MAPY, SKALE, PODZIAŁKI

WYKŁAD 2

Mapa jest to graficzny obraz powierzchni Ziemi, innego ciała niebieskiego lub nieba, przedstawiony w zmniejszeniu w sposób określony matematycznie, uogólniony i umowny.

Cechy mapy:

-odzwierciedla rozmieszczenie obiektów i zjawisk jest więc obrazem przestrzeni

-stanowi zbiór znaków

-zawiera informację, a wiec jej funkcją jest przekazywanie informacji

-odzwierciedla fragment rzeczywistości w specyficznie uogólniony sposób – może być traktowana jako model

-może być uważana za źródło danych

Mapa jako obraz przestrzeni

Mapa odzwierciedlająca przestrzeń geograficzną to zmniejszony obraz przedstawionego obszaru. Zmniejszenie jest wyrażane w formie ułamka zwanego skalą mapy.

Skala i dokładność skali

Skala jest to stosunek liczbowy pomiędzy odległością dwóch punktów na mapie a ich poziomą odległością w terenie. Skalę przedstawiamy w postaci ułamka 1:M.

$\frac{1}{M}$= $\frac{d}{D}$

d – odl. na mapie

D – odl. w rzeczywistości

$\frac{1}{M^{2}}$= $\frac{p}{P}$

p – pow. na mapie

P – pow. w rzeczywistości

Dokładność skali – (∆D) jest to odległość terenowa odpowiadające na mapie granicy zdolności rozdzielczej ludzkiego oka, wynoszącej 0,1 mm.

∆D = D = 0,1mm*M

Skala mapy 1:50000 ∆D = 0,1 mm*50000=50000mm=5m

Mapa jako obraz przestrzeni

Arkusz mapy obejmuje określony obszar powierzchni Ziemi. Można przyjąć, że wraz ze zmniejszaniem się skali zmniesza się możliwość prezentacji szczegółów, a zwiększa się obszar przedstawiany na mapie.

1:500 – skala duża

1:100000000 – skala mała

Mapa jako zbiór znaków

We wszystkich definicjach mapy podkreśla się, że jest ona zbiorem znaków. Jest to cecha odróżniająca mapę od takich zapisów przestrzennych jak zdjęcie lotnicze czy też pejzaż malarski.

Mapa jako przekaz informacji

-Mapa prasowa wskazuje miejsca wybuchu wulkanu lub oddania w użytkowanie nowego odcinka drogi czy też nowego mostu.

-Mapa zamieszczona w czasopiśmie naukowym może przedstawić teren badań i punkty pomiarowe

-Turysta zaopatruje się w mapę zawierającą szlaki turystyczne czy też w plany miast.

Mapa jako model

Mapa przedstawia fragment przestrzeni geograficznej, informuje o właściwościach tej przestrzeni za pomocą znaków, pełni funkcję środka przekazu informacji. Jest to zatem konstrukcja opisująca pewne aspekty rzeczywistości, która może być traktowana jako model.

-Model w kartografii to uproszczone przedstawienie rzeczywistości, zawierające tylko te cechy, które w konkretnym przypadku uważa się za istotne.

Mapa jako źródło danych

Mapa to również baza danych, ponieważ zawiera informację o przedmiotach i zjawiskach o określonym położeniu na powierzchni Ziemi, może być podstawą opracowania numerycznej bazy danych.

Właściwości mapy

Mapa cechuje się następującymi właściwościami:

-prezentacja na płaszczyźnie lub odniesiona do płaszczyzny

-przedstawienie poszczególnych kategorii zjawisk i obiektów za pomocą przyjętego systemu znaków umownych.

-podobieństwo rozmieszczenia znaków do rozmieszczenia oznaczanych przez te znaki obiektów

-generalizacja, czyli redukcja treści mapy i jej uogólnienie wynikające z konieczności dostosowania zakresu i sposobu ujęcia jej treści do przeznaczenia, skali oraz możliwości percepcyjnych użytkowników mapy.

Właściwości map pozwalają na ich odróżnienie od innych rodzajów graficznych przedstawień przestrzennych, do najbardziej znanych typów przedstawień przestrzennych należą:

-globusy, czyli trójwymiarowe modele Ziemi, stanowiące przedstawienie na kuli, dzięki czemu pokazany na nich obraz nie podlega zniekształceniom odwzorowawczym;

-blokdiagramy, czyli fragmenty powierzchni Ziemi przy nachylonym kącie widzenia, uzupełnione profilami;

-zdjęcie lotnicze i obrazy satelitarne będące zmniejszonym obrazem powierzchni Ziemi, różniące się od map brakiem znaków umownych i brakiem generalizacji treści mapy;

-schemat sieci, najczęściej komunikacyjnej;

-przedstawienie (mapa) an amorficzna, w których powierzchnie prezentowanych obszarów są proporcjonalne do pewnych wielkości statycznych;

MAPY GEOGRAFICZNE:

- ogólno geograficzne:

• Topograficzne wielkoskalowe

• Topograficzne średnioskalowe

• Topograficzne małoskalowe

- mapy tematyczne

• Społeczno – gospodarcze

• Przyrodnicze

Klasyfikacja map:

Kryteria klasyfikacji map:

-treść,

-skala,

-przedstawiony obszar geograficzny,

-forma prezentacji

-sposób wykorzystania.

Podział map ze względu na treść

-ogólnogeograficzne:

-topograficzne wielkoskalowe

-topograficzne średniskalowe

-topograficzne małoskalowe

-przeglądowe

-tematyczne:

-społeczno-gospodarcze – to mapy ludnościowe, gospodarcze, usług, polityczno-administracyjne.

-gospodarcze:

-mapa zasadnicza

-podstawy zagospodarowania terenu

-komunikacji

-gospodarki mieszkaniowej

-przemysłu

-rolnictwa

-usług

-swobody dyspozycyjnej terenu

-społeczne

-demograficzne

-wybranych elementów socjalno-bytowych

-patologii społecznych

-przyrodnicze:

-fizjograficzne

-geologiczne

-rzeźby terenu

-hydrograficzne

-klimatu

-glebowe

-szaty roślinnej

-świąta zwierzęcego

-sozologiczne

-zagrożenia środowiska

-ochrony środowiska

Podział map ze względu na skalę

-mapy wielkoskalowe w skalach większych od 1:200.00

-mapy średnioskalowe w skala od 1:200.000 do 1:1.000.000

-mapy małoskalowe w skalach mniejszych od 1:1.000.000

Mapa zasadnicza

Mapa zasadnicza – zgodnie z art. 2, p.7 ustawy Prawo geodezyjne i kartograficzne – jest to wielkoskalowe opracowanie kartograficzne zawierające aktualne informacje o przestrzennym rozmieszczeniu obiektów ogólnogeograficznych oraz elementach ewidencji gruntów i budynków, a także sieci uzbrojenia terenu: nadziemnych, naziemnych i podziemnych.

Mapa zasadnicza stanowi:

-podstawowy element państwowego zasobu geodezyjnego – kartograficznego

-podstawowy materiał kartograficzny wykorzystywany do zaspokojenia różnych potrzeb gospodarki narodowe, w szczególności

-zagospodarowania przestrzennego

-katastru nieruchomości

-powszechnej taksacji

Mapa zasadnicza

-źródłowe opracowania kartograficzne do sporządzania map pochodnych i innych wielkoskalowych map tematycznych oraz aktualizacji mapy topograficznej w skali 1:10.000.

Zasadniczymi kryteriami doboru skali mapy zasadniczej są:

-stopień zagęszczenia terenu szczegółami sytuacyjnymi, stanowiącymi treść mapy zasadniczej

-stopień zainwestowania terenu w urządzenia podziemne

-przewidywane zamierzenia inwestycyjne.

Wyróżniamy następujące skale mapy zasadniczej:

-skala 1:500 – dla terenów o znacznym obecnym lub przewidywanym zainwestowaniu,

-skala 1:1000 – dla terenów małych miast, aglomeracji miejskich i przemysłowych oraz terenów osiedlowych wsi będących siedzibami gmin,

-skala 1:2000 – dla pozostałych zawartych terenów osiedlowych terenów rolnych o drobnej, nieregularnej szachownicy stanu władania oraz większych zawartych obszarów rolnych i leśnych na terenach miast,

-skala 1:5000 – dla terenów o rozproszone zabudowie wiejskiej oraz gruntów rolncy i leśnych na obszarach pozamiejskich.

Treść mapy zasadniczej dzieli się na treść obligatoryjną oraz treść fakultatywną

-Treść obligatoryjną mapy zasadniczej stanowią:

-punkty osnów geodezyjnych,

-elementy ewidencji gruntów i budynków,

-elementy sieci uzbrojenia terenu, w szczególności urządzenia nadziemne, naziemne i podziemne.

Do elementów ewidencji gruntów budynków zalicza się:

-granice jednostek podziału państwa

-granice podziału ewidencyjnego

-granice nieruchomości gruntów i działek ewidencyjnych

-punkty graniczne

-granice użytków gruntowych

-kontury klas bonitacyjnych

-obrysy budynków

-numery oraz inne oznaczenie identyfikujące wyżej wymienione obiekty

Do elementów sieci uzbrojenia terenu zalicza się:

-urządzenie inżynieryjno-techniczne nadziemne

-urządzenia inżynieryjno-techniczne naziemne, w tym punkty położenia armatury naziemnej przewodów uzbrojenia technicznego

-pomierzone linie przebiegu uzbrojenia terenu.

