WYKŁAD IV 

 

OGÓLNE ZASADY TEORII BLĘDÓW 

 
 
 
Ogóle zasady teorii błędów 
W pracach geodezyjnych mogą występować następujące błędów 
-błędy grube, 
-błędy systematyczne, 
-błędy przypadkowe 
 
Błędy grube powstają na skutek nagłej zmiany warunków pomiaru lub nieuwagi obserwatora (np. 
czeski błąd). Dla ostatecznych wyników błędy duże nie stanowią niebezpieczeństwa, gdyż łatwo 
zostają wykryte przez porównanie pomiarów tej samej wielkości. 
 
Błędy systematyczne powstają na skutek znanych przyczyn. Jako przyczyny powstawania błędów 
należy wymienić: 
-niedokładność w budowie instrumentów pomiarowych np. błąd kolimacji lub inklinacji, 
-cechy szczególne obserwatora (błędy osobowe) np. skłonność do stałego zmniejszania/zwiększania 
odczytów, 
-nieprawidłowa regulacja przyrządu pomiarowego, 
-inne np. temperatura, refrakcja (załamanie się promienia przechodzącego przez różne ośrodki), 
boczne oświetlenie. 
 
Eliminacja błędów systematycznych polega na zastosowaniu odpowiedniej metody pomiaru, 
względnie na drodze analitycznej. 
 
Błędy przypadkowe są spowodowane przez bliżej nie określone czynniki działające stale, ze 
zmiennym nasileniem o charakterze przypadkowym. Eliminacje błędów przypadkowych nie jest 
możliwa, ponieważ nie istnieją związki funkcyjne pomiędzy wartościami błędów a przyczynami ich 
występowania. 
Nie można zatem przewidzieć z góry wpływu błędów przypadkowych na wynik pomiaru. 
Spostrzeżenia obarczone błędami przypadkowymi należy doprowadzić do wzajemnej matematycznej 
zgodności za pomocą rachunku wyrównawczego opartego na teorii błędów oraz rachunku 
prawdopodobieństwa. 
 
Rachunek prawdopodobieństwa 
Prawdopodobieństwo P zajścia zdarzenia A jest to stosunek liczby przypadków spełniających 
zdarzenie A liczby wszystkich możliwych zdarzeń.  
P=s/w 
P – prawdopodobieństwo  zajścia zdarzenia A 
s – liczba przypadków spełniających zdarzenie A 
w – liczba wszystkich możliwych zdarzeń 
 
Ze wzoru P=s/w wynika, że wartość prawdopodobieństwa zawiera się w granicach od 0 do 1. Jeżeli 
P=0 to dane zdarzenie nie występuje, jeżeli P=1 to mamy 100% pewność zajścia danego zjawiska. 
 
Przyk.1.: 
Obliczyć prawdopodobieństwo, że pobrana losowa sztuka produktu z partii o liczebności 30, z 
założeniem, że 5szt. W partii jest wadliwych, będzie bez wad. 
P=s/w=25/30=5/6 

Prawo błędow Gausa-Laplace’a 
W związku z losowym charakterem pomiarów, błędu pomiarów charakteryzują się określonym 
prawem rozkładu (rozkład normalny). Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego 
opisującego prawo rozkładu błędów przypadkowych definiuje wzór: 
 
Fi(epsilon)=h/sqrt(pi)e(-h

2

epsilon

2

)= h/sqrt(pi)e

(-h2epsilon2)

 

 

 

(???) 

h – miara dokładności związana z błędem średnim pomiaru h

2

m

2

=1/2 

epsilon – błąd prawdziwy 
m – błąd średni 
mgr – błąd graniczny 
 
Własności błędów przypadkowych 
Na podstawie krzywej prawdopodobieństwa można sformułować wnioski dotyczące własności 
błędów przypadkowych: 
-prawdopodobieństwo występowania błędów przypadkowych o różnych znakach lecz o tej samej 
wartości bezwzględnej jest jednakowe, 
-prawdopodobieństwo wystąpienie błędów o mniejszej wartości jest większe niż błędów o wartości 
bezwzględnej większej, 
-prawdopodobieństwo występowania błędu równego zero jest największe, 
-prawdopodobieństwo wystąpienia najmniejszych błędów przypadkowych jest większe dla szeregu 
spostrzeżeń o wyższej mierze dokładności. 
 
Wskaźniki dokładności pomiaru 
Możemy wyróżnić nastepujące wskaźniki dokładność pomiaru: 
-błąd średni m 
-błąd przeciętny (małe delta) 
-błąd prawdopodobny u (mi) 
-błąd graniczny m

gr

 

-błąd względny m

w

 

 
Podstawowym wskaźnikiem dokładności pojedynczego pomiaru jest błąd średni m (odchylenie 
standardowe) opisany następującym wzorem: 
 
m=sqrt([epsilon epsilon]/n 
 
epsilon-błąd prawdziwy 
n-liczba pomiarów 
 
Charakterystyki dokładności pomiaru można dokonać na podstawie błędu przeciętnego małedelta 
jako średniej arytmetycznej z wartości bezwzględnych 
 
małe delta=[epsilonepsilo]/n 
 
Rzadziej stosowanym wskaźnikiem dokładności pomiaru jest błąd prawdopodobny mi, czyli bład, 
którego prawdopodobieństwo występowania wynosi 0,5. 
 
