Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu MIRR

Przyjmuje się założenie , że stopa reinwestycji jest równa kosztowi kapitału.

Pierwszym krokiem jest ustalenie przyszłej wartości dodatnich przepływów pieniężnych.

$$\mathbf{F}\mathbf{V}_{\mathbf{t}}\mathbf{\ = \ }\sum_{\mathbf{t}\mathbf{= 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{D}_{\mathbf{t}}\left( \mathbf{1 +}\mathbf{\text{YTM}} \right)^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{t}}}\mathbf{\ }$$

FV_t- przyszła wartość przepływów pieniężnych

D_t - dodatnie przepływy pieniężne

YTM – koszt kapitału

n- czas

t- kolejne lata t=1 jeśli w 1 roku zrealizowano dodatnie przepływy

Zadanie

Które z przedsięwzięć jest bardziej opłacalne dla YTM = 10 % i dla YTM = 20%

Koszt inwestycji A ) 6000, t₁  =  5000, t₂  =  2000 , t₃  =  1500,

Koszt inwestycji B ) 6000, t₁  =  500, t₂  =  1000 , t₃  =  8500,

FV  =  PV(1+r)ⁿ

Przy 10%

A)

		500	2000	1500
		10%	10%
- 6000

FV = PV(1 + r)²

A)

5000 × (1, 1)² = 6050

2000 × (1, 1)¹ = 2200

1500 × (1, 1)⁰ = 1500

A) FV=9 750

B) FV=10 205

Ta sama zasada przy 20%

A)

5000 × (1, 2)² = 7200

2000 × (1, 2)¹ = 2400

1500 × (1, 2)⁰ = 1500

A) FV=11 100

B) FV=10 420

Obecną wartość nakładów kapitałowych

$$PV_{K} = \sum_{K = 0}^{l}\frac{I_{K}}{{\ \left( 1 + YTM \right)}^{K}}$$

PV_K- obecna wartość sumy nakładów

I_K- nakłady

l - lata nakładów

K- kolejny rok ponoszenia nakładów

PV = 6000

A) $PV\ = \frac{6000}{1,1} = \ 6000$

B) $PV\ = \frac{6000}{1,2} = \ 6000$

$$\mathbf{\text{MIRR}}\mathbf{\ =}\ l + \mathbf{\text{\ \ }}\sqrt[\mathbf{n}]{\frac{\mathbf{F}\mathbf{V}_{\mathbf{t}}}{\mathbf{P}\mathbf{V}_{\mathbf{K}}}}\mathbf{-}\mathbf{1}$$

l =0 dla YTM = 10% MIRR = $0 + \ \sqrt[3]{\frac{9750}{6000}}\ - \ 1\ = \ 0,1937$ czyli 19,.37%

l =0 dla YTM = 20% MIRR = $0 + \ \sqrt[3]{\frac{10205}{6000}}\ - \ 1\ = \ 0,2020$ czyli 20,20%

dalej

$$\mathbf{\text{IRR}}_{\mathbf{\text{FV}}}\mathbf{\ = \ l + \ \ }\sqrt[\mathbf{n}]{\frac{\mathbf{F}\mathbf{V}_{\mathbf{t}}}{\mathbf{P}\mathbf{V}_{\mathbf{K}}}}\mathbf{\ 1}$$

niby to samo, ale pod FV_t i PV_k zamiast YTM można dać cokolwiek.

Np. która z inwestycji jest bardziej opłacalna , jeżeli inwestor ma możliwość ulokowania zysków po pierwszym roku trwania na 7% , a po drugim roku trwania inwestycji na 6,5 %.