Mapa zasadnicza jest tworzona według zasad zawartych Instrukcji technicznej K-1 „Mapa zasadnicza – podstawowa mapa kraju”.

Treść mapy ewidencyjnej stanowią następujące elementy:

-granice: państwa, jednostek zasadniczego trójstopniowego podziału terytorialnego państwa, jednostek ewidencyjnych, obrębów i działek

-kontury użytków gruntowych i ich oznaczenie

-kontury klas bonitacyjnych i ich oznaczenie.

-kontury budynków

-numer działek ewidencyjnych

-granice rejonów statystycznych

-dane opisowe: nazwy ulic, numery dróg, numery budynków, oznaczenia jednostek i obrębów ewidencyjny

-nazwy zespołów urbanistycznych i przysiółków.

Mapę ewidencyjną w zależności od stopnie zurbanizowania terenu i struktury władania gruntów sporządza się w skalach:

-1:500

-1:1000

-1:2000

-1:5000

Wykład 3

ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNE

Geoida, elipsoida, powierzchnia Ziemi

-geoida – powierzchnia ekwipotencjalna potencjału siły ciężkości Ziemi, utożsamiana ze swobodnym poziomem mórz i oceanów

-elipsoida obrotowa – jest to elipsoida odniesienie o określonych parametrach i iokreslonym usytuowaniu w bryle ziemskiej, na którą zrzutowano punkty danej sieci geodezyjnej.

Elipsoida może być globalna (ma środek zaczepienie w środku masy Ziemi) lub lokalna (najlepiej oddaje fragment danego obszaru)

Państwowy układ wysokości

Wysokość elipsoidalna (h), wysokość geodezyjna – odległości pomiędzy punktem na powierzchni Ziemi a powierzchnią elipsoidy odniesienia, dodatnia dla punktów leżących ponad elipsoidą.

Pojęcie kartografii i odwzorowania

Kartografia jest to nauka zajmująca się przedstawienie wyników badań i pomiarów kształtu Ziemi na płaszczyźnie.

Odwzorowanie jest umownym, określonym matematycznie sposobem przyporządkowania punktom powierzchni elipsoidy, punktów na płaszczyźnie.

Odwzorowanie kartograficzne

Cechy odwzorowań kartograficznych:

-obrazem punktu jest punkt,

-obrazem krzywej jest krzywa,

-obrazem kąta jest kąt,

-obrazem powierzchni jest powierzchnia.

Ze względu na rodzaj powierzchni rzutowania odwzorowania dzielimy na:

-azymutalne (powierzchniowe)

-walcowe

-stożkowe

Ze względu na położenie środka rzutów odwzorowania możemy podzielić na:

-centralne

-stereograficzne

-ortograficzne

Ze względu na położenie powierzchni rzutu w stosunku do bieguna możemy wyróżnić odwzorowania:

-normalne (biegunowe)

-poprzeczne (równikowe)

-ukośne

Ze względu na odległość powierzchni rzutów od kuli odwzorowania możemy podzielić na:

-styczne

-sieczne

-odległe

Odwzorowania kartograficzne (zniekształcenia)

Nie ma map bez zniekształceń (na każdej mapie występuje co najmniej jeden rodzaj zniekształcenia), a zniekształcenia mogą być różne w różnych punktach mapy.

W zależności od rodzaju zniekształceń niewystępujących na mapie, odwzorowania możemy podzielić na:

-wiernokątne

-wiernopolowe

-wiernoodległościowe

-dowolne

Odwzorowania kartograficzne

Do najczęściej używanych odwzorowań możemy zalczyć:

-odwzorowanie Mercatora

-odwzorowanie Gaussa-Kruegera

-odwzorowanie UTM (Universal Transwersal Mercator)

Odwozoranie Gausa-Kruegera

Interpretacja geometrycna:

-odwzorowanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej na płaszczyznę

-równokątne

-walcowe

-styczne

-poprzeczne

Zastosowanie odwzorowań

-Odwzorowanie azymutalne – brak zniekształceń w punkcie styczności im dalej od punktu styczności zniekształcenia rosną, izolinie zniekształceń to okręgi (odwzorowanie azymutalne normalne – obszary podbiegunowe)

-Odwzorowanie azymutalne poprzeczne – mapy półkul oraz kontynentów leżących w pobliżu równika

-Odwzorowanie walcowe poprzeczne – obszary okolic równika

-Odwzorowanie stożkowe – obszary okolic równoleżnika styczności

-Odwzorowania stożkowe – rozciągnięte równoleżnikowo obszary w umiarkowanych szerokościach geograficznych.

-Obszary rozciągnięte w kierunku północ-południe (Wielka Brytania, Chile) – odwzorowanie walcowe

-Obszary rozciągnięte w kierunku wschód-zachód (USA) odwzorowanie stożkowe.

-Dla małych obszarów (miasta, małe państwa) najlepsze są odwzorowania azymutalne wiernokątne, z punktem przyłożenia w środku obszary

-Dla dużych obszarów (państwa, kontynenty) stosujemy odwzorowania walcowe lub stożkowe

-Dla map świata stosujemy odwzorowania walcowe oraz pseudowalcowe.

Układ współrzędnych i odwzorowania kartograficzne w Polsce

-układ współrzędnych płaskich prostokątnych 1942 – odwzorowania Gausa-Kruegera

-układ współrzędnych płaskich prostokątnych 1965

-układ współrzędnych płaskich prostokątnych GUGiK-80 – odwzorowanie quasi-stereograficznym

-układ współrzędnych płaskich prostokątnych PUK2000 – odwzorowanie quasi-stereograficznym

-układy lokalne,

-układ współrzędnych płaskich prostokątnych 1992 – odwzorowanie Gausa-Kruegera w pasie 10-stopniowym

-układ współrzędnych płaskich prostokątnych 2000-odwozorwanie Gausa-Kruegera w pasach 3-stopniowych

(01.01.2010r.)

Uklad współrzędnych 1965

-wprowadzony dla potrzeb całego kraju w 1968r.

-wielkoskalowe mapy, znane pod nazwą mapy zasadniczej, opracowywane w skalach 1:5000, 1:1000, 1:2000, 1:5000

-mapy topograficzne w skalach 1:10.000, 1:25.000, 1:50.000

Układ współrzędnych 1992

-wprowadzony do stosowaniea w Polsce Rozporządzeniem Rady Ministrów z dnia 8 sierpnia 200r.

-odwzorowanie Gausa-Kruegera, w pasie 10-stopniowym, elipsoida GRS80

Układ współrzędnych 2000

-wprowadzony do stosowaniea w Polsce Rozporządzeniem Rady Ministrów z dnia 8 sierpnia 200r.

-odwzorowanie Gausa-Kruegera, w pasach 3-stopniowych, elipsoida GRS80

WYKŁAD 4

OGÓLNE ZASADY TEORII BLĘDÓW

Ogóle zasady teorii błędów

W pracach geodezyjnych mogą występować następujące błędów

-błędy grube,

-błędy systematyczne,

-błędy przypadkowe

Błędy grube powstają na skutek nagłej zmiany warunków pomiaru lub nieuwagi obserwatora (np. czeski błąd). Dla ostatecznych wyników błędy duże nie stanowią niebezpieczeństwa, gdyż łatwo zostają wykryte przez porównanie pomiarów tej samej wielkości.

Błędy systematyczne powstają na skutek znanych przyczyn. Jako przyczyny powstawania błędów należy wymienić:

-niedokładność w budowie instrumentów pomiarowych np. błąd kolimacji lub inklinacji,

-cechy szczególne obserwatora (błędy osobowe) np. skłonność do stałego zmniejszania/zwiększania odczytów,

-nieprawidłowa regulacja przyrządu pomiarowego,

-inne np. temperatura, refrakcja (załamanie się promienia przechodzącego przez różne ośrodki), boczne oświetlenie.

Eliminacja błędów systematycznych polega na zastosowaniu odpowiedniej metody pomiaru, względnie na drodze analitycznej.

Błędy przypadkowe są spowodowane przez bliżej nie określone czynniki działające stale, ze zmiennym nasileniem o charakterze przypadkowym. Eliminacje błędów przypadkowych nie jest możliwa, ponieważ nie istnieją związki funkcyjne pomiędzy wartościami błędów a przyczynami ich występowania.

Nie można zatem przewidzieć z góry wpływu błędów przypadkowych na wynik pomiaru. Spostrzeżenia obarczone błędami przypadkowymi należy doprowadzić do wzajemnej matematycznej zgodności za pomocą rachunku wyrównawczego opartego na teorii błędów oraz rachunku prawdopodobieństwa.

Rachunek prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo P zajścia zdarzenia A jest to stosunek liczby przypadków spełniających zdarzenie A liczby wszystkich możliwych zdarzeń.

P=s/w

P – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A

s – liczba przypadków spełniających zdarzenie A

w – liczba wszystkich możliwych zdarzeń

Ze wzoru P=s/w wynika, że wartość prawdopodobieństwa zawiera się w granicach od 0 do 1. Jeżeli P=0 to dane zdarzenie nie występuje, jeżeli P=1 to mamy 100% pewność zajścia danego zjawiska.

Przyk.1.:

Obliczyć prawdopodobieństwo, że pobrana losowa sztuka produktu z partii o liczebności 30, z założeniem, że 5szt. W partii jest wadliwych, będzie bez wad.

