Wydział Inżynierii Lądowej	Poniedziałek 14^15-17^00	Nr Zespołu: 5
	26.10.2012r.
Nazwisko i Imię: 1. Karolina Gadomska 2. Katarzyna Osowska 3. Paweł Ostas	Ocena z przygotowania:	Ocena ze sprawozdania:
Prowadzący: mgr inz. Rafał Tarakowski

Temat: Badanie anharmoniczności drgań wahadła matematycznego. Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła różnicowego.

Podstawy teoretyczne.

Wahadłem matematycznym płaskim nazywamy punkt materialny poruszający się po okręgu w polu grawitacyjnym. W praktyce jest to najczęściej metalowa kulka o bardzo małych rozmiarach zawieszona na sprężystej nici.

Zależność okresu drgań T wahadła matematycznego od maksymalnego kąta wychylenia ϕ_m opisana jest wzorem:

(1)

Gdzie:

ϕ_m – kąt wychylenia wahadła,

l – długość wahadła,

g – przyspieszenie ziemskie.

Ze wzoru wynika, że okres drgań wahadła rośnie wraz ze wzrostem maksymalnego wychylenia. Można przyjąć (dla kątów ϕ<π/2), że powyższy wzór ma następującą postać:

(2)

Gdzie:

W czasie zmniejszania wartości kąta, przy ϕ→0 okres przestanie zależeć od wychylenia i otrzymamy:

Występują wówczas drgania harmoniczne. W praktyce występowanie zjawiska izochronizmu dla wahadła matematycznego w skończonym przedziale wartości ϕ_m związane jest z niedoskonałością przyrządów pomiarowych.

Pomiar długości wahadła matematycznego l jest niewygodny i zazwyczaj obarczony dużym błędem(jest to spowodowane trudnością w ustaleniu środka masy soczewki). W przypadku wahadła różnicowego pozbywamy się tej trudności poprzez pomiar zmianie długości wahadła. Następnie korzystając ze wzorów na okres drgań wahadła możemy zapisać:

(3)

Gdzie:

T₀ i T_i – okresy drgań wahadła o długościach l₀ i l_i,

d_i – różnica długości wahadła,

l₀ – początkowa długość wahadła,

l_i – długość wahadła w przypadku i-tej zmiany długości

1. Opis przeprowadzonych doświadczeń.

   1. Badanie zależności okresu drgań od kąta wychylenia wahadła.

Badanie rozpoczyna się od odchylenia soczewki o kąt ϕ_m, następnie puszcza się soczewkę tak, aby wahadło poruszało się w „jednej płaszczyźnie”. Należy dokonać wielokrotnego pomiaru jednego półokresu dla danego ϕ_m oraz obliczyć jego średnią wartość. Pomiarów dokonuje się dla wzrastającej wartości wychylenia wahadła ϕ_m.

Badanie zależności okresu drgań wahadła od zmian długości.

Wykonuje się pomiary półokresów T₀ i T_i dla różnych długości wahadła l_i dla takiego samego wychylenia początkowego ϕ_m.

Układ pomiarowy.

Eksperymenty przeprowadzaliśmy przy pomocy statywu wahadła o regulowanym punkcie górnego zaczepienia, wahadła przybliżającego matematyczne oraz elektronicznego układu pomiarowego składającego się z fotokomórki i podłączonego do niej miernika czasu.

Wyniki badań.

4.1 Badanie anharmoniczności wahadła:

Kąt wychy-lenia ϕm[°]	Okres T(ϕm) 10 pojedynczych cykli [s]	średnia	niepew-ność ΔT
3	1,2922	1,2938	1,2947
	1,2931	1,2919	1,2914
5	1,2915	1,2938	1,2924
	1,2909	1,2915	1,2918
7	1,2927	1,2928	1,2927
	1,2917	1,2935	1,2934
10	1,2932	1,2940	1,2936
	1,2944	1,2930	1,2931
15	1,2960	1,2973	1,2963
	1,2955	1,2968	1,2957
20	1,2994	1,3013	1,3025
	1,3009	1,3008	1,3019
30	1,3132	1,3135	1,3130
	1,3141	1,3143	1,3143
35	1,3229	1,3223	1,3229
	1,3232	1,3228	1,3232
45	1,3434	1,3431	1,3432
	1,3443	1,3440	1,3441
50	1,3580	1,3571	1,3575
	1,3569	1,3575	1,3579