A) B)

5000(1,07)(1,065) = 5697,75 500(1,07)(1,065) = 569,775

2000(1,065) = 2130 1000(1,065) = 1065

1500 = 1500 8500 = 8500

9317,75 10134,775

${\text{\ \ }\text{IRR}}_{\text{FV}}\ = \sqrt[3]{\frac{9327,75}{6000}}\ - 1\ = \ 0,1584$ ${\text{\ \ }\text{IRR}}_{\text{FV}}\ = \sqrt[3]{\frac{10134,775}{6000}}\ - 1\ = \ 0,1909$

Zmodyfikowany NPV

$\text{NPV}_{\text{FV}}\ = \ \frac{\text{FV}_{t}}{{1 + \text{YTM}}^{l + n}} - \ \text{PV}_{K}$

Zmodyfikowany indeks rentowności

${\ \text{PI}}_{\text{FV}} = \frac{\frac{\text{FV}_{t}}{{1 + \text{YTM}}^{l + n}}}{\text{PV}_{K}}$

to nie uczyć się nie będzie na teście

Ocena opłacalności inwestycji

- NPV

- IRR

- okres zwrotu z nadwyżki

Prosta stopa zwrotu określa stosunek rocznego zysku , osiąganego w trakcie funkcjonowania przedsiębiorstwa do wartości kapitału służącego sfinansowaniu projektów inwestycji.

Prosta stopa zwrotu z kapitału całkowitego

$\mathbf{R}_{\mathbf{c}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{Z}_{\mathbf{n}\mathbf{\ }}\mathbf{+}\mathbf{O}}{\mathbf{K}_{\mathbf{w}}\mathbf{+}\mathbf{Z}}$

R_c - prosta stopa zwrotu z kapitału całkowitego

Z_n - zysk nettoO – odsetki

K_w- kapitał własny

Z- kapitał obcy ( zobowiązania)

Zadanie

Obliczyć prostą stopę zwrotu kapitału, jeżeli zysk netto to 26000 , odsetki 6500 , a kapitał całkowity 225000

$R_{c}\ = \ \frac{26000 + 6500}{225000}\ = \ 0,114$

Prosta stopa zwrotu kapitału własnego

$$\mathbf{R}_{\mathbf{w}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{Z}_{\mathbf{n}\mathbf{\ }}}{\mathbf{K}_{\mathbf{w}}}$$

Księgowa stopa zwrotu

$$\mathbf{R}_{\mathbf{K}}\mathbf{\ =}\frac{\overline{\mathbf{Z}_{\mathbf{n}\mathbf{\ }}}}{\frac{\mathbf{K}_{\mathbf{\text{co}}\mathbf{\ }}\mathbf{+}\mathbf{K}_{\mathbf{\text{cn}}\mathbf{\ }}}{\mathbf{2}}}$$

R_K- księgowa stopa zwrotu

$\overline{Z_{\text{n\ }}}$ -średni roczny zysk netto

K_co - początkowy kapitał zaangażowany

K_cn – końcowy kapitał zaangażowany

Zadanie

Oblicz księgową stopę zwrotu , jeżeli w kolejnych latach osiągnięto następujące zyski:

12000, 16000, 17000, 13000 , razem 58000 .

Kapitał początkowy wyniósł 45000 , a kapitał końcowy 100000

$\mathbf{R}_{\mathbf{K}}\ = \frac{58000 \div 4}{\frac{145000}{2}} = \ 0,2$

Próg rentowności

Próg rentowności BEP to punkt, w którym zrealizowane przychody ze sprzedaży pokrywają poniesione koszty. Przedsiębiorstwo nie osiąga wówczas zysków, ale też nie ponosi straty. Oznacza to , że rentowność przychodów ze sprzedaży jest zerowa .

(W analizie progu rentowności przyjmuje się następujące założenia upraszczające ( takiego pytania nie będzie):

1. wielkość produkcji w badanym okresie jest równa wielkości sprzedaży

2.koszty SA wielkością produkcji ( zależą od wielkości produkcji)

3. jednostkowe koszty zmienne SA stałe , czyli całkowite koszty zmienne zmieniają się

proporcjonalnie do zmian wielkości produkcji

4. ceny sprzedaży produktów nie ulegają zmianie z upływem czasu i nie zmieniają się również wraz ze

zmianą skali produkcji i sprzedaży w badanym okresie

5.poziom jednostkowych kosztów zmiennych i kosztów stałych pozostaje niezmienny w badanym okresie.)