P=s/w=25/30=5/6

Prawo błędow Gausa-Laplace’a

W związku z losowym charakterem pomiarów, błędu pomiarów charakteryzują się określonym prawem rozkładu (rozkład normalny). Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego opisującego prawo rozkładu błędów przypadkowych definiuje wzór:

ϕ(ε)=$\frac{h}{\sqrt{x}}e^{( - h\hat{}2\ \varepsilon\hat{}2)}$

h – miara dokładności związana z błędem średnim pomiaru h²m²=1/2

ε- błąd prawdziwy

m – błąd średni, m_gr– błąd graniczny

Własności błędów przypadkowych

Na podstawie krzywej prawdopodobieństwa można sformułować wnioski dotyczące własności błędów przypadkowych:

-prawdopodobieństwo występowania błędów przypadkowych o różnych znakach lecz o tej samej wartości bezwzględnej jest jednakowe,

-prawdopodobieństwo wystąpienie błędów o mniejszej wartości jest większe niż błędów o wartości bezwzględnej większej,

-prawdopodobieństwo występowania błędu równego zero jest największe,

-prawdopodobieństwo wystąpienia najmniejszych błędów przypadkowych jest większe dla szeregu spostrzeżeń o wyższej mierze dokładności.

Wskaźniki dokładności pomiaru

Możemy wyróżnić nastepujące wskaźniki dokładność pomiaru:

-błąd średni m

-błąd przeciętny (δ)

-błąd prawdopodobny μ (mi)

-błąd graniczny m_gr

-błąd względny m_w

Podstawowym wskaźnikiem dokładności pojedynczego pomiaru jest błąd średni m (odchylenie standardowe) opisany następującym wzorem:

m=$\sqrt{\frac{\lbrack\text{εε}\rbrack}{n}}$

ε-błąd prawdziwy

n-liczba pomiarów

Charakterystyki dokładności pomiaru można dokonać na podstawie błędu przeciętnego małedelta jako średniej arytmetycznej z wartości bezwzględnych

δ =$\frac{\lbrack\left| \text{εε} \right|\rbrack}{n}$

Rzadziej stosowanym wskaźnikiem dokładności pomiaru jest błąd prawdopodobny μ, czyli bład, którego prawdopodobieństwo występowania wynosi 0,5.

Dla potrzeb praktycznych została ustalona granica wartości błędów przypadkowych w postaci błędu granicznego mgr, który stanowi dopuszczalną wartość błędu przypadkowego dla danego szeregu pomiarów. Najczęściej przyjmuje się:

m_gr=3m

Błąd względny m_w jest to stosunek liczbowy bezwzględnej wartości błędu (najczęściej średniego) do mierzonej wartości, np.

M_w=$\frac{m_{d}}{d}$

Pojęcie i zasady wyrównania

-Zadaniem procesu równania jest wyznaczenie możliwie, najdokładniejszych poszukiwanych wartości. Wyrównanie może mieć miejsce tylko wówczas gdy mamy pomiary nadliczbowe (np. dwukrotnie pomierzona jedna odległość).

-Proces wyrównania jest wyrażony przez związek:

L_i+v_i=f_i(x,y,z,…)

l-wartość pomierzona

v-poprawka

x,y,z-niewiadome

-Wyniki pomiaru l_i różnią się od wartości prawidziwej X o błąd prawdziwy ε_i wg zależności

X=l_i+ε_i

czyli dla n pomiarów otrzymamy

X=l₁+ε_i

X=l₂+ε₂

X= l_n+ε_n

-Poniważ wartość prawdziwa X nie jest znana w praktyce stosujemy wartość najbardziej prawdopodobną $\overset{\overline{}}{X}$ oraz poprawkę V. Dla n pomiarów otrzymamy ostatecznie:

$\overset{\overline{}}{X}$=l₁+v₁

$\overset{\overline{}}{X}$=l₂+v₂

$\overset{\overline{}}{X}$=l_n+v_n

-Warunkiem podstawowym dla otrzymania wartości najbardziej prawdopodobnej jest warunek:

[v v]=min

gdy spełnimy ten warunek to okaże się, że wartością najbardziej prawdopodobną jest średnia arytmetyczna.

-Udowodnienie, że średnia arytmetyczna jest wartością najbardziej prawdopodobną.

[v v]=min

V=x (z daszkiem na górze) – l v₁

F([v v])=(x-l₁)²+(x-l₂)²+…+(x-l_n)²

Warunek koneiczny do istnienia extremum

f’(x)=0

f’(x)>0

Pojecie i zasady wyrównania

Wyrównanie spostrzeże jednakowo dokładnych – wykonanych przez tego samego obserwatora, tym samym sprzętem w takich samych warunkach.

-błąd średni typowego spostrzeżenia:

m₀=$\sqrt{\frac{\mathbf{\lbrack vv\rbrack}}{\mathbf{n - 1}}}$

n – iczba obserwacji

v=x(z kreską)-l

v-poprawka

x(z kreską) – wartość najbardziej prawdopodobna

l-wartość obserwowana

-błąd średni wartości najbardziej prawdopodobnej:

m_x=$\sqrt{\frac{\mathbf{\lbrack}\mathbf{\text{vv}}\mathbf{\rbrack}}{\mathbf{n}\mathbf{(}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}}$

Przykład:

Pewną odległość pomierzono 3 razy I uzyskano wyniki:

d₁=75,85m

d₂=75,83m

d₃=75,8m

Obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną, błąd średni typowego spostrzeżenia oraz błąd średni wartości najbardziej prawdopodobnej.

x=[l]/n=75,82(6)=75,83

v=x-l

v1=x-l1==75,83-75,85=-0,02

v2=x-l2==75,80-75,80=0

v3=x-l3=75,83-75,8=0,03

v1v1=0,0004m

v2v2=0

v3v3=0,0009m

[vv]=0,0013m

M₀=+-sqrt[vv]/n-1==-sqrt0,0013/2

M0=+-0,025+-0,02m

Mx=+-sqrt([vv]/n(n-1)=sqrt(0,0013/6)

Mx=+-0,015=+-0,02m

Zależność między m₀ a m_x

M_x=+-sqrt([vv]/n(n-1)=+-m₀/sqrt(n)

M₀=+-sqrt([vv]/n-1

Prawo przenoszenia się błędów średnich

Y=f(x₁,x₂,…x_n)

n_y=+-sqrt( (dy/dx₁)²m_x1²+(dy/dx₂)m_x2+…+(Dy/dxn)²mx_n²

Przykład 1:

Pomeirzono bok kwadratu. A=21,71m z błędem m_a=2cm. Obliczyć pole kwadratu oraz błąd średni pola.

P=a²=…

Y f(x,..n)

Mp=+- sqrt( (dp/da)²ma²= sqrt(2a)²

Przykład 2:

Obliczyć współrzędne pkt. Nr 2 oraz błędy średnie współrzędnych mając dane:

X2=?

Y2=?

Mx2=?

My2=?

X1=100

Y1=100

D12=120,75+-5

A12=120,7520^g=10’’

Deltax12=x2-x1 -> x2=x1+deltax12 = x1d12cosA12

Deltay12=y2-y1 -> y2=y1+deltay12 = y1+d12sinA12

Mx₂=+-sqrt( (dx2/dd12)²m_d12+(dx2/dA₁₂)² * (mA₁₂/ro)² )

Mx2=+- sqrt( (cosA₁₂)²md₁₂²+(d12sinA₁₂)²(ma/ro^g)² )

My2=+-sqrt( (1)²+(sinA₁₂)²md₁₂²+(d₁₂cosA₁₂)² * (m_A12/ro^g) ) ?

WYKŁAD 5

POMIARY LINIOWE I POMIARY KĄTOWE

Niezależnie od wykorzystywanych instrumentów przy pomiarach w terenie każdy pomiar składa się z dwóch etapów:

-założenie i pomiar osnowy geodezyjnej

-pomiar szczegółów

Osnowy geodezyjne dzielą się na:

-Osnowa pozioma – wzajemne położenie punktów na powierzchni odniesienia zostało okreslone w przyjętym układzie współrzędnych geodezyjnych.

-Osnowa wysokościowa – wysokości punktów zostały określone względem przyjętego poziomu odniesienia.

Osnowy geodezyjne ze względu na dokładność wyznaczania współrzędnych lub punktów osnowy dzielą się na:

-osnowy podstawowe

-osnowy szczegółowe

-osnowy pomiarowe

a) ciąg poligonowy zamknięty

b,c) ciąg poligonowy otwarty obu stronnie wiązany

b) K,M,M,N,L – znana WSP. (x,y)

1,2,3 – punkty wyznaczone

c)N,M – znane WSP(x,y)

1,…,4 – punkty wyznaczone

Sposób założenia i pomiaru osnowy pomiarowej zależy od:

-rodzaju pracy jaką należy wykonać,

-wielkości obszaru,

-szczegółowości pomiaru,

-wymaganej dokładności opracowania,

-posiadanego sprzętu geodezyjnego.

Pomiar szczegółów zależy od dokładności jaką należy uzyskać przy wykonywaniu pomiaru szczegółów instrukcji (O-1 i O-2) szczegóły sytuacyjne zostały podzielone na trzy grypy dokładnościowe.

Grupa I (obiekty łatwe do zidentyfikowania, zachowujące wieloletnią trwałość):

-znaki graniczne: granice państwa, jednostek podziału administracyjnego działek,

-zastabilizowane znakami naziemnymi punktów osnów geodezyjnych,

-budynki, budowle u urządzenia techniczne (mosty, wiadukty, tunele, tory kolejowe itp.)

