Hurwitza kryterium stabilności

kryterium al­gebraiczne oceny stabilności układu polegające na badaniu współczynników równania charak­terystycznego n-tego stopnia układu o postaci

a_nsⁿ+a_n-1s^n-1+…+ a₁s¹+a₀=0

gdzie współczynniki. A_i (i ⁼ 1…n) — są rzeczywiste. K.H. sformułowane jest następująco: warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby odpo­wiedni stan równowagi układu był stanem sta­bilnym (tzn. aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego miały ujemne części rzeczy­wiste) jest, aby wyznaczniki złożone ze współczynników. równania charakterystycznego n-tego stopnia aΔ₁, Δ₂, ..., Δ_n były dodatnie oraz współczynniki a₀, a₁,..., a_n były także dodatnie. Jeśli więc wyznacznik

będą tego samego znaku co współcz. a_n to w przypadku gdy współcz. a_n>0, wyznacznik Hurwitza i jego minory główne winny być do­datnie. Zatem z warunków tych wynika waru­nek konieczny stabilności: wszystkie współcz. równania charakterystycznego powinny być do­datnie. Kryterium Hurwitza stos. się zwykle w przypadku równań różniczkowych niższego rzę­du: przy wzroście bowiem stopnia n równania charakterystycznego (np. dla n > 5) obliczanie wyznaczników staje się bardzo złożone i praco­chłonne. Przy uzmiennianiu współcz. równania charakterystycznego a₀,..., a_n układ może osiąg­nąć granice stabilności; wtedy jako pierwszy ze­ruje się wyznacznik Hurwitza stopnia n. Przy dalszej zmianie tych współcz., układ może stać się niestabilny; wtedy liczba zmian znaku w ciągu wyznaczników Hurwitza a_n-1, Δ₂,..,Δ_n jest dokładnie równa liczbie pierwiastków z do­datnią częścią rzeczywistą.

to po rozwinięciu w szereg Taylora wokół punktu równowagi (jc°, y°) (stan ustalony, gdzie j>° = 0) otrzymamy

gdzie wskaźnik górny „zero" oznacza wartości pochodnych w punkcie je = x°t y = y° i y = 0. Równanie linearyzowane będzie miało po­stać

Δy+TΔy`=kΔx

Gdzie

Opisany sposób linearyzacji odgrywa ważną ro­lę przy badaniu stabilności rozwiązań dla ma­łych zmian parametrów wokół punktu równo­wagi (→ Lapunowa metody).

W analizie procesów periodycznych (drgań własnych) \stos. się linearyzację harmoniczną. W analizie procesów losowych stos. się lineary­zację statystyczną.