PRÓG RENTOWNOŚCI PRZY PRODUKCJI JEDNOASORTYMENTOWEJ.

Przychody ze sprzedaży

S = P×C

S— przychody ze sprzedaży

P- ilość sprzedanych produktów

C- jednostkowa cena sprzedaży

Poziom kosztów całkowitych

K_C  =  K_s  +  P×K_Z

K_C  - koszty całkowite

K_s - koszty stałe

P – wielkość produkcji = wielkość sprzedaży

K_Z - jednostkowe koszty zmienne

Próg rentowności występuje wówczas , gdy przychody ze sprzedaży są równe kosztom całkowitym.

S = K_C 

Wówczas

P × C  =  K_s  +  P × K_Z

Zad. Przedsiębiorstwo w badanym okresie planuje wyprodukować 20000 szt wyrobów i sprzedać je

po 23 zł/szt. . Koszty stałe produkcji to 54000 , a koszty zmienne 17zł/szt.

Próg rentowności ilościowej

$$\mathbf{\text{BEP}}_{\mathbf{\text{il}}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{K}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{c}\mathbf{\ }\mathbf{-}\mathbf{K}_{\mathbf{Z}}}$$

$\text{BEP}_{\text{il}}\ = \ \frac{54000}{23 - 17} = \ 9000$

Gdy sprzedamy 9000 szt. to wyjdziemy na 0

Wartościowy próg rentowności

$$\mathbf{\text{BEP}}_{\mathbf{\text{il}}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{K}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{c}\mathbf{\ }\mathbf{-}\mathbf{K}_{\mathbf{Z}}}\mathbf{\times c}$$

$\text{BEP}_{w}\ = \ \frac{54000}{23 - 17} \times 23\ = \ 207000$

Procentowy próg rentowności

$\mathbf{\text{BEP}}_{\mathbf{\%}}\mathbf{\ =}\frac{\mathbf{K}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{P}_{\mathbf{\max}}\mathbf{\times}\mathbf{(}\mathbf{C}\mathbf{\ }\mathbf{-}\mathbf{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{\ }}\mathbf{)}}\mathbf{\times \ 100\%\ }$

$$\text{BEP}_{\%}\ = \frac{54000}{20000 \times 6}\ \times 100\%\ = \ 45\%$$

Jeżeli wykorzystamy w 45% moce produkcyjne nie poniesiemy straty.

Zrealizowany zysk

Z =P_max×C − (K_S+ P_max×K_Z )

Z- zysk

Z =  20000 × 23 − (54000 + 20000 × 17)  =  66000

Graniczny poziom ceny sprzedaży

$\mathbf{C}_{\mathbf{\min}}\mathbf{\ =}\frac{\mathbf{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{\ }}\mathbf{\times}\mathbf{P}\mathbf{+}\mathbf{K}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{P}}$

$C_{\min}\ = \ \frac{17 \times 20000 + 54000}{20000} = \ 19,7$

Graniczny kosz poziom jednostkowych kosztów zmiennych

Kz_max = $\frac{\mathbf{C}\mathbf{\bullet}\mathbf{P}\mathbf{\ }\mathbf{-}\mathbf{K}_{\mathbf{S}}}{\mathbf{P}}$

Kz_max = $\frac{23 \times 20000 - 54000}{20000}$ = 20,3

Cenowy margines bezpieczeństwa mówi o ile możemy obniżyć cenę , aby nie ponieść straty

$\mathbf{M}_{\mathbf{C}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{C}\mathbf{-}\mathbf{C}_{\mathbf{\min}}}{\mathbf{C}}\mathbf{\times 100\%}$

$M_{C}\ = \ \frac{23 - 19,7}{23} \times 100\%\ = \ 14,34\%$

Kosztowy margines bezpieczeństwa pokazuje o ile mogą wzrosnąć jednostkowe koszty zmienne , aby przedsiębiorstwo nie poniosło straty.