-elementy naziemne sieci uzbrojenia terenu, studnie i szczegóły uliczne (krawężniki, lampy, słupy, pomniki, ogrodzenia trwałe).

Grupa II (obiekty o mniej wyraźnych i mniej trwałych konturach):

-niestabilizowane punkty załamania granic działek,

-budowle ziemne (nasypy, wykopy, rowy, wały),

-elementy podziemne sieci uzbrojenia terenu,

-zieleń miejska i przyuliczna oraz boiska sportowe i pomniki przyrody.

Grupa III (obiekty o niewyraźnych obrysach):

-użytki gruntowe, kontury klasyfikacyjne, podwodne elementy sieci uzbrojenia terenu,

-cieki i wody stojace,

-odziały leśne w Lasach Państwowych,

-punkty wysokości naturalnej terenu (pikiety),

-inne obiekty, które można zidentyfikować z dokładnością nie mniejszą niż 0,50m.

Dopuszczalny błąd położenie punktów przy pomiarze wg instrukcji G-4:

Obiekty grupy dokładnościowej	I	II	III
Błąd położenie punktu [m]	<0,10	<0,30	<0,50

Pomiary długości

Pomiar odległości w terenie wykonuje się w celu określenia poziomej odległości pomiędzy wybranymi punktami.

// rys. trójkąta

D – odl. poz.

Dp – odl. przestrzenna

Zależność pomiędzy odległością poziomą, a odległością przestrzenną przedstawia się następująco:

D=d_pcos*alfa

Gdzie alfa… i chuj, przerzuciła…

Pomiary długości możemy podzielić na:

-pomiary bezpośrednie – polegające na zastosowaniu dalmierzy lub wielokrotnym odkładaniu przymiaru (taśmy stalowej, ruletki) wzdłuż mierzonego odcinka

-pomiary pośrednie – polegające na mierzeniu niektórych wielkości i na tej podstawie wyznaczeniu, na podstawie zależności geometrycznej, odległości.

Bezpośredni pomiar odległości

Współcześnie do bezpośrednich pomiarów odległości służą dalmierze elektroniczne. Możemy wyróżnić następujące rodzaje dalmierzy:

-dalmierze świetlne, które w zależności od sposobu pomiaru czasu dzielą się na:

-dalmierze fazowe,

-dalmierze impulsowe,

-dalmierze elektromagnetyczne, wykorzystujące znajomość prędkości rozchodzącej się fali.

W geodezji powszechnie stosowane są dalmierze świetlne, wykorzystujące do pomiaru światło widzialne i z zakresu bliskiej podczerwieni.

Dalmierz świetlny składa się z instrumentu (ustawionego nad punktem początkowym mierzonego odcinka) oraz pryzmatu (ustawionego na punkcie końcowym mierzonego odcinka)

Instrument wysyła strumień światła (falę elektromagnetyczną), która odbija się od pryzmatu i kieruje się do instrumentu jako fala retransmitowana.

Bezpośredni pomiar odległości

Mierzona długość jest obliczana jako pewna liczba połówek fali oraz pewna końcówka (przesunięcie fazowe):

D=n*lambda/2+R*lambda/2

lambda – dł. Fali elektromagnetycznej

n – całkowita liczba połówek fali

R – przesunięcie fazowe (0<R<1)

Czynności odczytów przesunięć fazowych, zmian długości fali i obliczenie poziomej odległości są wykonywane automatycznie, a wynik jest wyświetlany w specjalnym polu ekranu odczytowego.

Dokładność pomiaru dalmierzem elektronicznym wynosi:

-od +/-(1mm+1mm/km) do +/-(5mm+5mm/km)

| \

Stała wartość błędu wartość błędu zależna od mierzonej odległości

Zasięg pomiaru odległości przy jednym lustrze od 0,7 do 7km.

Do pomiaru odległości możemy również wykorzystać:

-taśmę stalową,

-ruletkę geodezyjną,

-drut inwarowy.

Korzystając z wymienionych przyrządów należy pamiętać aby pomierzyć odległość poziomą:

Jeżeli kąt pochylenia terenu zmienia się wzdłuż mierzonej linii to należy zmierzyć długości odcinków o jednostajnym pochyleniu i zredukować każdy odcinek do poziomu wg zależności d=d_pcos(alfa)

d-odl. pozioma

d_p-odl. skośne

// rysunek

Jeżeli w terenie występują drobne i liczne pochylenia terenu stosuje się tzw. Pomiar metodą schodkowa, czyli taśmę naciąga się pionowo i rzutuje jej koniec za pomocą pionu sznurkowego.

D=nd+x

Do bezpośredniego pomiaru odległości można wykorzystać optyczny pomiar odległości za pomocą dalmierza jednoobrazowego, w który zaopatrzona jest każda luneta geodezyjna.

Do optycznego pomiaru odległości używa się:

-dalmierzy optycznych

-łat geodezyjnych.

Odległość w dalmierzu optycznym obliczamy jako:

d=kl+c

k-stała mnożenia k=100

c-stała dodawania c=0

l-różnica odczytów kreski tórnej i dolnej l=g-d

Obliczyć odl. zmierzoną dalmierzem optycznym jeżeli g=1274mm, d=1071mm

D=kl+c=100(1274-1071)+0==20300mm=20,3m

albo, jeżeli luneta nie jest w poziomie i znamy kąt pionowy alfa:

D=(kl+c)cos²alfa

//rysunek prawie tak sam jak w przyp dalemierza (wyżej)

Do pośrednich pomiarów odległości możemy zaliczyć:

-proste sposoby geometryczne i trygonometryczne

-sposób paralaktyczny

Metody geometryczne – polegają na pomiarze linii pomocniczych, przy czym można do odłożenia kąta prostego wykorzystać węgielnicę oraz stosować do obliczenia odległości znane proste wzory z geometrii (np. twierdzenie Talesa, twierdzenie Pitagorasa).

Metody trygonometryczne – poszukiwaną odległość wyznacza się na podstawie zmierzonych elementów liniowych i kątowych, wykorzystując zależności trygonometryczne występujące w dowolnym trójkącie

Metoda paralaktyczna – polega na wyznaczeniu szukanego odcinka d za pomocą krótkiej stałej bazy b oraz zmierzonego małego kąta poziomego epsilon, zgodnie ze wzorem:

d=b/2 * ctg * epsilon/2

Pomiary kątów

W geodezji pomiarowi podlegają nastepujące kąty:

-kąt poziomy alfa – jest to kąt zawarty pomiędzy rzutami dwóch kierunków na płaszczyznę poziomą

-kąt pionowy v-kąt zawarty w płaszczyźnie pionowej pomiędzy płaszczyzną poziomą a osią celową (0^g<v<+/-100^g),

-kąt zenitalny (odległość zenitalna) z –kąt zawarty pomiędzy osią pionu a osią celową (0^g<z<200^g),

z=100^g-v

Kąty pionowe i kąty zenitalne

Do pomiarów kątów poziomych i pionowych służą:

-teodolit

-współcześnie stosuje się tachimetry elektroniczne.

INSTRUMENTY GEODEZYJNE

WYKŁAD 6

Każdy instrument geodezyjny jest wyposażony w dwa podstawowe elementy:

-libelle:

-pudełkowa

-rurkowa

-luneta geodezyjna

Libelle są to urządzenia służące do poziomowania płaszczyzna i prostych. Mamy libelle rurkowe (bardziej dokładne) i pudełkowe (mniej dokładne). Libelle są napełniane rozgrzanym eterem lub alkoholem. Płyny te po ostygnięciu utworzą pęcherzyk z pary, który jako lżejszy od płynu zajmuje zawsze najwyższy punkt libelli.

Przewaga libelli _tau – jest to kąt środkowy o który wychyli się oś libelli przy przesunięciu libelli o jedną działkę długości.

Tau=k/R*p^g

Luneta - jest przyrządem służącym do precyzyjnego celowania do odległych przedmiotów. Składa sięz dwóch podstawowych zespołów optycznych:

-obiektwu i okularu

W instrumentach geodezyjnych stosowane są lunety astronomiczne z soczewką ogniskującą.

Soczewka ogniskująca – stanowi wspólnie z obiektywem jeden system o ogniskowej wyrażonej wzorem:
f_s=(f₁f₂)/(f₁+f₂-e)

F_s-ogniskowa soczewki (obiektywu i soczewki)

F₁-ogniskowa obiektywu

F₂ – ogniskowa soczewki ogniskującej

e-odległość między obiektywem a soczewką ogni

Lunetę geodezyjną charakteryzują następujące cechy:

-powiększenie,

-jasność,

-pole widzenia,

-granice rozdzielczości.

Powiększenie lunety jest to stosunek liczbowy kąta widzenia obrazu przedmiotu przez lunetę do kąta widzenia tegoż przedmiotu gołym okiem. W uproszczeniu wzór przyjmuje postać:

P=f_ob/f_ok

f_ob-ogniskowa obiektywu

f_ok-ogniskowa okularu

P-powiększenie 16<P<64 razy

Jasność lunety jest to stosunek liczbowy ilości światła z obrazu przedmiotu uzyskanego przez lunetę do ilości światła emitowanego przez przedmiot, wyrażony wzorem:

J=0,85* R²/r²P²

0,85 – współczynnik przepuszczalności lunety

R- promień czynnego otworu obiektywu

r-promień źrenicy oka (średnio 1,1mm)

P – powiększenie lunety

Pole widzenia epsilon jest to kąt rozwarcia powierzchni stożkowej, której osią jest oś celowa instrumentu. Pole widzenia jest proporcjonalne do powiększenia i waha się w granicach od 1^o do 2^o.

