Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica

Wydział Górnictwa i Geoinżynierii

Sprawozdanie:

Ćw. 1: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych: zależnej (strata ciśnienia) i niezależnej (wydajność)

Przedmiot: Metrologia i monitoring

Inżynieria Środowiska Studia niestacjonarne

Rok akademicki 2013/2014 Rok 3, semestr V

Pietrzyk Adrian

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest pomiar straty ciśnienia (różnicy ciśnień) oraz ciśnienia dynamicznego.
Na podstawie uzyskanych danych należy określić ilościowo związek między stratą naporu
i wydajnością (analiza korelacji) oraz przedstawić tą zależność za pomocą regresji liniowej.

2. Wstęp teoretyczny

Analiza korelacji i regresji - to dział statystyki zajmujący się badaniem związków i zależności pomiędzy rozkładami dwu lub więcej badanych cech w populacji generalnej. Termin regresja dotyczy kształtu zależności pomiędzy cechami. Dzieli się na analizę regresji liniowej i nieliniowej. W przypadku analizy nieliniowej, graficzną reprezentacją współzależności są krzywe wyższego rzędu np. parabola. Pojęcie korelacji dotyczy siły badanej współzależności. Analiza regresji i korelacji może dotyczyć dwóch i większej ilości zmiennych (analiza wieloraka).

Do analizy korelacji służy:

• metoda graficzna,

• kowariancja,

• współczynnik korelacji liniowej Pearsona,

• współczynnik korelacji rang Spearmana.

Regresja liniowa - jest rozszerzeniem korelacji liniowej i pozwala na graficzną prezentację linii prostej dopasowanej do wykresu rozrzutu oraz na określenie równania opisujące zależność dwóch zmiennych.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona – współczynnik określający poziom zależności liniowej między zmiennymi losowymi

Niepewność pomiarów - Wszystkie pomiary fizyczne mogą być wykonane tylko z pewnym określonym stopniem dokładności z powodu niedoskonałości stosowanych przyrządów pomiarowych i zdolności badacza. Na uzyskane wyniki pomiarów mogą także mieć wpływ zmiany warunków zewnętrznych zachodzące podczas pomiarów. Z tych powodów niemożliwe jest absolutnie dokładne wyznaczenie wartości mierzonej wielkości i dlatego ważna jest ocena wiarygodności otrzymanych wyników pomiarowych oraz obliczenie niepewności pomiarów. Niepewność (błąd) pomiaru jest miarą rozrzutu wyników powtarzanych pomiarów danej wielkości. Zapisując wynik pomiaru należy wyraźnie zaznaczyć jednostkę podanej wartości i opatrzyć przedziałem niepewności jednostka.

3. Wzory obliczeniowe

3.1 Gęstość powietrza na stanowisku pomiarowym

$\rho = \frac{0,003484}{T_{s}} \bullet \left( p - 0,378 \bullet p_{w} \right)$ [kg/m³]

gdzie:

T_s - temperatura sucha na stanowisku pomiarowym [K],

p – ciśnienie atmosferyczne powietrza [Pa],

p_w – ciśnienie cząstkowe (prężność) pary wodnej w powietrzu [Pa].

p_w = p_wn − 6, 77 • 10⁻⁴ • (t_s − t_w)•p

gdzie:

p_wn – ciśnienie cząstkowe (prężność) pary wodnej nasyconej [Pa],

t_s – temperatura sucha na stanowisku pomiarowym [],

t_w – temperatura wilgotna na stanowisku pomiarowym [].

$$p_{\text{wn}} = 610,6 \bullet 10^{\frac{7,5 \bullet t_{w}}{237,29 + t_{w}}}$$

3.2 Różnica ciśnień

p = ρ_c • g • h [Pa],

gdzie:

ρ_c – gęstość cieczy manometrycznej [kg/m³],

g – przyspieszenie ziemskie, g=9,81 m/s²,

h - różnica poziomów cieczy w ramionach U-rurki [m].

3.3 Średnia prędkość powietrza w przekroju odcinka pomiarowego

$v_{\mathbf{s}r} = 0,817\sqrt{\frac{2 \bullet p_{d}}{\rho}}$ [m/s],

gdzie:

p_d - ciśnienie dynamiczne odczytywane na U-rurce nr 3 [Pa],

ρ – gęstość powietrza na stanowisku pomiarowym [kg/m³].

