Zadanie 14

Liczba telegramów nadanych na 100 osób y_t oraz liczba abonentów telefonii przewodowej na 1000 osób x_t w Polsce w latach 1992 - 2000 kształtowała się następująco:

Rok	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
yt	20	17	15	13	11	10	9	8	7
xt	102,5	124,7	150,8	175,4	196,1	219,1	240,8	266,7	297,9

x_t - abonentów telefonii przewodowej na 1000 osób

y_t - liczba telegramów nadanych na 100 osób

1. Na podstawie danych oszacuj parametry liniowego modelu przyczynowo - skutkowego.

y_t = α₀ + α₁∙ x_t1 + α₂∙ x_t2 + ... + α_k ∙ x_tk + ξ_t

y_t = α₀ + α₁∙ x_t + ξ_t

1992;	t = 1		20 = α0 + α1∙ 102,5 + ξ1
1993	t = 2		17 = α0 + α1∙ 124,7 + ξ2
1994;	t = 3		15 = α0 + α1∙ 150,8 + ξ3
1995	t = 4		13 = α0 + α1∙ 175,4 + ξ4
1996;	t = 5		11 = α0 + α1∙ 196,1+ ξ5
1997;	t = 6		10 = α0 + α1∙ 219,1 + ξ6
1998	t = 7		9 = α0 + α1∙ 240,8 + ξ7
1999;	t = 8		8 = α0 + α1∙ 266,7 + ξ8
2000;	t = 9		7 = α0 + α1∙ 297,9 + ξ9

y = x α + ξ

	20
	17
	15
	13
y =	11
	10
	9
	8
	7

	1 1 1 1 1 1 1 1 1	102,5 124,7 150,8 175,4 196,1 219,1 240,8 266,7 297,9
x =

	ξ1
	ξ2
	ξ3
	ξ4
ξ =	ξ5
	ξ6
	ξ7
	ξ8
	ξ9

α =	α0
	α1

Zakładając, że spełnione są klasyczne założenia modelu regresji liniowej wyznaczamy estymator nieznanych parametrów wykorzystując klasyczną metodę najmniejszych kwadratów.

a = (x^T ∙ x)^-1 ∙ (x^T ∙ y)

t	yt	xt	xt^2	yt ∙ xt	ŷt	(yt – ŷt )^2	(yt – ўt )^2
1	20	102,5	10506,25	2050	17,926426	4,299709	60,493831
2	17	124,7	15550,09	2119,9	16,372714	0,393488	22,827163
3	15	150,8	22740,64	2262	14,546053	0,206068	7,716051
4	13	175,4	30765,16	2280,2	12,824373	0,030845	0,604939
5	11	196,1	38455,21	2157,1	11,375642	0,141107	1,493827
6	10	219,1	48004,81	2191	9,765941	0,054784	4,938271
7	9	240,8	57984,64	2167,2	8,247223	0,566673	10,382715
8	8	266,7	71128,89	2133,6	6,43456	2,450602	17,827159
9	7	297,9	88744,41	2085,3	4,250966	7,557188	27,271603
	110	1774	383880,1	19446,3	101,743899	15,700464	153,555559

x^T = $\left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 \\ 102,5 & 124,7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1 \\ \ & 150,8 & 175,4 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1 \\ \ & 196,1 & 219,1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1\ \ \ \\ \ & 240,8 & 266,7\ \ \ \ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 297,9 \\ \end{matrix} \right\rbrack$

x^T ∙ x = $\left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 \\ 102,5 & 124,7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1 \\ \ & 150,8 & 175,4 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1 \\ \ & 196,1 & 219,1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1\ \ \ \\ \ & 240,8 & 266,7\ \ \ \ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 297,9 \\ \end{matrix} \right\rbrack$ ∙$\begin{bmatrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \\ 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \\ 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} 102,5 \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 124,7 \\ 150,8 \\ \end{matrix} \\ 175,4 \\ 196,1 \\ \end{matrix} \\ 219,1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 240,8 \\ 266,7 \\ \end{matrix} \\ 297,9 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ =

= $\begin{bmatrix} 9 & 1774 \\ 1774 & 383880,1 \\ \end{bmatrix}$

Wyznacznik:

$\begin{bmatrix} 9 & 1774 \\ 1774 & 383880,1 \\ \end{bmatrix}$= 9 ∙ 383880,1 – 1774 ∙ 1774 = 3454920,9 – 3147076 = 307844,9

A^-1 = $\frac{1}{|A|}$ ∙ |A_ij|^T =$\ \frac{1}{307844,9}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{bmatrix}\ $=$\ \frac{1}{307844,9}$ ∙$\begin{bmatrix} 383880,1 & - 1774 \\ - 1774 & 9 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 1,246992 & - 0,005763 \\ - 0,005763 & 0,000029 \\ \end{bmatrix}$