Epsilon w przyl.= 2300/P

Granica rozdzielczości w(omega) lunety jest najmniejszym kątem pod jakim oko ludzkie widzi przez lunetę dwa bardzo bliskie punkty jako rozdzielne. Granica rozdzielczości wyrażona jest wzorem:

w(omega)=100^cc/P

Do najczęściej stosowanych w praktyce instrumentów geodezyjnych należą:

-niwelator

-teodolit

-tachimetr elektroniczny

Niwelator jest urządzeniem, które realizując poziomą oś celową pozwala na wuznaczenie różnicy wysokości pomiędzy dwoma punktami, na podstawie odczytów wykonanych na łatach ustawionych pionowo na tych punktach.

W zależności od systemu konstrukcyjnego pozwalającego doprowadzić oś celową do poziomu, niwelatory dzielą się na:

-niwelatory libellowe

-niwelatory automatyczne

-niwelatory cyfrowe

-niwelatory laserowe.

Ze względu na dokładność wyznaczenia różnicy wysokości niwelatory dzielą się na:

-niwelatory techniczne

-niwelatory precyzyjne

Do zasadniczych części niwelatora automatycznego należą:

-luneta

-libella pudełkowa

-alidada

-spodarka

-urządzenie odczytowe

Luneta służy do celowania na łatę i wykonywania na nich odczytów położenia osi celowej. Luneta opiera się na alidadzie którą można obracać wokół osi pionowej zwanej osią obrotu niwelatora.

Na alidadzie umieszczona jest libella pudełkowa służąca do przybliżonego poziomowania osi celowej.

Do połączenia niwelatora ze statywem za pomocą śruby sercowej służy spodarka. Na spodarce umieszczone są śruby nastawcze (ustawcze), za pomocą których doprowadzamy libellę pudełkową do górowania.

Istotnym elementem niwelatorów automatycznych jest kompensator, wbudowany pomiędzy soczewką ogniskującą a siatką kresek. Pozwala on na wykonanie odczytu odpowiadającego poziomej osi celowej lunety przy lunecie wychylonej w stosunku do poziomu o pewien nie wielki kąt.

Schemat działania kompensatora w niwelatorze automatycznym:

-oś celowa w poziomie

-oś celowa niepoziomowana, brak kompensatora

Rysuneczek…

-działanie kompensatora – wprowadzenie promienia poziomego na kreskę środkową

Rysuneczek…

Z rysunków wynika wniosek, że aby spoziomować oś celową wychyloną o mały kąt alfa, musi być spełniona zależność:

AA’=falfa=sbeta

Z powyższego otrzymamy:

Beta=f/s * alfa

Przy czym stosunek liczbowy f/s jest współczynnikiem kompensacji, którego wartość jest stała dla danego niwelatora i zależna od jego konstrukcji.

!WAŻNE KURCZE!

Pomiar różnicy wysokości będzie poprawny jeżeli niwelator będzie spełniał następujące warunki osiowe:

-oś obrotu instrumenty powinna być prostopadla do płaszczyzny głównej libelli pudełkowej

-dokładne kompensowanie pochylenie osi celowej

-prawidłowe działanie kompensatora w zasięgu kompensacji.

!KONIEC WAŻNEGO!

Sprawdzenie warunków osiowych w niwelatorze automatycznym.

Ad.1

1) poziomujemy niwelator

2) obrót alidady o 180^o

3) obserwacja libelli:

- jeżeli libella pozostaje w górowaniu warunek jest spełniony

-jeżeli libella wyszła z górowania warunek nie jest spełniony.

Ad.2

1) obieramy 2 pkt. odległe o max. 50m (ważne żeby były w terenie płaskim)

2) na punktach ustawiamy łaty niwelacyjne

3) na środku odcinka AB ustawiamy niwelator

4) poziomujemy niwelator

5) wykonujemy odczyty na łatach (w1, p1)

6) obliczamy deltah1=w1-p1

7) przenosimy niwelator pod łatę „w przód” (2-3m od łaty)

8) przenosimy niwelator

9) wykonujemy odczyt na łatach (w2, p2)

10) obliczamy deltah2=w2-p2

11) warunek jest spełniony jeżeli |deltah1-deltah2|<_2mm

Ad.3

1) ustawiamy niwelator w pkt. A i poziomujemy go

2) obracamy alidadę, tak aby jedna ze śrub nastawczych znajdowała się pod lunetą

3) ustawiamy łatę na pkt. B, w odległości ok. 50m, tak aby była widziana przez lunetę.

4) za pomocą śruby s2 wychylam pęcherzyk libelli w skrajne położenie

5) wykonujemy odczyt na łacie (p1)

6) za pomocą śruby s2 przesuwam pęcherzyk libelli w drugie skrajne położenie

7) wykonujemy odczyty na łacie (p2)

8) warunek jest spełniony jeżeli |p1-p2|<_2mm

Teodolit – urządzenie służące do pomiaru kątów poziomych i pionowych, W zależności od dokładności pomiaru teodolity dzielimy na:

-precyzyjne (dokładność odczytu >_ 2^cc)

-techniczne (dokładność odczytu <_10^cc)

Do zasadniczych części konstrukcyjnych teodolitu należą:

-spodarka

-limbus (koło poziome)

-alidada

-luneta

-koło pionowe

-libelle: pudełkowa i rurkowa

Za pomocą śruby sercowej mocujemy spodarkę teodolitu na statywie. Na spodarce osadzony jest limbus, na którym wykonujemy odczyty pomierzonych kierunków. Obrót lunety o 180^o nazywamy obrotem przez zenit, przy czym luneta przechodzi wówczas z położenia I (koło pionowe po lewej stronie lunety do położenia II (koło pionowe po prawej stronie lunety).

W prawidłowo działającym instrumencie muszą być spełnione następujące warunki przez układ osiowy:

-warunek libelli – oś libelli powinna być prostopadła do osi obrotu instrumentu (I prostopadłe do O )

-warunek kolimacji – oś celowa lunety powinna byś prostopadła do osi obrotu lunety (c prostopadła do h)

-warunek inklinacji – oś obrotu lunety powinna być prostopadła do osi obrotu instrumentu (h prostopadłe do o )

Gdy są niespełnione warunki 2 i 3 mówimy o występowaniu błędu kolimacji lub inklinacji.

TEODOLIT:

Sprawdzenie warunku kolimacji:

-ustawiamy teodolit i poziomujemy go

-celujemy na odległy i wyraźny punkt

-wukonujemy odczyt na kole poziomym O₁

-obracamy alidade o 180^o i lunetę przez zenit

-ponownie celujemy na ten sam punkt i wykonujemy odczyt na kole poziomym O₂

-warunek jest spełniony jeżeli:

(O₂-O₁)-200^g<=m_alfa

m_alfa – bląd pomiaru pojedynczego kąta

Sprawdzenie warunku inklinacji:

-ustawiamy teodolit i poziomujemy go, na wysokości osi celowej kładziemy łatę

-celujemy na wysoki punkt, opuszczamy lunetę i wykonujemy odczyt O₁

-obracamy alidadę o 180^o i lunetę przez zenit

-ponownie celujemy na ten sam punkt, puszczamy lunetę na łatę i wykonujemy odczyt O₂

-warunek jest spełniony jeżeli:

|O₁-O₂|<=2mm

Tachimetr

Współczesną formą teodolitu jest instrument wykonujący dokładny pomiar długości i kątów czyli tachimetr elektroniczny nazywany też stacją pomiarową,

Budowa tachimetru jest zbliżona do budowy teodolitu.

Budowa tachimetru jest zbliżona do budowy teodolitu. Tachimetr dodatkowo posiada:

-wbudowany dalmierz

-klawiaturę numeryczną

-system odczytowy w postaci wyświetlacza

Warunki osiowe tachimetru są identyczne jak warunki osiowe w teodolicie.

Pomiar kąta poziomego

Możemy wyróżnić następujące metody pomiaru pojedynczego kąta poziomego:

-metoda kątowa,

-metoda kierunkowe,

-metoda repetycyjna.

Metoda kątowa:

-ustawiamy tachimetr na stanowisku (centrujemy, poziomujemy)

-nacelowanie na sygnał ustawiony na lewym punkcie

-wykonanie odczytu na kole poziomym O_L’

-nacelowanie na sygnał ustawiony na prawym punkcie

-wykonanie odczytu na kole poziomym O_p’

Kontrola:

-obót lunety przez zenit i alidady o 180^o

-nacelowanie na sygnał ustawiony na lewym punkcie

-wykonanie odczytu na kole poziomym O_L’’

-nacelowanie na sygnał ustawiony na prawym punkcie

-wykonanie odczytu na kole poziomym O_P’’

-obliczenie wartości kąta alfa:

alfa’=O_P’-O_L’

alfa’’= O_P’’-O_L’’

alfa=(alfa’+alfa’’)/2

POMIARY WYSOKOŚCIOWE

WYKŁAD VII

Pomiary wysokościowe to zespół czynności mający na celu wyznaczenie wysokości (H) lub różnicy wysokości (h) punktów znajdujących się na powierzchni Ziemi.

Wysokość punktu (H) jest to odległość tego punktu od średniego poziomu mórz i oceanów, mierzona wzdłuż linii pionu przechodzącej przez ten punkt wyrażona [m].

