Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica
Wydział Górnictwa i Geoinżynierii
Sprawozdanie:
Ćw. 3: Badanie rozkładu próby losowej na podstawie pomiaru prędkości v
Przedmiot: Metrologia i monitoring
Inżynieria Środowiska Studia niestacjonarne
Rok akademicki 2013/2014 Rok 3, semestr V
Pietrzyk Adrian
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest sporządzenie szeregu rozdzielczego, narysowanie histogramu, a także wyznaczenie dystrybuanty oraz określenie wartości oczekiwanej prędkości powietrza.
Wstęp teoretyczny
Próba losowa - zbiór elementów populacji pobranych w taki sposób, żeby każdy element populacji miał równe szansę znalezienia się w tym zbiorze. Próba losowa może być podstawą wnioskowania statystycznego pozwalającego z zadaną dokładnością uogólnić spostrzeżenia o elementach próby na populację, z której została wylosowana.
Szereg rozdzielczy - jest statystycznym sposobem prezentacji rozkładu empirycznego. Tworzy się przez uszeregowanie danych według wzrastającej lub malejącej wartości i podzielenie powstałego szeregu na rozłączne podzbiory zwane grupami. W wyniku takiego podziału otrzymujemy bardziej jednorodne grupy. Obliczając częstości wystąpień w danej grupie otrzymujemy szereg rozdzielczy. Każdy szereg rozdzielczy charakteryzują:
przedziały klasowe grup i
ilości przypadków występujących w kolejnych grupach.
Szereg rozdzielczy reprezentuje postać rozkładu danych populacji próby.
Kolejne kroki podczas wykonywania szeregu rozdzielczego:
porządkujemy (jeśli to możliwe rosnąco) wartości cechy
zliczamy ilość wystąpień danej cechy w próbie
obliczamy częstości występowania dla każdej wartości cechy
prezentujemy wynik w formie tabeli.
Histogram - to zestawienie danych statystycznych w postaci wykresu powierzchniowego złożonego z przylegających do siebie słupków (prostokątów), których wysokość ilustruje liczebność występowania badanej cechy w populacji lub jej próbie, a podstawy (które spoczywają na osi odciętych) są rozpiętościami przedziałów klasowych. Taki sposób konstrukcji histogramu jest stosowany wówczas, kiedy przedziały szeregu rozdzielczego są równe. Jeżeli szereg ma nierówne przedziały, to wysokość prostokątów jest określona przez wskaźniki natężenia liczebności (częstości) odpowiadające poszczególnym klasom.
Dystrybuanta – to funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa, a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa, ponieważ są obiektami prostszymi niż rozkłady prawdopodobieństwa. Jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna X ma wartości mniejsze bądź równe x i w kategoriach funkcji gęstości wyrażana jest (dla rozkładu normalnego) wzorem:
$$P\left( X \leq x \right) = \ \int_{- \infty}^{x}{\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{- \left( u - \mu \right)^{2}}{\left( 2\sigma^{2} \right)}\text{du}}}$$
Wariancja - jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości.
Moda (dominanta, modalna, wartość najczęstsza) - jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej. Dla szeregów rozdzielczych punktowych moda odpowiada wartości cechy o największej częstości. Natomiast w szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości).
Estymacja przedziałowa – polega na budowie przedziału zwanego przedziałem ufności, który z określonym prawdopodobieństwem będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru.
Wnioski
Porównując sporządzone przez nas histogramy możemy wywnioskować, że największa ilość próbek, zarówno w jednym jak i w drugim przypadku, znajduje się w środkowych klasach, zaś najmniejsza w początkowych i końcowych klasach. Ponadto przy pomiarze anemometrem analogowym liczność próbki waha się w granicach od 2 do 10 co daje dużą rozbieżność między poszczególnymi klasami, natomiast w przy drugim pomiarze rozbieżność nie jest już tak duża, a liczność próbki oscyluje w granicach od 3 do 7.
Analizując rozkład dystrybuanty prędkości powietrza w dwóch wykonanych przez nas cyklach pomiarowych możemy stwierdzić, iż ich wyniki różnią się między sobą w zależności od tego jakiego rodzaju anemometr został użyty przy pomiarze (analogowy lub elektroniczny).
Zestawiając końcowe rezultaty wynikające z rozkładu dystrybuanty z wartością średniej arytmetycznej pomiarów widzimy, że różnią się między sobą, aczkolwiek w niewielkim stopniu. Obliczenia średniej arytmetycznej dały nam wyniki 0,922 [m/s] dla anemometru analogowego i 0,853 [m/s] dla anemometru elektronicznego, a z rozkładu dystrybuanty odpowiednio 0,909 [m/s] oraz 0,84 [m/s]. Powyższe wyniki świadczą o tym, że ćwiczenie zostało przeprowadzone w miarę dobrze, a rozbieżności między wynikami mogły być spowodowane błędem w obliczeniach, błędem odczytu bądź innymi drobnymi niedoskonałościami.
Literatura
B. Ptaszyński, dr inż., wykłady z „Metrologii i monitoringu środowiska” dla Inżynierii Środowiska