3.4 Wydatek objętościowy przepływającego powietrza (wydajność)

$Q = \frac{\pi \bullet d^{2}}{4} \bullet v_{sr}$ [m³/s]

gdzie:

d – średnica przewodu [m], d=0,03m

v_sr – średnia prędkość powietrza w przekroju odcinka pomiarowego [m/s].

4. Analiza regresji liniowej

Analiza korelacji i regresji prowadzona jest dla p (zmienna y_i) i Q (zmienna x_i).

4.1 Obliczanie współczynnika korelacji liniowej Pearsona r

$$r = \frac{C_{\text{xy}}}{S_{x} \bullet S_{y}}$$

gdzie:

C_xy – kowariancja (tzw. współzmienność),

S_x – niepewność standardowa zmiennej niezależnej x (wydajność) [m³/s],

S_y – niepewność standardowa zmiennej zależnej y (strata naporu) [Pa].

$$C_{\text{xy}} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} \bullet y_{i})} - \overset{\overline{}}{x} \bullet \overset{\overline{}}{y}$$

gdzie:

n – liczba par wyników x_i, y_i,

$\overset{\overline{}}{x}$ – średnia arytmetyczna z wyników pomiarów zmiennej niezależnej x (wydajność) [m³/s],

$\overset{\overline{}}{y}$ – średnia arytmetyczna z wyników pomiarów zmiennej zależnej y (strata naporu) [Pa].

$S_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}}$

$S_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(y_{i} -}\overset{\overline{}}{y})^{2}}$

4.2 Wyznaczenie prostej regresji liniowej

$$\overset{\overline{}}{y} = a \bullet \overset{\overline{}}{x} + b$$

gdzie:

a,b – współczynnik regresji liniowej.

$a = \frac{C_{\text{xy}}}{S_{x}^{2}}$

gdzie:

S_x² – wariancja wyników pomiarów zmiennej niezależnej x.

$$S_{x}^{2} = \frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})^{2}}$$

$$b = \overset{\overline{}}{y} - a \bullet \overset{\overline{}}{x}$$

4.3 Obliczenie mocy korelacji

M=r²

5. Tabela wyników pomiarów i obliczonych wielkości

5.1 Gęstość powietrza na stanowisku pomiarowym

$\rho = \frac{0,003484}{295,35} \bullet \left( 100087 - 0,378 \bullet 1008,29 \right) =$1,18 [kg/m³]

p_w = 1577, 465 − 6, 77 • 10⁻⁴ • (22,2−13,8) • 100087 = 1577, 465 − 0, 000677 • 8, 4 • 100087=1008,29

$$p_{\text{wn}} = 610,6 \bullet 10^{\frac{7,5 \bullet 13,8}{237,29 + 13,8}} = 1577,465$$

Różnica ciśnień

p = (1000 • 9, 81 •  491)/1000 = 4816,71 [Pa],

Średnia prędkość powietrza w przekroju odcinka pomiarowego

$v_{\mathbf{s}r} = 0,817\sqrt{\frac{2 \bullet 794,61}{1,18}} = 29,98$ [m/s],

Wydatek objętościowy przepływającego powietrza (wydajność)

$Q = \frac{3,14 \bullet 0,000225}{4} \bullet 29,98 = \frac{5295,2175}{1000} = 0,0053$ [m³/s]

Obliczanie współczynnika korelacji liniowej Pearsona r

Dla średnicy 15 mm

$r = \frac{C_{\text{xy}}}{S_{x} \bullet S_{y}}$= 0,32015093

$C_{\text{xy}} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} \bullet y_{i})} - \overset{\overline{}}{x} \bullet \overset{\overline{}}{y}$= 0,13818458

$S_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}}$= 0,000283634

$S_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(y_{i} -}\overset{\overline{}}{y})^{2}}$= 1521,76

Wyznaczenie prostej regresji liniowej

$$\overset{\overline{}}{y} = a \bullet \overset{\overline{}}{x} + b$$

$a = \frac{C_{\text{xy}}}{S_{x}^{2}}$= 1717678,85

$S_{x}^{2} = \frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})^{2}}$= 0,0000000804

