.::ZestaW III::.

1. Znaleźć połączenie i przecięcie rodziny zbiorów:
   
   , gdzie
   a)
   
   b)
   
   
   
   , gdzie
   a)
   

2. Niech
   , A=[0,4], B=[1,2[ Podać wszystkie elementy
   - algebry generowanej przez {A,B}
   

3. Dane są dwie różne
   - algebry U₁ i U₂ na Ω. Sprawdzić czy
   jest
   - algebrą na Ω.
   

4. Niech
   i
   oznaczają miary Diraca na
   . Dla jakich
   
   jest miarą, a dla jakich jest prawdopodobieństwem ?
   

5. Niech
   - przestrzeń z miarą. Pokazać, że:
   1^o
   
   2^o
   
   3^o
   
   

6. Udowodnić, że:
   1^o l([a,b]) = l([a,b[) = b - a
   2^o l({a}) = 0
   3^o l(N) = 0
   4^o l([0,1]\Q) = 1 oraz l([0,1]∩Q) = 0
   

7. Niech
   ,
   
   
   ;
   
   a) sprawdzić, czy U
   - algebra
   b) sprawdzić, czy
   jest miarą ?, czy zupełną ?, czy unormowaną ?
   c) uzupełnić
   do miary zupełnej
   

8. Obliczyć:
   1^o
   jeżeli:
   a) x_o = 0
   b) x_o = 4
   2^o
   , jeżeli
   
   3^o
   , jeżeli
   
   

9. Niech
   będzie przestrzeń z miarą,
   - odwzorowaniem.
   Udowodnić, że
   

---