A₁₁ = (-1)^{(1+ 1)} ∙ 383880,1= 383880,1

A₁₂ = (-1)^{(1+ 2)} ∙ 1774 = - 1774

A₂₁ = (-1)^{(2+ 1)} ∙ 1774 = -1774

A₁₁ = (-1)^{(2 + 2)} ∙ 9 = 9

x^T ∙y=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 \\ 102,5 & 124,7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1 \\ \ & 150,8 & 175,4 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1 \\ \ & 196,1 & 219,1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ & 1 & 1\ \ \ \\ \ & 240,8 & 266,7\ \ \ \ \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 297,9 \\ \end{matrix} \right\rbrack$∙ $\begin{bmatrix} 20 \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 17 \\ \begin{matrix} 15 \\ 13 \\ 11 \\ \end{matrix} \\ 10 \\ \end{matrix} \\ 9 \\ \begin{matrix} 8 \\ 7 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 110 \\ 19446,3 \\ \end{bmatrix}$

a = (x^T ∙ x)^-1 ∙ (x^T ∙ y)= $\begin{bmatrix} 1,246992 & - 0,005763 \\ - 0,005763 & 0,000029 \\ \end{bmatrix}\ $∙$\ \begin{bmatrix} 110 \\ 19446,3 \\ \end{bmatrix}$ = =$\begin{bmatrix} 1,246992 \bullet 110 + ( - 0,005763) \bullet 19446,3 \\ - 0,005763\ \bullet 110 + \ 0,000029 \bullet \ 19446,3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 137,16912 - 112,069027 \\ - 0,63393 + \ 0,563943 \\ \end{bmatrix}$=$\ \begin{bmatrix} 25,100093 \\ - 0,069987 \\ \end{bmatrix}$

Model przyjmuje postać:

y_t = a₀ + a₁ ∙ x_t

y_t = 25, 100093 − 0, 069987 ∙ x_t

y₁ = 25, 100093 −  0, 069987∙ 102,5 = 25, 100093 – 7,1736675 = 17,926426

y₂ = 25, 100093 −  0, 069987∙ 124,7 = 25, 100093 - 8,7273789 = 16,372714

y₃ = 25, 100093 −  0, 069987∙ 150,8 = 25, 100093 - 10,5540396 = 14,546053

y₄ = 25, 100093 − 0, 069987∙ 174,5 = 25, 100093 - 12,2757198 = 12,824373

y₅ = 25, 100093 −  0, 069987∙ 196,1 = 25, 100093 - 13,7244507 = 11,375642

y₆ = 25, 100093 −  0, 069987 ∙ 219,1 = 25, 100093- 15,3341517 = 9,765941

y₇ = 25, 100093 −  0, 069987 ∙ 240,8 = 25, 100093- 16,8528696 = 8,247223

y₈ = 25, 100093 −  0, 069987 ∙ 266,7 = 25, 100093- 18,6655329 = 6,43456

y₉ = 25, 100093 −  0, 069987 ∙ 297,9 = 25, 100093- 20,8491273 = 4,250966

2. Oceń dopasowanie modelu do danych rzeczywistych:

a) wariancja składnika resztowego (losowego)

S² = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}\mathbf{-}\mathbf{K}\mathbf{-}\mathbf{1}}\sum_{\mathbf{t = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{\ }$(y_t – ŷ_t)² gdzie: N – liczba obserwacji na podstawie których budujemy model

K - liczba zmiennych objaśniających

y_T – wartość rzeczywista zmiennej

ŷ_T – wartość wyliczona z modelu

S² = $\frac{1}{N - K - 1}\sum_{t = 1}^{N}\ $(y_t – ŷ_t)² = $\frac{1}{9 - 1 - 1}\ $∙ 15,700464 = $\frac{15,700464\ }{7}$ = 2,242923

b) odchylenie standardowe składnika resztowego (losowego)

Informuje o ile średnio wartość rzeczywista zmiennej objaśnianej różni się od wyliczonej z modelu.

S = $\sqrt{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}}$

S = $\sqrt{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}}$ = $\sqrt{2,242923}$ = 1,497639

c) ocena macierzy wariancji i kowariancji estymatorów parametrów modelu

Wariancję estymatorów parametrów znajdują się na głównej przekątnej. Pierwiastki z nich o ocena średnich błędów szacunków parametrów modelu.