$b = \overset{\overline{}}{y} - a \bullet \overset{\overline{}}{x}$= -4382,63

Obliczenie mocy korelacji

M= 0,102497

Dla średnicy 20 mm

$r = \frac{C_{\text{xy}}}{S_{x} \bullet S_{y}}$= 0,34737781

$C_{\text{xy}} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} \bullet y_{i})} - \overset{\overline{}}{x} \bullet \overset{\overline{}}{y}$= 0,19222082

$S_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}}$= 0,000728783

$S_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(y_{i} -}\overset{\overline{}}{y})^{2}}$= 759,28

Wyznaczenie prostej regresji liniowej

$$\overset{\overline{}}{y} = a \bullet \overset{\overline{}}{x} + b$$

$a = \frac{C_{\text{xy}}}{S_{x}^{2}}$= 361912,58

$S_{x}^{2} = \frac{1}{n} \bullet \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})^{2}}$= 0,0000005311

$b = \overset{\overline{}}{y} - a \bullet \overset{\overline{}}{x}$= -2117,07

Obliczenie mocy korelacji

M= 0,120671

Parametry powietrza na stanowisku pomiarowym

Temperatura na stanowisku pomiarowym	Ciśnienie powietrza	Gęstość powietrza
sucha	wilgotna	p
ts	tw
[]	[]	[Pa]
22,2	13,8	100087

Lp.	Średnica	Wielkości zmierzone	Wielkości przeliczone
	de	hstat.	hd
	[mm]	[mmH2O]	[mmH2O]
1	15	491	81
2		478	80
3		462	79
4		437	76
5		415	69
6		385	64
7		367	62
8		344	60
1	20	249	144
2		238	139
3		230	133
4		214	125
5		206	120
6		190	111
7		180	104
8		168	99

Średnica: 15mm

Lp.	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	0,0053	0,00526	0,00523	0,00513	0,00489	0,00471	0,00463	0,00456	$\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$= 0,03971
yi	4816,71	4689,18	4532,22	4286,97	4071,15	3776,85	3600,27	3374,64	$\sum_{i = 1}^{n}y_{i}$= 33147,99
xi • yi	25,53	24,67	23,70	21,99	19,91	17,79	16,67	15,39	$\sum_{i = 1}^{n}{x_{i} \bullet}y_{i}$= 165,64
$$x_{i} - \overset{\overline{}}{x}$$	0,00034	0,00030	0,00027	0,00017	-0,00007	-0,00025	-0,00033	-0,00040
$$(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})^{2}$$	0,00000011	0,00000009	0,00000007	0,00000003	0,00000001	0,00000006	0,00000011	0,00000016	$\sum_{i = 1}^{n}{{(x}_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}$= 0,00000064
$$y_{i} - \overset{\overline{}}{y}$$	673,21	545,68	388,72	143,47	-72,35	-366,65	-543,23	-4143,50
$$(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})^{2}$$	453213,39	297768,03	151104,21	20584,00	5234,34	134431,31	295097,47	17168581,89	$\sum_{i = 1}^{n}{{(y}_{i} -}\overset{\overline{}}{y})^{2}$= 18526014,64

Średnica: 20mm

Lp.	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	0,01255	0,01233	0,01206	0,0117	0,01146	0,01102	0,01067	0,01041	$\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$= 0,0922
yi	2442,69	2334,78	2256,30	2099,34	2020,86	1863,90	1765,80	1648,08	$\sum_{i = 1}^{n}y_{i}$= 16431,75
xi • yi	30,66	28,79	27,21	24,56	23,16	20,54	18,84	17,16	$\sum_{i = 1}^{n}{x_{i} \bullet}y_{i}$= 190,91
$$x_{i} - \overset{\overline{}}{x}$$	0,00103	0,00081	0,00053	0,00018	-0,00007	-0,00051	-0,00086	-0,00112
$$(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})^{2}$$	0,000001051	0,000000648	0,000000286	0,000000031	0,000000004	0,000000255	0,000000731	0,000001243	$\sum_{i = 1}^{n}{{(x}_{i} -}\overset{\overline{}}{x})^{2}$= 0,00000425
$$y_{i} - \overset{\overline{}}{y}$$	388,72	280,81	202,33	45,37	-33,11	-190,07	-288,17	-2053,97
$$(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})^{2}$$	151104,21	78854,96	40937,93	2058,55	1096,19	36126,13	83041,23	4218787,62	$\sum_{i = 1}^{n}{{(y}_{i} -}\overset{\overline{}}{y})^{2}$= 4612006,82

6. Wnioski