Dla obszaru państwa polskiego przyjęto za średni poziom mórz i oceanów poziom Morza Bałtyckiego w Kronsztadzie w Zatoce Fińskiej. Od wysokościach wyznaczonych od tego poziomu mówimy, że są w układzie państwowym.

Każde państwo na swoim obszarze ma złożoną sieć punktów – geodezyjną osnowę wysokościową. Punkty tej sieci noszą nazwę reperów niwelacyjnych.

Niwelacja – jest to pomiar różnicy wysokości pomiędzy dwoma punktami. Możemy wyróżnić następujące metody niwelacji:

-niwelacja barometryczna,

-niwelacja trygonometryczna,

-niwelacja geometryczna,

-niwelacja metodą GPS.

Niwelacja barometryczna polega na określeniu różnicy wysokości pomiędzy dwoma punktami na podstawie pomiaru ciśnienia atmosferycznego na tych punktach. Dokładność tej metody niwelacji 2-3m, stosowana na terenach górskich przy dużych różnicach wysokości.

Niwelacja trygonometryczna polega na określeniu różnicy wysokości jako przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, w którym zmierzono kąt ostry alfa oraz jeden z boków przyległych do tego kąta d lub d_P

Niwelacja geometryczna – polega na pomiarze różnicy wysokości z zastosowanie niwelatora oraz łat niwelacyjnych. Dokładność niwelacji w zależności od zastosowanej metody 1-5mm.

Niwelacja metoda GPS – wyznaczenie wysokości danego punktu na podstawie pomiarów GPS, dokładność tej metody niwelacji 2-3cm.

Niwelacja geometryczna:

Wyróżniamy nastepujące metody niwelacji:

-niwelacja metodą w przód

-niwelacja metodą ze środka

// przedstawić rysunki, wzory, omówić dokładność poszczególnych metod niwelacji geometrycznej.

Istotne znaczenie na wyniki niwelacji ma krzywizna Ziemi i zjawisko refrakcji.

// Rysunek…

Poprawka z tytułu krzywizny Ziemi v przyjmuje postać:

V=d²/2R

Zależność poprawki v od odległości d

d[m]	50	100	200	500	1000	10000
v[m]	0,2	0,8	3,1	20,0	78,0	7850,0

Poprawka z tytułu refrakcji (zmiana przebiegu promienia na skutek różnej gęstości warstw powietrza) v’ przyjmuje postać:

v=k*(d²/2R)

k-wsp. Refrakcji

k=0,13

zależność poprawki v’ od odległości d

d[m]	50	100	200	500	1000	10000
v[m]	0,03	0,1	0,4	2,6	20,2	102

Jeżeli dokładność odczytu na łacie wynosi 1mm, to granica tolerancji błędów z tytuły krzywizny Ziemi i refrakcji wynosi 0,5mm. Taką tolerancję uzyskuje się dla odległości celowej d nie przekraczającej 75m.

Dlatego celowe na stanowisku niwelacyjnym nie powinny być dłuższe niż 50m.

16-05-2011

W zależności od potrzeb terenowych można wykonać następujące rodzaje niwelacji:

-niwelacja podłużna – pomiar wzdłuż linii, nazywany również ciągiem niwelacyjnym;

-niwelacja powierzchniowa – wykonywa na pewnym obszarze.

W celu wyznaczenia wysokości punktów zlokalizowanych w dowolnej odległości od punktu, którego wysokość jest znana (reper), zakładamy ciągi niwelacyjne (niwelacja podłużna).

Ciągi niwelacyjne składają się z n liczby stanowisk niwelatora, na których wykonywany jest pomiar różnicy wysokości metodą ze środka.

Niwelacja podłużna ciągi niwelacyjne

Wyróżniamy następujące rodzaje ciągów:

-ciąg niwelacyjny otwarty obustronnie nawiązany,

-ciąg niwelacyjny zamknięty,

-ciąg niwelacyjny wiszący.

Ciąg niwelacyjny otwarty obustronnie nawiązany

W ciągu niwelacyjnym otwartym teoretyczna suma różnic wysokości jest równa:

W ciągu niwelacyjnym otwartym praktyczna suma różnic wysokości jest równa:

Gdzie: delta h_i – pomierzone różnice wysokości

Dopuszczalna różnica (dopuszczalny błąd pomiaru), nazywamy odchyłką dopuszczalną, pomiedzy praktyczną a teoretyczną przewyższeń wynosi: f∆h_dop=3m$\sqrt{n}$ m-błąd odczytu na lacie = 1mm

n-liczba stanowisk niwelatora

0415,5=0416

0414,5-0414

Ciąg niwelacyjny zamknięty

W ciągu niwelacyjnym zamkniętym początek i koniec niwelacji jest w tym samym punkcie dlatego teoretyczna suma różnica wysokości jest równa:

∑∆h_t=0

W ciągu niwelacyjnym zamknietym praktyczna suma różnic wysokości jest równa:

∑∆h_p =$\sum_{i = 1}^{n}{h_{i}}$

Odchyłka dopuszczalna obliczana jest ze wzoru:

f_rz = ∑hp − ∑ht

Wyrówanie ciągu zamkniętego zodbywa się tak jak w ciągu otwartego obustronnie nawiązanego z tą różnicą, ze suma teoretyczna przewyższań:

∑ delta h_t=0 ciąg zamknięty

∑ delta h_t= H_RpK – H_RpP ciąg otwarty obustronnie nawiązany

Ciąg niwelacyjny wiszący

Nie ma możliwości sprawdzenia poprawności pomiarów ciągu wiszącym. Nie powinine być dłuższy niż 200m i nie więcej niż 2 stanowiska niwelatora.

Niwelacja powierzchniowa

Niwelacja powierzchniowa wykonywana jest w celu pozyskania danych o ukształtowaniu rzeźby terenu, W tym celu wyznacza się wysokość i położenie wszystkich punktów charakterystycznych na mierzonym terenie Gęstość wyznaczenia tych punktów zależy od rzeźby terenu i wymagań dokładnościowych, Odległość pomiędzy punktami wynosi ok. 40-50m lub mniej.

Do punktów charakterystycznych podlegających pomiarowi należą:

-najwyższy i najniższy punkt terenu,

-punkty linii szkieletowych,

-punkty na załamaniach spadków.

Wyróżniamy następujące metody niwelacji powierzchniowej:

-metoda siatki kwadratów

-metoda punktów rozproszonych

-metoda profili podłużnych i poprzecznych

Niwelacja metodą siatki kwadratów jest stosowana w terenach płaskich, przeznaczonych pod budowę boisk, lotnisk. Osnowa w postaci siatki kwadratów stanowi podstawę do pomiarów wysokościowych i sytuacyjnych charakterystycznych punktów terenu, a także do wniesienia projektu w teren.

Wytyczenie siatki kwadratów ma następujące etapy:

-wytyczenie linii AB, na której w przyjętych odległościach wbija się paliki,

-w punktach A i B wytyczenie prostopadłych A1, A4, B2, B3 i w przyjętych odległościach stabilizacja punktów,

-następnie wyznacza się i stabilizuje za pomocą palików pozostałe punkty siatki,

-dowiązanie siatki do reperów niwelacji państwowej, lub nie gdy wystarczą nam wysokości w układzie lokalnym,

-niwelacja metodą ze środka wszystkich punktów siatki,

-obliczenie wysokości punktów siatki,

-sporządzenie mapy przedstawiającej rzeźbę terenu oraz wykonanie innych obliczeń (np. obliczenie objętości mas ziemnych, obliczenie spadków).

Osnowa w postaci siatki kwadratów powinna:

-obejmować obszar nieco większy niż powierzchnia lokalizowanego obiektu,

-być dopasowana do kształtu lokalizowanego obiektu,

-boki kwadratów mogą mieć długość 10-50m lub większe w zależności od przeznaczenia i ukształtowanie terenu.

-na powierzchni pojedynczego kwadratu spadek powinien być jednostajny,

-jeden z boków całej siatki powinien być równoległy do kierunku spadku lub kierunku najważniejszej linii tyczonego obiektu.

Niwelacja metodą punktów rozproszonych jest wykonywana na terenach o niewielkich spadkach, dużych obszarowo, na których założenie siatki kwadratów jest zadaniem bardzo pracochłonnym.

stanowiska niwelatora muszą posiadać wysokości wyznaczone w układzie państwowym lub lokalnym.

Wykonując niwelację powierzchniową metodą punktów rozproszonych powinniśmy:

-założyć osnowę tak, aby celowe na stanowisku nie były większe niż 150m,

-odległość między stanowiskami niwelatora nie powinna przekraczać 200m,

-punkty osnowy utrwalamy w terenie za pomocą palików wbitych równo z ziemią,

-stanowiska zakładamy tak, aby była wzajemna wizura pa miedzy punktami.

-mając wyznaczoną osnowę przystępujemy do niwelacji punktów charakterystycznych terenu:

-niwelator ustawiamy nad punktem osnowy

-łatę nad sąsiednim punktem i wykonujemy tzw. nawiązanie

-następnie wykonujemy pomiar na łaty wystawione na charakterystycznych punktach terenu (pikiety) odczytując wszystkie kreski krzyża kresek,

S – wyznaczamy wysokość pikiety

g,d – wyznaczamy odległość od stanowiska do pikiety

-przez cały czas pomiaru prowadzimy szkic polowy.

Podczas wykonywania prac inżynierskich często spotyka się na zagadnienie tyczenia linii jednostajnego spadku. Tyczenie linii jednostajnego spadku ma zastosowanie przy:

-budowie kanałów,

-układania przewodów rurowych,

-budowie pasów transportowych,

-budowie pochylni.

