwestycyjnych.

Za pomocą metody NPV można stwierdzić, czy projekt pozwala

na pomnażanie, czy marnotrawienie bogactwa właścicieli.

Wadą metody jest to, że, znając jedynie poziom NPV, nie można

stwierdzić, jaki jest poziom zaangażowanego kapitału,

Cechy

27

2012-12-27

Metoda wartości kapitałowej netto

Nie mówi o warunkach ubocznych projektu – dodatkowe

nakłady na płynność, wymaga dodatkowych analiz,

Nie odnosi się do okresu eksploatacji (czy taki sam; czy

różny-

wówczas

stosuje

się

np.

metodę

łańcuch

zastępowań lub równoważnej spłaty rocznej),

Gdy mamy różne nakłady kapitałowe lub niejednakowo

rozłożone w czasie, należy zastosować wskaźnik NPVR lub

indeks

rentowności

(PI),

ponieważ

NPV

nie

wyraża

precyzyjnie różnic w poziomie rentowności alternatywnych

sposobów wykorzystania kapitału.

Cechy

28

2012-12-27

Do wpływów zaliczamy: nadwyżkę operacyjną netto(zysk netto)

oraz amortyzację w okresie eksploatacji obiektu

Do wypływów (inwestycji)zaliczamy: nakłady na majątek trwały

oraz przyrost kapitału obrotowego netto. Mogą być ponoszone

przed rozpoczęciem eksploatacji obiektu, jak i w jej trakcie.

NPV = 0 oznacza, że:

Projekt wygenerował wpływy pozwalające na pokrycie wydatków

kapitałowych (zwrot poniesionych nakładów kapitałowych),

Pokryty został koszt kapitału (alternatywny i faktyczny) zawarty

w stopie dyskonta – projekt przyniósł tzw. dochód normalny.

Uzyskano

stopę

zwrotu

od

zaangażowanego

kapitału

na

poziomie stopy dyskontowej

29

2012-12-27

Zastosowana stopa dyskontowa nie może być niższa od stopy

granicznej, czyli zapewniającej utrzymanie rynkowej wartości

kapitału, jest to oczekiwana stopa zwrotu dla danej klasy

ryzyka.

Stosując stopę dyskonta (r) = kosztowi kapitału (oczekiwanej

stopie zwrotu), wówczas:

a) NPV > 0 oznacza, że:

•

Projekt poza pokryciem wydatków inwestycyjnych i kosztu

kapitału przyniósł dodatkowy dochód,

•

Dojdzie do powiększenia wartości przedsiębiorstwa w wyniku

jego realizacji, ponieważ oczekiwana stopa będzie większa niż

koszt kapitału,

30

2012-12-27

2012-12-27

6

Inwestor

może

liczyć:

na

zwrot

kapitału,

na

oprocentowanie na poziomie oczekiwanej stopy zwrotu i

na powiększenie bogactwa.

b) NPV < 0 oznacza:

Marnotrawienie kapitału,

Jeśli

nawet

zostanie

zwrócony

nominalny

poziom

kapitału, to inwestor nie osiągnie niezbędnej oczekiwanej

stopy

zwrotu,

dochodzi

zatem

do spadku

rynkowej

wartości jego kapitału,

Projekty o ujemnym NPV przy zastosowaniu granicznej

stopy dyskontowej należy odrzucić, ponieważ prowadzą do

strat ekonomicznych.

31

2012-12-27

Wskaźnik wartości bieżącej (kapitałowej) netto

(Net Present Value Ratio, NPVR) i Indeks rentowności (PI)

NPVR jest stosowany w przypadku różnych nakładów,

różnych poziomów NPV,

Jest to relacja NPV do wartości obecnej nakładów,

Określa, jaki poziom

wartości zaktualizowanej netto

przypada

na

jednostkę

uruchomionego

kapitału

zaktualizowanego, czyli ile jednostek nadwyżki wygeneruje

każda jednostka nakładów inwestycyjnych,

Kryterium wyboru: maksymalizacja wskaźnika NPVR

Cechy

32

2012-12-27

Formuła:

PVB – suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych netto

związanych z bieżącym funkcjonowaniem projektu w kolejnych

latach (bez nakładów kapitałowych), wpływy,

PVI

- wartość obecna nakładów kapitałowych (present value of

investment)

PI – indeks rentowności (profitability index)

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

+

+

=

=

−

=

+

+

−

+

=

=

n

t

t

t

n

t

t

t

n

t

t

t

n

t

t

t

n

t

t

t

r

I

r

CF

PI

PVI

PVB

PI

PI

NPVR

r

I

r

I

r

CF

NPV

PVI

NPV

NPVR

0

0

0

0

0

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

33

2012-12-27

Wskaźnik wartości bieżącej (kapitałowej) netto

i Indeks rentowności (profitability index, PI

)

Indeks rentowności (PI) ma podobne zastosowanie jak

NPVR,

Ustalany jako iloraz zdyskontowanej wartości dodatnich

przepływów pieniężnych oraz zdyskontowanej wartości

ujemnych przepływów pieniężnych reprezentujących

nakłady inwestycyjne,

Kryterium wyboru: maksymalizacja indeksu rentowności

Cechy

34

2012-12-27

Formuła:

PVB – suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych netto

związanych

z

bieżącym

funkcjonowaniem

projektu

w

kolejnych latach (bez nakładów kapitałowych), wpływy,

PVI - wartość obecna nakładów kapitałowych (present value

of investment)

PI – indeks rentowności (profitability index)

1

)

1

(

)

1

(

0

0

+

=

+

+

=

=

∑

∑

=

=

NPVR

PI

r

I

r

CF

PI

PVI

PVB

PI

n

t

t

t

n

t

t

t

35

2012-12-27

36

ZAD. 2. Dwa projekty (L, S) charakteryzują się

następującymi

prognozowanymi

przepływami

pieniężnymi netto (Tabela 2.) Nakłady ponoszone

będą w roku t0, przewidywany okres eksploatacji

to 4 lata. Dokonaj oceny opłacalności tych

projektów, stosując zdyskontowany okres zwrotu

oraz metody złożone (NPV, NPVR, IRR, MIRR). za

stopę dyskonta

przyjmij

10%. Czy

ranking

projektów ulegnie zmianie, gdy stopa graniczna

wyniesie 7%?

2012-12-27

2012-12-27

7

37

A

B

C

CF

Rok

S

L

0

-1000

-1000

1

500

100

2

400

300

3

300

400

4

100

600

Razem wpływy

1300

1400

2012-12-27

38

0

1

2

3

4

-1000 500

400

30 0 100

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

.

8

,

78

1000

8

,

1078

.

.

30

,

68

6830

,

0

100

1

,

0

1

1

100

.

.

39

,

225

7513

,

0

300

1

,

0

1

1

300

.

.

56

,

330

8264

,

0

400

1

,

0

1

1

400

.

.

55

,

454

9091

,

0

500

1

,

0

1

1

500

.

.

1000

1

1000

1

,

0

1

1

1000

4

4

3

3

2

2

1

1

0

p

j

PVI

PVB

NPV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PVI

S

S

S

=

−

−

=

−

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

−

=

−

=

+

−

=

PROJEKT „S”

2012-12-27

39

0

1

2

3

4

-1000 100

300

400

600

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

.

15

,

49

1000

15

,

1049

.

.

8

,

409

6830

,

0

600

1

,

0

1

1

600

.

.

52

,

300

7513

,

0

400

1

,

0

1

1

400

.

.

92

,

247

8264

,

0

300

1

,

0

1

1

300

.

.

91

,

90

9091

,

0

100

1

,

0

1

1

100

.

.

1000

1

1000

1

,

0

1

1

1000

4

4

3

3

2

2

1

1

0

p

j

PVI

PVB

NPV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PVI

L

L

L

=

−

−

=

−

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

−

=

−

=

+

−

=

PROJEKT „L”

2012-12-27

0 1 2 3 4

-1

0

0

0

5

0

0

4

0

0

3

0

0

1

0

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

.