D²(a) = S² ∙ (x^T ∙ x)^-1

D²(a) = S² ∙ (x^T ∙ x)^-1 = 2,242923 ∙ $\begin{bmatrix} 1,246992 & - 0,005763 \\ - 0,005763 & 0,000029 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2,796907 & - 0,012926 \\ - 0,012926 & 0,000065 \\ \end{bmatrix}$

D(a₀) = $\sqrt{2,796907}$ = 1,6729396

D(a₁) = $\sqrt{0,000065}$ = 0,008062

d) współczynnik wyrazistości(zmienności)

Informuje, jaki procent średniej stanowi jej odchylenie. Model jest tym lepszy im niższa wartość współczynnika

W = $\frac{\mathbf{S}}{\mathbf{U}}$ ∙ 100 [%]

Ў = $\frac{y_{t}}{N}$ $= \ \frac{110}{9}$ = 12,222222

W = $\frac{S}{U}$ ∙ 100 [%] = $\frac{1,497639}{12,222222}$ ∙ 100 [%] = $\frac{149,7639}{12,222222}$ [%] = 12,253410 [%]

e) współczynnik zbieżności

Informuje, jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniona przez model. Bliższa zera wartość informuje o lepszym dopasowaniu modelu.

φ² = $\frac{\sum_{\mathbf{t = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{\ }\mathbf{(}\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{)}\mathbf{\ }^{\mathbf{2}}\mathbf{\ }}{\sum_{\mathbf{t = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{\ }\mathbf{(}\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{U}_{\mathbf{t}}\mathbf{)}\mathbf{\ }^{\mathbf{2}}}$

φ² = $\frac{\sum_{\mathbf{t = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{\ }\mathbf{(}\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{)}\mathbf{\ }^{\mathbf{2}}\mathbf{\ }}{\sum_{\mathbf{t = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{\ }\mathbf{(}\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{U}_{\mathbf{t}}\mathbf{)}\mathbf{\ }^{\mathbf{2}}}$ = $\frac{15,700464\ }{153,555559}$ = 0,102246

f) współczynnik determinacji

Wartość współczynnika determinacji powinna być bliska jedynki.

R² = 1 - φ²

R² = 1 - φ² = 1 - 0,102246 = 0,897754

g) weryfikacji istotności parametrów modelu

Przy założeniu, że składnik losowy modelu ma rozkład N (0; δ²) weryfikuje się hipotezę o istności każdego parametru.

H₀ [αi = 0]

H₁ [α_i ≠ 0]

Wykorzystujemy w tym celu statystykę:

t_i = $\frac{\mathbf{a}\mathbf{i}}{\mathbf{D}\mathbf{(}\mathbf{\text{ai}}\mathbf{)}}$ gdzie: a_i – ocena parametru stojącego przy i- tej zmiennej

D(a_i) – ocena średniego błędu szacunku parametru α_i

t_i = $\frac{ai}{D(\text{ai})}$ = $\frac{- 0,069987\ }{0,008062}\ $= - 8,681097

Z tablicy t – studenta dla (N – K – 1) stopni swobody oraz dla zadanego poziomu istotności α = 0,05 odczytuje się wartość krytyczną t_α

N – K – 1 = 9 – 1 – 1 = 7

t_α = 2,36462

|−8,681097| ≤ |2,36462| zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że i- ta zmienna objaśniająca nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą i powinna być usunięta z modelu.

3. Wyznacz prognozę liczby nadanych telegramów na 100 osób na następny rok. Wartość zmiennej objaśniającej ustal na poziomie rzeczywistym 320,4 abonentów na 1000 osób.

y_t = 25, 100093 − 0, 069987 ∙ x_t

x₁₀ = 320,4

y₁₀^* = 25, 100093 − 0, 069987 ∙ 320,4 = 25, 100093 - 22,4238348 = 2,6762582

4. Oceń dopuszczalność prognozy wyznaczając bezwzględną i względną błąd prognozy ex ante.

a) wariancja prognozy

V_T²= S² [x^* ∙ (x^T ∙ x)^-1 ∙x^*T + 1]

x^* = $\begin{bmatrix} 1 & 320,4 \\ \end{bmatrix}$

V₁₀² = 2, 242923∙ ($\begin{bmatrix} 1 & 320,4 \\ \end{bmatrix}$ ∙ $\begin{bmatrix} 1,246992 & - 0,005763 \\ - 0,005763 & 0,000029 \\ \end{bmatrix}$ ∙ $\begin{bmatrix} 1 \\ 320,4 \\ \end{bmatrix}$ + 1) =

= 2, 242923 ∙ ($\begin{bmatrix} 1,246992 - 1,846465 & - 0,005763\ + \ 0,009292 \\ \end{bmatrix}$ ∙ $\begin{bmatrix} 1 \\ 320,4 \\ \end{bmatrix}$ + 1) =