Tab. 1.1. Wyniki pomiarów okresów w zależności od kąta wychylenia

Niepewność pomiaru obliczono ze wzoru:

$$\Delta\overset{\overline{}}{x} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\overset{\overline{}}{x} - x_{i})}^{2}}{n(n - 1)} + \frac{\Delta x^{2}}{3}}$$

Niepewności pomiarowe są zbyt małe, żeby były widoczne na wykresie.

$$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\phi}_{\mathbf{m}}$$	$$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}{\operatorname{}\frac{\mathbf{\phi}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{2}}}_{}$$	$$\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{64}}{\operatorname{}\frac{\mathbf{\phi}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{2}}}_{}$$	$$\frac{\mathbf{225}}{\mathbf{2304}}{\operatorname{}\frac{\mathbf{\phi}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{2}}}_{}$$
1, 5
2, 5
3, 5	0,001
5	0,002
7, 5	0,004
10	0,008
15	0,017	0,001
17, 5	0,023	0,001
22, 5	0,037	0,003
25	0,045	0,004	0,001

Tabela 1.2. Poprawki

Teoretyczna zależność okresu T od kąta wychylenia stosując kolejne przybliżenia przedstawia się wzorem (2).

$$l = 40\text{cm}\text{\ \ \ \ \ }g = 9,81\frac{m}{s^{2}}$$

Wniosek:

Wykres otrzymany z wyników doświadczenia się różni od teoretycznego. Jest to przesunięcie równoległe wnioskować stąd można iż powstał pewien błęd systematyczny, który występował w każdym pomiarze. Mogła to być wada urządzenia mierzącego czas okresu ,zły odczyt długości wahadła lub przesunięcie podziałki wychylenia.

2. Wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła różnicowego.

Dokładność długości wahadła l: ± 0,1 cm.

Dokładność urządzenia liczącego czas okresu: ± 0,0001 s.

Długość miarki [m]	Wartość okresu 1 cyklu (10 pomiarów dla każdej długości) [s]	średnia	T0^2 – Ti^2 liczone ze wzoru	T0^2 – Ti^2 Liczone z różnicy pomiarów
35,0	1,3535	1,3537	1,3527	1,3545
	1,3532	1,3540	1,3535	1,3545
33,0	1,3840	1,3835	1,3842	1,3839
	1,3841	1,3837	1,3846	1,3839
31,0	1,4128	1,4127	1,4124	1,4126
	1,4125	1,4128	1,4133	1,4130
29,0	1,4419	1,4424	1,4414	1,4418
	1,4428	1,4425	1,4422	1,4419
27,0	1,4709	1,4715	1,4711	1,4715
	1,4715	1,4712	1,4716	1,4717
25,0	1,4991	1,4993	1,4991	1,4992
	1,4991	1,4991	1,4994	1,4989
23,0	1,5282	1,5275	1,5280	1,5268
	1,5272	1,5281	1,5275	1,5274
21,0	1,5550	1,5550	1,5551	1,5553
	1,5552	1,5553	1,5555	1,5554
19,0	1,5841	1,5840	1,5842	1,5848
	1,5841	1,5844	1,5846	1,5839
17,0	1,6098	1,6086	1,6095	1,6089
	1,6092	1,6090	1,6093	1,6093
15,0	1,6346	1,6342	1,6344	1,6338
	1,6345	1,6340	1,6341	1,6338

Tabela 1.3 Zależność okresu od długości linki wahadła

Kąt wychylenia dla jakiego badano okres wynosił 30^o. Korzystając ze wzoru (3) przedstawiono wyniki na wykresie.

f(30) = 1, 018

Przyjmując współczynnik a jako $a = \frac{{4\pi}^{2}}{g}$ obliczamy wartość przyśpieszenia ziemskiego. $g = \frac{4\pi^{2}}{a}$

Dla wykresu, którego wartości wyliczono ze wzoru - współczynnik a₁ = 4, 0243

Dla wykresu, którego wartości wyliczono z różnicy pomiarów okresu - współczynnik a₂ = 4, 227

$$g_{1} = 9,81\frac{m}{s^{2}}$$

$$g_{2} = 9,34\ \frac{m}{s^{2}}$$

Wynik badania praktycznego: przyspieszenie 9,34 m/s²

Wynik obliczeń teoretycznych: przyspieszenie 9,81 m/s²

Wnioski:

Otrzymana doświadczalnie wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest prawidłową wartością. Przyczyną może być mało dokładny pomiar, z powodu nieprawidłowego puszczania w jednej płaszczyźnie kulki wahadła lub z powodu nieuwagi mierzących przy ocenianiu długości wahadła.