TEORIA

Ruch harmoniczny prosty odbywa się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x lecz przeciwnie skierowanej:

$$\overrightarrow{F} = - k\overrightarrow{x}$$

Zjawisko rezonansu mechanicznego obserwujemy, gdy na układ, który może wykonywać drgania harmoniczne z własną częstością kołową ω działa zewnętrzna siła wymuszająca F_z, zmieniająca się okresowo w czasie. Załóżmy, że siła ta ma postać F_z = F_m sinωt. Wtedy Sumę wszystkich sił działających na ciało możemy zapisać w postaci następującego równania:

$$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = b\frac{\text{dx}}{\text{dt}}kx + A_{w}sin(\omega t)$$

gdzie b – współczynnik oporu ośrodka; k – współczynnik sprężystości, A_w – amplituda siły wymuszającej;
ω – częstość siły wymuszającej. Rozwiązanie tego równania zależy od warunków początkowych.

Jeżeli siły oporu ośrodka odgrywają istotną rolę, czyli gdy b > 0, to amplituda drgań wymuszonych A_w ustala się na poziomie wyznaczonym przez równowagę siły wymuszającej i siły oporu ośrodka. W tym przypadku rozwiązanie ma postać:

$$x = Asin\left( \omega t - \varphi \right) = \left( \frac{A_{w}}{G} \right)\sin\left( \omega t - \varphi \right),$$

gdzie $G = \sqrt{m^{2}{(\omega^{2} - \omega_{1}^{2})}^{2} + b^{2}\omega}$, ω₁ – częstość drgań własnych układu.

Jeżeli siły oporu ośrodka są bardzo małe, czyli gdy b dąży do zera, to rozwiązaniem naszego równania różniczkowego jest funkcja:

x = A₁sin(ω₁t+θ) + Asin(ωt + φ)

gdzie A₁ i θ zależą od warunków początkowych a ω jest częstością kołową drgań swobodnych Jest to suma dwu nakładających się drgań: drgań własnych z częstością ω₁ i drgań wymuszanych przez siłę zewnętrzną z częstością ω. Jeżeli różnica częstości ω₁ – ω będzie nieduża w porównaniu z ω, to powstaną dudnienia. Częstość dudnień Ω jest równa ω₁ - ω. Gdy ω₁ = ω zachodzi zjawisko rezonansu, czyli amplituda drgań wymuszonych zwiększa się w czasie do nieskończoności i układ zostaje zniszczony.

Tekst na podst. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, oraz http://pracownia.ifd.uni.wroc.pl (14 kwietnia 2009 r.)