= 2, 242923 ∙ ($\begin{bmatrix} - 0,58789 & 0,003529 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 320,4 \\ \end{bmatrix}\ $+ 1) = 2, 242923 ∙ ($\begin{bmatrix} - 0,58789 + \ 1,130692 \\ \end{bmatrix}\ $+1) = = 2, 242923 ∙ (0,542802 + 1) = 2, 242923 ∙ 1,542802 = 3,460386

b) bezwzględny błąd prognozy ex ante

V_T = $\sqrt{{\mathbf{V}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{2}}}^{\mathbf{\ }}}$

V₁₀ = $\sqrt{{3,460386}^{\ }}$ = 1,860211

Prognoza jest tym lepsza i bardziej dokładna im niższy bezwzględny błąd prognozy ex ante. Błąd ten jest wystarczający do wyboru spośród kilku prognoz otrzymanych z różnych modeli tej samej zmiennej prognozy najlepszej.

c) względny błąd prognozy ex ante

Służy do porównania dokładności prognoz różnych zmiennych.

η_T = $\frac{\mathbf{V}_{\mathbf{T}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{*}}}$ ∙ 100 %

η₁₀ = $\frac{V_{10}}{y_{10}^{*}}$ ∙ 100 % = $\frac{{1,860211}_{\ }}{{2,6762582}_{\ }^{\ }}$ ∙ 100 % = $\frac{{1,860211}_{\ }}{{2,6762582}_{\ }^{\ }}$ = 69,50790 %

η₁₂ = 69,50790 %, czyli prognoza jest niedopuszczalna, gdyż mieści się w przedziale η_T > 10%

5. Wyznacz prognozę przedziałową na poziomie istotności α = 0,05

y_T^* - u ∙ V_T < y_T < y_T^* + u ∙ V_T gdzie: y_T – prognoza zmiennej y na okres T

P (y_T^* - u ∙ V_T < y_T < y_T^* + u ∙ V_T) = 1 – α V_T – bezwzględny błąd prognozy ex ante

u = t_α – gdy rozkład reszt jest normalny lub

u = $\sqrt{\frac{1}{\alpha}}$ - gdy rozkład reszt jest nieznany

2, 6762582 - 2,36462 ∙ 1, 860211 < y₁₂ < 2, 6762582 + 2,36462 ∙ 1, 860211

2, 6762582– 4,398692 < y₁₂ < 2, 6762582+ 4,398692

-1,722434 < y₁₂ < 7,074950

6. Oceń trafność prognozy wiedząc, że liczba nadanych telegramów w roku 2001 wyniosła 6 na 100 osób. Oceń przydatność modelu w dalszym prognozowaniu.

a) bezwzględny błąd prognozy ex post

Informuje o ile wartość rzeczywista różni się od wyliczonej z modelu.

q_T = y_T - y_T^*

q₁₀ = y₁₀ - y₁₀^* = 6 - 2, 6762582 = 3,323742

b) względny błąd prognozy ex post

Informuje, jaki procent wartości rzeczywistej stanowi różnica pomiędzy wartością rzeczywistą a wyznaczoną z modelu.

ψ_T = $\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{T}}\mathbf{-}\mathbf{\ }\mathbf{y}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{*}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{T}}}$ ∙ 100 %

ψ₁₀ = $\frac{y_{10} - \ y_{10}^{*}}{y_{10}}$ ∙ 100% = $\frac{{6\ - \ \ 2,6762582\ \ }_{\ }}{7}$ ∙ 100% = $\frac{{3,323742}_{\ }}{7}$ ∙ 100% = $\frac{{332,3742}_{\ }}{7}$ % = 47,482029 %

c) współczynnik Janusowy

Określa stopień dopasowania prognozy i modelu do danych rzeczywistych.

J² = $\frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}\mathbf{-}\mathbf{N}}\mathbf{\ }\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{t = \ \ N + 1}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\ (}\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{\ }\mathbf{y}_{\mathbf{t}}^{\mathbf{*}}\mathbf{)}\mathbf{\ }^{\mathbf{2}}}{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}}\mathbf{\ }\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{t = \ \ 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{\ (}\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{\ }\mathbf{y}_{\mathbf{t}}^{\mathbf{\ }}\mathbf{)}\mathbf{\ }^{\mathbf{2}}}$

J² = $\frac{\frac{1}{10 - 9}\ \Sigma_{t = \ \ 10}^{10}\ (y_{t} - \ y_{t}^{*})\ ^{2}}{\frac{1}{9}\ \bullet \ 21,152791}$ = $\frac{\ (y_{t} - \ y_{t}^{*})\ ^{2}}{2,350310}$ = $\frac{\ (6\ - \ \ 2,6762582\ )\ ^{2}}{2,350310}$ = $\frac{(3,323742)\ ^{2}}{2,350310}$ = $\frac{11,047261}{2,350310}$ = 4,700342

J² > 1 zatem dotychczasowe prognozy nie są trafne i model nie może być wykorzystywany w dalszym ciągu do prognozowania.