$\mathbf{M}_{\mathbf{K}}\mathbf{\ =}\frac{{\mathbf{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{\ }}}_{\mathbf{\text{mmax}}}\mathbf{-}\mathbf{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{\ }}}{\mathbf{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{\ }}}\mathbf{\times 100\%}$

$\mathbf{M}_{\mathbf{K}}\ = \frac{20,3 - 17}{17} \times 100\%\ = 19,41$

PRODUKCJA WIELOASORTYMENTOWA

Wartość sprzedaży

$$\mathbf{S =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{m}}{\mathbf{P}_{\mathbf{i}}\mathbf{\times}\mathbf{c}_{\mathbf{i}}}$$

m – ilość produkcji w ofercie

Zadanie:

Przedsiębiorstwo produkuje 3 produkty

P₁max = 200 szt koszt jednostkowy = 18 zł cena sprzedaży = 20

P₂max = 100 szt koszt jednostkowy = 7 zł cena sprzedaży = 10

P₃max = 150 szt koszt jednostkowy = 12 zł cena sprzedaży = 18

Koszty stałe = 1000 zł

S  =  (200 × 20)  +  (100 × 10)  +  (150 × 18)  =  7700

Koszty całkowite :

$$\mathbf{Kc\ = \ Ks}\mathbf{+}\sum_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{m}}{\mathbf{\text{Pi}}\mathbf{\ }\mathbf{\times}\mathbf{K}\mathbf{z}}$$

Kc  =  1000  +  (200  × 18)  +  (100 × 7)  +  (150 × 12)  =  7100

Próg rentowności :

$$\ \sum_{i - 1}^{m}{Pi \times C_{i}}\ = \ Ks\ + \sum_{i = 1}^{m}{Pi \times K_{\text{zi}}\ }$$

Wartościowy próg rentowności

$$\mathbf{\text{BEP}}_{\mathbf{w}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{K}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{1 -}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{m}}{\mathbf{P}_{\mathbf{i}}\mathbf{\times}\mathbf{\text{Kz}}_{\mathbf{i}}}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{m}}{\mathbf{P}_{\mathbf{i}}\mathbf{\times}\mathbf{c}_{\mathbf{i}}}}}$$

$$\text{BEP}_{w} = \frac{1000}{1 - \frac{6100}{7700}} = \frac{1000}{0,2077} = 4812,5$$

Udział łącznych kosztów zmiennych w wartości całej produkcji jest stały i z góry określony.

Zadanie

Obliczyć próg rentowności wartościowy jeśli przedsiębiorstwo produkuje 3 produkty (dane z poprzedniego zadania)

Ilość (szt)	Koszt jednostkowy	Cena sprzedaży	Koszty (bez kosztu stałego	Wartość sprzedaży
200	18	20	3600	4000
100	7	10	700	1000
150	12	18	1800	2700
			6100	7700

Obliczyć przychód z każdego produktu

Ilość sprzedanych produktów

Zysk na każdym produkcie

Produkt	W – udziały	Przychód	Ilość	Koszt	Zysk
I	0,5195 (4000/7700)	2500 (4812,5x0,5195)	125 (2500/20)	2250 (125x18)	250 (2500-2250)
II	0,1299	625	62,5	437,5	187,5
III	0,3506	1687,5	93,75	1125	562,5
	1,0000				1000

zysk = 1000 → bez kosztów stałych czyli 1000 – 1000 = 0 ← próg regresji

1) udział który musimy zachować w produkcji sprzedanej

PRODUKCJA DWUASORTYMANTOWA

P₁ × C₁  + P₂ × C₂  =  Ks = P₁ × Kz₁  + P₂ × Kz₂

P₁×(c₁−Kz₁) +P₂×(c₂−Kz₂) −  Ks   = 0

Zadanie

Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby, których jednostkowy koszt zmienny wynosi 6 zł i 18 zł.

Cena sprzedaży 10 zł i 28 zł., a wielkość produkcji każdego z wyrobów 1000 szt. K_s =6000 . Oblicz zysk.

 1000 ( 10  6 )  +  1000 ( 28  18 )  6000  =  8000  zysku

Średni termin zwrotu z nadwyżki finansowej . Zysk netto.