Opracowanie: Damian Wieczorek

WYKŁAD 15

SZEREGI

Niech:
- przestrzeń Banacha

tworzymy ciąg
:

DEFINICJA 15.1 (SZEREGI)

1. {
   ,
   } - szereg,

oznaczenie szeregu (1):

DEFINICJA 15.2

Szereg (1) jest zbieżny
,
,

S nazywamy sumą szeregu (1) i oznaczamy

TWIERDZENIE 15.1 (WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGU)

Z: szereg
- zbieżny

T:

Dowód:

Z założenia
- zatem
jest ciągiem Cauchy'ego,

tzn.
,

w szczególności dla m=n-1, mamy:

PRZYKŁAD 15.1

,

Badamy czy szereg
jest zbieżny:

- czy jest to ciąg Cauchy'ego?

, co oznacza, że
nie jest ciągiem Cauchy'ego,

zatem szereg
jest rozbieżny

DEFINICJA 15.3 (ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA)

- przestrzeń Banacha

Szereg
- bezwzględnie zbieżny
- zbieżny

TWIERDZENIE 15.2

• Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Z: szereg
- bezwzględnie zbieżny

T: szereg
- zbieżny

Dowód:

Niech
,

Wystarczy pokazać, że
jest ciągiem Cauchy'ego.

bo
jest ciągiem Cauchy'ego

Na podstawie twierdzenia o 3 ciągach

SZEREGI LICZBOWE

TWIERDZENIE 15.3 (I KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)

Z:

T: 1)
-zbieżny
- zbieżny

2)
-rozbieżny
- rozbieżny

Dowód:

Niech
,

Zauważmy, że

Ad. 1)

Pokazaliśmy, że:

Ad. 2)

- rozbieżny

jest rozbieżny

PRZYKŁAD 15.2

- rozbieżny

- zbieżny

1. 
   

1. 
   ,
   -rozbieżny (przykład 15.1)

2. 
   ,
   - rozbieżny
   - rozbieżny (na podstawie I kryterium porównawczego)

2. 
   

Niech
,

k=1,
,
, gdzie

-zbieżny

TWIERDZENIE 15.4 (II KRYTERIUM PORÓWNAWCZE - GRANICZNE)

Z:

T: szeregi
,
-są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne

1)

- zbieżny
- zbieżny

2) szereg
- rozbieżny

-rozbieżny

- rozbieżny

Postępując analogicznie można udowodnić, że z rozbieżności
wynika rozbieżność
oraz że ze zbieżności
wynika zbieżność
.

PRZYKŁAD 15.3

-zb.

-zb.

---