8

,

78

1000

8

,

1078

.

.

30

,

68

6830

,

0

100

1

,

0

1

1

100

.

.

39

,

225

7513

,

0

300

1

,

0

1

1

300

.

.

56

,

330

8264

,

0

400

1

,

0

1

1

400

.

.

55

,

454

9091

,

0

500

1

,

0

1

1

500

.

.

1000

1

1000

1

,

0

1

1

1000

4

4

3

3

2

2

1

1

0

p

j

PVI

PVB

NPV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PVI

S

S

S

=

−

=

−

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

−

=

−

=

+

−

=

PROJEKT „S”

0 1 2 3 4

-

1

0

0

0

1

0

0

3

0

0

4

0

0

6

0

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

.

15

,

49

1000

15

,

1049

.

.

8

,

409

6830

,

0

600

1

,

0

1

1

600

.

.

52

,

300

7513

,

0

400

1

,

0

1

1

400

.

.

92

,

247

8264

,

0

300

1

,

0

1

1

300

.

.

91

,

90

9091

,

0

100

1

,

0

1

1

100

.

.

1000

1

1000

1

,

0

1

1

1000

4

4

3

3

2

2

1

1

0

p

j

PVI

PVB

NPV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PV

p

j

x

x

PVI

L

L

L

=

−

=

−

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

−

=

−

=

+

−

=

PROJEKT „L”

40

2012-12-27

Cechy

Jest to stopa zwrotu danego projektu inwestycyjnego, jaką

osiągniemy,

Przyjęcie tej stopy do dyskonta oznacza, że NPV =0,

Kryterium wyboru: maksymalizacja IRR, przy czym IRR musi być

większa od stopy granicznej (kosztu kapitału)

Wybór dokonywany w oparciu o IRR może być sprzeczny z

wyborem na podstawie NPV, wówczas należy stosować kryterium

NPV, bądź NPVR, gdy różne nakłady kapitałowe są ponoszone,

Przy ustalaniu IRR reinwestycje są dokonywane wg tej stopy, co

nie zawsze jest możliwe w praktyce.

Wewnętrzna stopa zwrotu

(Internal Rate of Return, IRR)

41

2012-12-27

Formuła:

Wewnętrzna stopa zwrotu

(Internal Rate of Return, IRR)

Gdzie:

r

1

– stopa procentowa, dla której NPV>0, czyli PV,

r

2

– stopa procentowa, dla której NPV<0, czyli NV,

(r

1

-r

2

) – różnica nie może być większa niż 1-2 pkt.%

PV =NPV(r

1

) >0, NV= NPV (r

2

)<0

(

) (

) (

) (

)

(

)

0

1

...

1

1

1

1

3

3

2

2

1

1

0

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

=

n

n

IRR

CF

IRR

CF

IRR

CF

IRR

CF

IRR

I

NPV

(

)

NV

PV

r

r

PV

r

IRR

+

−

×

+

=

1

2

1

42

2012-12-27

2012-12-27

8

Przy

ustalaniu

NPV

reinwestycja

nadwyżek

kapitałowych

dokonywana jest wg stopy przyjętej do dyskonta,

Każdego roku wycofujemy część kapitału, oprócz roku 1,

Otrzymamy zwrot kapitału i oprocentowanie na poziomi IRR. Co

roku zmniejszamy zaangażowanie kapitału.

IRR nie można stosować w przypadku projektów o nietypowych

przepływach (wypływy występują nie tylko na początku, ale

również na końcu cyklu życia projektu), wówczas otrzymamy

dwie IRR, które przyjęte do dyskonta dają NPV = 0

Wewnętrzna stopa zwrotu

(Internal Rate of Return, IRR)

43

2012-12-27

Nietypowy przypadek IRR:

-500,000 zł

-400,000 zł

-300,000 zł

-200,000 zł

-100,000 zł

0,000 zł

100,000 zł

200,000 zł

300,000 zł

400,000 zł

500,000 zł

600,000 zł

1

5

%

3

5

%

5

5

%

7

5

%

9

5

%

1

1

5

%

1

3

5

%

1

5

5

%

1

7

5

%

1

9

5

%

2

1

5

%

2

3

5

%

2

5

5

%

2

7

5

%

2

9

5

%

3

1

5

%

3

3

5

%

3

5

5

%

3

7

5

%

3

9

5

%

4

1

5

%

4

3

5

%

4

5

5

%

4

7

5

%

NPV

NPV

Przedsięwzięcie jest opłacalne

dla stopy % r w przedziale:

(IRR

1

; IRR

2

)

Lata

CF

IRR

0

-1600

1

10000

IRR

1

= 25%

2

-10000

IRR

2

= 400%

44

(

) (

) (

)

0

1

10000

1

10000

1

1600

2

1

0

=

+

−

+

+

+

+

−

=

IRR

IRR

IRR

NPV

2012-12-27

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

11%

12%

13%

14%

15%

S

L

N
P
V

r

PROJEKT

PV (r

1

)

NV(r

2

)

L

r

11%

12%

NPV

21,29

-5,53

S

r

14%

15%

NPV

8,08

-8,33

(

)

(

)

%

79

,

11

53

,

5

29

,

21

%

11

12

29

,

21

%

11

%

49

,

14

33

,

8

08

,

8

%

14

15

08

,

8

%

14

=

−

+

−

×

+

=

=

−

+

−

×

+

=

L

S

IRR

IRR

45

r = 7,17%

NPV

1

=NPV

2

2012-12-27

Możliwości stosowania IRR do oceny względnej opłacalności

projektów mogą być poszerzone, gdy wyeliminujemy założenie o

stopie

reinwestycji

dla

projektów

równej

IRR

danego

przedsięwzięcia,

Wtedy należy uwzględnić stopę niezależną od efektywności

projektów (określanej za pomocą IRR) i dokonywać reinwestycji

po koszcie kapitału (podobnie jak przy NPV) – obliczoną przy tym

założeniu

wewnętrzną

stopę

zwrotu

określamy

jako

zmodyfikowaną wew. stopę zwrotu (MIRR),

MIRR jest bardziej realistyczna niż IRR ze względu na przyjęcie

jako stopy reinwestycji kosztu kapitału.

Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu

(Modyfied Internal Rate of Return, MIRR)

46

2012-12-27

Poziom MIRR jest niższy niż IRR, co wynika z założeń ustalania

tych stóp:

a. Dla IRR zakładamy, że występowanie nadwyżek umożliwia

wycofanie części zaangażowanego kapitału, co prowadzi do

obniżki poziomu kapitału w poszczególnych latach prognozy; IRR

jest względnie wysoka,

b. Dla MIRR zakładamy utrzymywanie kapitału na stałym poziomie

w całym okresie oraz reinwestowanie nadwyżek, tak by zapewnić

zwrot na poziomie stopy dyskontowej. Ponieważ poziom stopy

dyskontowej jest niższy od IRR, to ulega pomniejszeniu stopa

zwrotu z kapitału utrzymywanego przez cały okres prognozy.

47

2012-12-27

Cechy:

Aby ustalić MIRR, określamy przyszłą wartość (na koniec okresu

obliczeniowego) dodatnich przepływów pieniężnych (FV) dla stopy

reinwestycji równej stopie dyskonta (r) stosowanej przy NPV,

Ustalamy również wartość obecną nakładów kapitałowych (PVI),

Bazując na przyszłej wartości dodatnich p. pien. oraz obecnej

wartości

p. pien. odpowiadających nakładom kapitałowym,

ustalamy stopę procentową, dla której obecna wartość sumy p.

pien. jest równa zero.

Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu

(Modyfied Internal Rate of Return, MIRR)

48

2012-12-27

2012-12-27

9

Formuła MIRR:

COF(Cash Outflows) – wypływy; CIF (Cash Inflows) – wpływy,

FV – wartość przyszła wpływów,

t- ilość lat, jak mija od początku cyklu życia do momentu pojawienia się

dodatniej nadwyżki,

n- cykl życia projektu,

49

(

)

CIF

CF

COF

I

PVI

FV

MIRR

MIRR

r

CF

r

I

FV

PV

PVI

t

t

n

n

t

n

t

n

t

n

t

t

t

=

=

−

=

+

+

×

=

+

=

∑

∑

=

−

=

;

1

1

)

1

(

)

1

(

)

(

0

0

2012-12-27

50

CF

1

CF

2

CF

3

CF

4

I

0

0

1 2 3 4

(

)

(

)

(

)

(

)

.

1579,50j.p

5

,

665

484

330

100

)

1

(

.

.

5

,

665

1

,

1

500

1

,

0

1

500

.

.

484

1

,

1

400

1

,

0

1

400

.

.

330

1

,

1

300

1

,

0

1

300

.

100

0

,

1

100

1

,

0

1

100

4

1

4

3

1

4

1

4

3

2

2

4

2

4

2

1

3

4

3

4

1

4

4

4

4

0

=

+

+

+

=

+

×

=

=

×

=

+

×

=

=

=

×

=

+

×

=

=

=

×

=

+

×

=

=

=

×

=

+

×

=

=

∑

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

t

t

t

MIRR

r

CF

FV

p

j

FV

FV

p

j

FV

FV

p

j

FV

FV

p

j

FV

FV

PV(FV)=FV

MIRR

/(1+MIRR)

4

I

0

=PV(FV)

(

)

%

11

,

12

1211

,

0

1

1211

,

1

1

1

5

,

1579

1000

4

1000

5

,

1579

4

=

=

−

=

−

=

+

=

MIRR

MIRR

PROJEKT „S”

2012-12-27

51

CF

1

CF

2

CF

3

CF

4

I

0

0

1 2 3 4

(

)

(

)

(

)

(

)

1536,1j.p.

1

,

133

363

440

600

)

1

(

.

.

1

,

133

1

,

1

100

1

,

0

1

100

.

.

363

1

,

1

300

1

,

0

1

300

.

.

440

1

,

1

400

1

,

0

1

400

.

600

0

,

1

600

1

,

0

1

600

4

1

4

3

1

4

1

4

3

2

2

4

2

4

2

1

3

4

3

4

1

4

4

4

4

0

=

+

+

+

=

+

×

=

=

×

=

+

×

=

=

=

×

=

+

×

=

=

=

×

=

+

×

=

=

=

×

=

+

×

=

=

∑

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

t

t

t

MIRR

r

CF

FV

p

j

FV

FV

p

j

FV

FV

p

j

FV

FV

p

j

FV

FV

PV(FV)=FV

MIRR

/(1+MIRR)

4

I

0

=PV(FV)

(

)

%

33

,

11

1133

,

0

1

1133

,

1

1

1

1

,

1536

1000

4

1000

1

,

1536

4

=

=

−

=

−

=

+

=

MIRR

MIRR

PROJEKT „L”

2012-12-27

A

B

C

D

E

F

G= B x F H= C x F

I

J

K

L

M=BxL N=CxL

PB

NPV

PB

d

R

x

MIRR

CF

CF

skumulowane

DF

DCF

DCF skumul

NCF

(L-S)

Współ.

FV

FV_S FV_L

Rok

S

L

S

L

S

L

S

L

0

-1000 -1000 -1000

-1000

1,0000

-1000

-1000

-1000

-1000

0

1

500

100

-500

-900

0,9091

454,55

90,91 -545,45 -909,09 -400 1,331 665,50 133,10

2

400

300

-100

-600

0,8264

330,58

247,93 -214,88 -661,16 -100 1,210 484,00 363,00

3

300

400

200

-200

0,7513

225,39

300,53 10,52

-360,63 100 1,100 330,00 440,00

4

100

600

300

400

0,6830

68,30

409,81 78,82

49,18

500 1,000 100,00 600,00

razem 1300 1400

r=

10%

NPV =

78,82

49,18

10

PVB

1078,82 1049,18

52

2012-12-27