Spadek linii i jest to stosunek liczbowy różnicy wysokości delta hab. Pomiędzy dwoma punktami od odległości d_AB pomiędzy tymi punktami i oznacza tg kąta nachylenia linii AB od poziomu.

i=(delta h_AB)/d_AB = tg alfa

Spadek wyrażamy w procentach lub w postaci ułamka dziesiętnego.

A,B – pkt. początkowy i końcowy odcinka

1,2 – pkt. pośrodkowe

Wyznaczenie linii jednostajnego spadku przebiega w sposób nasypujący:

-ustawiamy niwelator na środku odcinka AB

-pomiar odległości od punktu początkowego A do punktów pośrednich, które będą realizowały określony spadek

-ustawienie laty na punkcie początkowym A i wykonanie odczytu wstecz W_A

-oblcizenie odczytów w przód zgodnie z zależnością:

P_i = w_A i id_Ai

-ustawiamy łaty na punktach pośrednich i podnosimy je lub obniżamy do czasu uzyskania na nich obliczonych odczytów,

-dół laty wskaże punkt realizujący zadany spadku.

TACHIMETRIA

Wykład 10

Tachimetria – jest to pomiar sytuacyjno – wysokościowy wykonywany przy zastosowaniu:

- metody biegunowej do określenia położenia sytuacyjnego punktów terenowych oraz

- niwelacji trygonometrycznej do określenia wysokości tych punktów.

Pomiar tachimetryczny musi być oparty na sieci punktów o znanych współrzędnych płaskich (x,y) oraz współrzędnych wysokościowych (H) – sieć ta nosi nazwę osnowy sytuacyjno – wysokościowej (osnowa pomiarowa).

Pierwszą czynnością przed przystąpieniem do pomiaru całego terenu jest założenie i pomiar osnowy pomiarowej.

Zasady zakładania osnowy pomiarowej:

-punkty osnowy należy zakładać tak, aby była wzajemna widoczność pomiędzy nimi,

-położenie punktów należy projektować tak, aby można było wykonać pomiar całego terenu przy celowych nie przekraczających 200m, wyjątkowo 250m.

-projektując osnowę należy zwrócić uwagę na istniejące przeszkody terenowe w postaci zadzrzewien, zabudować, wzniesień itp.

-punkty osnowy markujemy w terenie za pomocą palików drewnianych lub metalowych prętów, tak aby znajdowały się one zarówno z powierzchnią terenu,

-osnowę pomiarową należy dowiązać do osnowy państwowej wyższej klasy lub można przedstawić ją w lokalnym układzie współrzędnych (bez dowiązania),

-w celu wyznaczenia wysokości punktów osnowy pomiarowej należy wykonać ich niwelację metodą niwelacji „ze środka”, w nawiązaniu do reperów sieci państwowej,

-po wykonaniu stosownych pomiarów i obliczeń należy sporządzić szkic osnowy.

W tachimetrii określenie sytuacyjne punktów terenowych (pikiet) wykonuje się metodą biegunową. Czy wykonujemy na stanowisku pomiar dwóch elementów za pomocą tachimetru:

-kąta beta zawartego pomiędzy kierunkiem stałym (biegunowym) utworzonym przez dwa sąsiedni punkty osnowy pomiarowej

-odległości stanowiska, którym jest punkt osnowy, do pikiety

Do wyznaczenia wysokości punktów terenowych w tachimetrii stosuje się metodę niwelacji trygonometrycznej. W tym celu należy wykonać następujące czynności:

-zmierzyć wysokość instrumentu i,

-ustawić na pikiecie łatę lub tyczkę z lustrem odczytać wartość kreski środkowej s (lub zapisać wysokość lustra) oraz pomierzyć odległość od stanowiska do pikiety.

W przypadku wykonania pomiaru tachimetrem elektronicznym otrzymujemy:

-odległość poziomą d

-przewyższenie h

-kierunek poziomy β

- +Ew. kąt pionowy V

W przypadku pomiaru teodolitem otrzymujemy:

-kąt pionowy α lub kat zenitalny z

-kierunek poziomy β

Natomiast należy obliczyć:

-odległość poziomą d,

-przewyższenie h.

-odległość poziomą obliczamy jako:

d=kl cos² α=kl sin² z

-przewyższenie obliczamy jako:

h=0,5klsin2α=0,5klsin2z

k=100 stala mnożenia

l=g-d

Organizacja pomiarów terenowych przy tachimetrii:

-ustawiamy i poziomujemy instrument,

-mierzymy wysokość instrumentu, (i – wys. Instrumentu)

-zmierzyć wysokość lustra, jeżeli w trakcie pomiarów wysokość lustra ulegnie zmianie to należy to zapisać,

-zorientować kierunek poziomy na sąsiedni punkt osnowy pomiarowej, można to zrobić na dwa sposoby:

-przy dowolnym ustawieniu systemu odczytowego wycelować na punkt osnowy i zrobić odczyt kierunku poziomego oraz odległości

-wycelować na sąsiedni punkt osnowy i ustawić odczyt na 0^g00^c00^cc na systemie odczytowym.

-ustawić lustro na kolejnych charakterystycznych punktach terenowych (pikietach) i dla każdego punktu wykonać pomiar kierunku poziomego, odległości poziomej oraz przewyższenia,

-wyniki pomiarów notujemy lub rejestrujemy w pamięci instrumentu.

-przy rozstawianiu pikiet sporządzamy szkice polowe, na których należy umieścić:

-kierunek północy

-interesujące nas punkty osnowy wraz numeracją

-pikiety wraz z numeracją, pamiętając o prowadzeniu numeracji ciągłej dla całego obszaru

-rysunek teren zgodny z instrukcją K-1

-kierunki spadków terenu.

-stanowisko oraz nawiązanie

Wybrane zalecenia odnośnie wykonywania pomiarów tachimetrycznych (wg instrukcji G-4):

-odległość pomiędzy pikietami nie powinna przekraczać 50m,

-odległość celowej powinna wynosić nie więcej niż 150m,

-w dobrych warunkach atmosferycznych, przy dużym powiększeniu lunety oraz w terenie płaskim dopuszcza się przekroczenie długości celowych.

-polożenie poziome punktów określamy z dokładnością odpowiadającą grupą dokładnościowym:

-gr. I <0,10m

-gr. II<0,30m

-gr.III

-położenie wysokościowe punktów terenowych należy wyznaczyć z następującą dokładnością:

-budowle i urządzenie o konstrukcji trwałej oraz naziemne i podziemnie, mierzone przed zasypanie, elementy sieci uzbrojenia terenu 0,01m.

-budowle i urządzenia ziemne oraz podziemne elementy sieci uzbrojenia terenu mierzone wykrywaczem przewodów 0,10.

Operat pomiarowy - Zbiór dokumentów tworzonych po zakończonym pomiarze

Na podstawie pomiaru należy sporządzić operat pomiarowy, który w szczególności powinien zawierać:

-szkic osnowy pomiarowej wraz z wartościami kątów oraz pomierzonych odległości oraz zaznaczonym azymutem,

-pomiar i obliczenie współrzędnych punktów osnowy jako ciągu poligonowego zamkniętego lub otwartego. Pomiar – dziennik pomiarów kątów i…

-pomiar i obliczenie wysokości punktów osnowy jako ciągu niwelacyjnego otwartego lub zamkniętego. Pomiar – dziennik niwelacji punktów osnowy

-szkice polowe z pomiaru sporządzone zgodnie z instrukcją K-1

-wykazy współrzędnych charakterystycznych punktów terenowych (pikiet)

-mapę sytuacyjno wysokościową wykonaną zgodnie z instrukcją K-1.

POMIARY REALIZACYJNE TRAS

WYKŁAD 12

Pomiary realizacyjne tras

Tyczenie tras wykonywane jest następujących zagadnieniach związanych między innymi z budownictwem:

-drogowym,

-kolejowym,

-tunelowym,

-wodnym,

-sportowym.

Obiekty takie jak drogi, tory kolejowe, rurociągi, kanały czy trasy regulowanych rzek składają się z:

-odcinków prostych,

-łuków kołowych łączących odcinki proste,

-lub łuków o zmiennej krzywiźnie.

Każda budowla powinna być dostosowana do warunków terenowych, dlatego wykonuje się projekt wstępny na podstawie map sytuacyjno – wysokościowych w średnich skalach oraz wywiadu terenowego. Na podstawie projektu wstępnego sporządza się projekt szczegółowy.

Po sporządzeniu projektu szczegółowego następuje wyniesienie projektu w teren w następujących etapach:

-wytyczenie i stabilizacji punktów załamania osi trasy,

-wytyczenie odcinków prostych pomiędzy punktami załamania,

-pomiar kątów poziomych na punktach załamania,

-wytyczenie łuków między prostymi w miejscach załamania osi trasy,

-stabilizacji punktów hektometrowych (punktów oddalonych od siebie o 100m),

-pomiar sytuacji w terenie,

-niwelacja w celu uzyskania profilu osi trasy,

-niwelacja w celu uzyskania profilów poprzecznych.

Realizacja trasy:

-pierwszym krokiem przy wytyczaniu trasy jest wyznaczenie wszystkich odcinków prostych (wieloboku) w terenie oraz zestabilizowanie wierzchołków łuków,

-następnie przystępujemy do wyokrąglenia prostoliniowych odcinków tras za pomocą łuków kołowych lub łuków o zmiennej krzywiźnie

Elementy liniowe i kątowe łuku kołowego

Tyczenie punktów głównych przy dostępnym wierzchołku

- Ustawiamy się z tachimetrem na wierzchołku

- Celujemy na kierunek na punkcie P i odkladamy styczną t₁

- Odkładamy kąt beta (alfa + beta = 200^g) i na odłożonym kierunku… (?)