Dla potrzeb praktycznych została ustalona granica wartości błędów przypadkowych w postaci błędu 
granicznego m

gr

, który stanowi dopuszczalną wartość błędu przypadkowego dla danego szeregu 

pomiarów. Najczęściej przyjmuje się: 

mgr

=3m 

 

Błąd względny m

w

 jest to stosunek liczbowy bezwzględnej wartości błędu (najczęściej średniego) do 

mierzonej wartości, np. 
M

w

=m

d

/d 

 
 
Ojęcie i zasady wyrównania 
-Zadaniem procesu równania jest wyznaczenie możliwie, najdokładniejszych poszukiwanych wartości. 
Wyrównanie może mieć miejsce tylko wówczas gdy mamy pomiary nadliczbowe (np. dwukrotnie 
pomierzona jedna odległość). 
-Proces wyrównania jest wyrażony przez związek: 
 
L

i

+v

i

=f

i

(x,y,z,…) 

l-wartość pomierzona 
v-poprawka 
x,y,z-niewiadome 
 
-Wyniki pomiaru l

i

 różnią się od wartości prawidziwej X o błąd prawdziwy epsilon

i

 wg zależności  

 
X=l

i

+epsilon

i 

czyli dla n pomiarów otrzymamy 
x=l

1

+epsilon

1 

x=l

2

+epsilon

2

 

x=l

n

+epsilon

n

 

 
-Poniważ wartość prawdziwa X nie jest znana w praktyce stosujemy wartość najbardziej 
prawdopodobną X (z kreską na górze) oraz poprawkę V. Dla n pomiarów otrzymamy ostatecznie: 
 
X(z kreską na górze)=l

1

+v

1 

X(z kreską na górze)=l

2

+v

2

 

X(z kreską na górze)=l

n

+v

n

 

 
-Warunkiem podstawowym dla otrzymania wartości najbardziej prawdopodobnej jest warunek: 
[v v]=min 
Gdy spełnimy ten warunek to okaże się, że wartością najbardziej prawdopodobną jest średnia 
arytmetyczna. 
 
-Udowodnienie, że średnia arytmetyczna jest wartością najbardziej prawdopodobną. 
[v v]=min 
V=x (z dszkiem na górze) – l 

 

v

1

 

F([v v])=(x-l

1

)

2

+(x-l

2

)

2

+…+(x-l

n

)

2

 

Warunek koneiczny do istnienia extremum 
f’(x)=0 
f’(x)>0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Pojecie i zasady wyrównania 
 
Wyrównanie spostrzeże jednakowo dokładnych – wykonanych przez tego samego obserwatora, tym 
samym sprzętem w takich samych warunkach. 
 
-błąd średni typowego spostrzeżenia: 
 
m

0

=sqrt([vv]/(n-1) 

n – iczba obserwacji 
v=x(z kreską)-l 
v-poprawka 
x(z kreską) – wartość najbardziej prawdopodobna 
l-wartość obserwowana 
 
-błąd średni wartości najbardziej prawdopodobnej: 
 
m

x

=sqrt([vv]/n(n-1) 

 
Przykład: 
Pewną odległość pomierzono 3 razy I uzyskano wyniki: 
d

1

=75,85m 

d

2

=75,83m 

d

3

=75,8m 

Obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną, błąd średni typowego spostrzeżenia oraz błąd średni 
wartości najbardziej prawdopodobnej. 
 
x=[l]/n=75,82(6)=75,83 
v=x-l 
v1=x-l1==75,83-75,85=-0,02 
v2=x-l2==75,83-75,80=0 
v3=x-l3=75,83-75,8=0,03 
 
v1v1=0,0004m 
v2v2=0 
v3v3=0,0009m 
[vv]=0,0013m 
M

0

=+-sqrt[vv]/n-1==-sqrt0,0013/2 

M0=+-0,025+-0,02m 
Mx=+-sqrt([vv]/n(n-1)=sqrt(0,0013/6) 
Mx=+-0,015=+-0,02m 
 
Zależność między m

0

 a m

x

 

 
M

x

=+-sqrt([vv]/n(n-1)=+-m

0

/sqrt(n) 

M

0

=+-sqrt([vv]/n-1 

 
 
 
 
 
 
 

Prawo przenoszenia się błędów średnich 
 
Y=f(x

1

,x

2

,…x

n

) 

 
n

y

=+-sqrt( (dy/dx

1

)

2

m

x1

2

+(dy/dx

2

)m

x2

+…+(Dy/dxn)

2

mx

n

2

 

 
 
Przykład 1: 
Pomeirzono bok kwadratu. A=21,71m z błędem m

a

=2cm. Obliczyć pole kwadratu oraz błąd średni 

pola. 
 
P=a

2

=… 

Y    f(x,..n) 
 
Mp=+- sqrt( (dp/da)

2

ma

2

= sqrt(2a)

2

 

 
 
Przykład 2: 
Obliczyć współrzędne pkt. Nr 2 oraz błędy średnie współrzędnych mając dane: 
X2=? 
Y2=? 
Mx2=? 
My2=? 
 
X1=100 
Y1=100 
 
D12=120,75+-5 
A12=120,7520

g

=10’’ 

 
Deltax12=x2-x1 -> x2=x1+deltax12 = x1d12cosA12 
Deltay12=y2-y1 -> y2=y1+deltay12 = y1+d12sinA12 
 
 
Mx

2

=+-sqrt( (dx2/dd12)

2

m

d12

+(dx2/dA

12

)

2

 * (mA

12

/ro)

2 

) 

Mx2=+- sqrt( (cosA

12

)

2

md

12

2

+(d12sinA

12

)

2

(ma/ro

g

)

2

 ) 

 
My2=+-sqrt( (1)

2

+(sinA

12

)

2

md

12

2

+(d

12

cosA

12

)

2

 * (m

A12

/ro

g

) )     ?