Wyznaczmay punkt środkowy S

-środek wyznaczmay odmierzając połowę kąta beta oraz odkładamy odległość WS (podac zalezność)

lub:

-stosując metodę strzałki

:

Tyczenie punktów pośrednich

-Na łuku oprócz punktów głównych należy również wyznaczyć punkty pośrednie

-odległość między nimi wynosi od kilku do kilkudziesięciu metrów w zależności od wymaganej dokładności tyczenia oraz promienia krzywizny

-punkty na łukach o dużej krzywiźnie musza być bardziej zagęszczone niż punkty na łukach o małej krzywiźnie.

:

Tyczenie punktów pośrednich metodą biegunową:

-oblcizamy wartości kąta środkowego 2fi oraz cięci c_i (podać wzory)

-ustawiamy sięz tachimetrem na punkcie P

-celujemy na wierzchołek W i odkładamy kat fi

-na odłożonym kierunku odkładamy wartość cięciwy c₁, otrzymujemy punkt pośredni nr 1

WZORY:

1) 2fi = (alfa/2)/n – n –liczba punktów pośrednich na odcinku PS

2) 2fi = alfa/n – liczba punków pośrednich na całej długości łuku

sinφ/2= (0,5*c₁)/R

0,5*c₁=R*sinφ/2

c₁ = 2R*sinφ/2

Sprawdzenie dokładności wytyczenia punktów pośrednich.

-zakładamy, że punkty pośrednie wyznaczają nam łuk z wystarczającą dokładnością wówczas, gdy k mniejsze równe |c- tau|

k-dokłądność tyczenia

c-cięciwa

tau-długość łuku

φ=tau/R

Tau = Rφ

Tau =R*($\frac{\varphi^{g}}{\text{ro}^{g}})$

C=2Rsinφ/2

Jezeli powyższy warunek nie jest spełniony to należy zwiększyć liczbę punktów pośrednich

-czynność powtarzamy tak długo dopóki warunek nie będzie spełniony.

METODY OBLICZANIA OBJĘTOŚCI MAS ZIEMNYCH

WYKŁAD 13

Roboty ziemne to wszelkie prace budowlane związane ze wznoszenie budowli ziemnych, Budowle ziemne dzielą się na czasowe i stałe.

Do budowli ziemnych zaliczamy:

-ziemne podtorza tras kolejowych i drogowych,

-ziemne zapory wodne i obwałowania rzek,

-formy powierzchni terenów zakładów przemysłowych, osiedli mieszkaniowych, lotnisk, stadionów itp.,

-kanały żeglowne i dna sztucznych zbiorników wodnych.

Budowle czasowe to przede wszystkim:

-wykopy pod obiekty budowlane.

Technologia robót ziemnych zależy od rodzaju gruntu i polega na:

-wydobyciu gruntu z wykopu,

-przemieszczeniu gruntu wydobytego na miejsce projektowanego nasypu,

-ukształtowanie nasypu.

Istotnym elementem jest minimalizacja objętości wykopów i nasypów z jednoczesnym uwzględnieniem projektowanych rzędnych terenu i spadków niwelety. W pierwszym etapie należy wykonać pomiary terenowe pozwalające na określenie współrzędnych (x,y,z) punktów terenowych.

Stosujemy następujące metody pomiarów bezpośrednich:

-niwelacja siatkowe (powierzchnie płaskie)

-niwelacja metodą punktów rozproszonych,

-niwelacja metodą profili podłużnych i poprzecznych tras,

-tachimetria (powierzchnie o urozmaiconej rzeźbie terenu).

Pojęcia podstawowe:

-powierzchni topograficzna – jest to powierzchnia określona na dyskretnym zbiorze punktów terenowych o znanych współrzędnych (x,y,z)

-linia zerowa robót ziemnych – krawędź przecięcia powierzchni topograficznej z powierzchnią projektowaną.

:

linia zerowa robót ziemnych

Metody obliczania objętości robót ziemnych:

-na podstawie siatki kwadratów,

-na podstawie trójkątów,

-na podstawie przekrojów poprzecznych,

-na podstawie wielomianu algebraicznego.

Metoda na podstawie siatki kwadratów.

-na określonym obszarze zakładamy siatke kwadratów,

-następnie obliczamy i sumujemy objętości graniastosłupów ograniczonych z jednej strony powierzchnią topograficzną, a z drugiej strony powierzchnią projektowaną

Metoda na podstawie siatki trójkątów. (dokładniejsza od poprzedniej)

-objętość pojedynczego graniastosłupa o podstawie trójkąta równoramiennego wyraża się wzorem:

V=1/6*a²(Z_A+Z_B+Z_C)

Gdzie:

a-bok kwadratu

Z_A – wysokość krawędzi graniastosłupa, jako różnica pomiędzy wysokością powierzchni topograficznej i powierzchni projektowanej w węzłach siatki

Metoda na podstawie przekrojów poprzecznych.

-stosowana przy projektowaniu tras komunikacyjnych

-metoda oparta na założeniu, że objętość bryły ograniczonej dwoma przekrojami poprzecznymi jest równa objętości graniastosłupa, którego wysokość jest równa odległości między przekrojami (d), a pole podstawy jest średnią arytmetyczną z obu powierzchni przekrojów poprzecznych (p₁, p₂, p_n).

-objętość jest obliczana nastepująco:

V=d(P₀/2+p₁+…+p_n/2)

Metoda na podstawie wielomianu algebraicznego.

-Zakładamy, że powierzchnia topograficzna jest opisana za pomocą wielomianu algebraicznego (np. 2-go stopnia).

z=a₀+a₁x+a₂y+a₃xy+a₄x²+a₅y²

-wówczas objętość bryły jest wyrażona wzorem:

Przykład.

Obliczyć objętość mas ziemnych pod budynek, którego poziom posadowienia wg projektu wynosi h₀=158,50m, oraz

Nr punktu	X[m]	Y[m]	Z[m]
1	121,50	84,50	161,35
2	146,50	84,50	160,75
3	146,50	104,50	162,21
4	121,50	104,50	160,75

-oblcizamy róznice pomiędzy powierzchnia topograficzna, a projektowaną i otrzymujemy

z-h0[m]
2,85
2,25
3,71
2,25

1) Różnica pomiędzy powierzchnią topograficzna a powierzchnią projektowaną

2) Równania opisujące

UZUPEŁNIĆ CAŁY PRZEPIS…

-opisujemy powierzchnię topograficzną wielomianem 1-go stopnia:

z-h₀=F(x,y)=a₀+a₁x+a₂y

-na podstawie czterech równań z trzema niewiadomymi obliczamy współczynniki wielomianu (MNK):

• a₀ = -1,5716

• a₁ = 0,0172

• a₂ = 0,0215

-objętość wyrazimy zatem jako

V=

Pomiary deformacji i przemieszczeń budowli i konstrukcji

Wykład 14

Deformacja obiektu lub elementu konstrukcyjnego jest to zmiana wymiarów i (lub) kształtu tego obiektu;

Przemieszczenie obiektu lub elementu konstrukcyjnego to zmiana położenia obiektu względem przyjętego wcześniej układu odniesienia.

Do pomiarów deformacji i przemieszczeń zaliczamy między innymi:

- pomiar odchylenia powierzchni od płaskości i poziomu (płyty fundamentowe, płyty stropowe)

- pomiar odchyleń powierzchni od płaskości i pozycji pionowej (ściany, filary mostów i wiaduktów)

-pomiar deformacji płyt mostowych,

-pomiar ugięcia dźwigarów,

-pomiar kształtu geometrycznego zwisu odciągów liniowych,

-pomiar odchyleń od pionu budowli i konstrukcji,

-pomiary przemieszczeń pionowych i poziomych.

-powierzchnie poziome takie jak płyta fundamentu, stropu i mostu podlegają kontroli technicznej po wykonaniu oraz w czasie eksploatacji;

-dla sprawdzenia odchylenia powierzchni od płaskości i poziomu wykonuje się pomiar niwelacyjny punktów kontrolowanych od poziomu w najniższym punkcie;

Pomiar odchylenia powierzchni od płaskości i poziomu:

-określamy rozmieszczenie punktów kontrolowanych (na rys. 1-12) wyznaczając ich współrzędne (x,y),

-ustawiamy i poziomujemy niwelator na badanym obszarze,

-wykonujemy odczyt (p_i) na łatach ustawionych na kolejnych punktach pomiarowych,

-wykonujemy obliczenie kątów epsilon_x, epsilon_y skręcenia płaszczyzny względem przyjętego układu współrzędnych oraz przesunięcia pionowego h₀ płaszczyzny aproksymującej badaną powierzchnię poziomą.

-równanie płaszczyzny aproksymującej badaną powierzchnię poziomą jest nastepujące:

h_i=epsilon_xx_i+epsilon_yy­_i+h₀

-zestawiamy macierz niezbędne do wyznaczania niewiadomych (epsilon_x,epsilon_y, h₀) metodą najmniejszych kwadratów (rozpisać macierze):

-A – macierz współczynników przy niewiadomych

-L – macierz wyrazów wolnych

-dX – macierz niewiadomych

-V – macierz poprawek

-wykonujemy opracowania graficzne