LABORATORIUM ELEKTROENERGETYKI

Zjawiska falowe w elektroenergetycznych

liniach przesyłowych

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

1. Linia energetyczna jako linia długa

Każdą linię długą charakteryzują cztery pierwotne parametry elektryczne odnoszone do długości jednostkowej linii.

Parametry R₀ oraz L₀ sÄ… parametrami podÅ‚użnymi linii dÅ‚ugiej, natomiast C₀ i G₀ - parametrami poprzecznymi. Parametry pierwotne linii dÅ‚ugiej dzieli siÄ™ także na rozpraszajÄ…ce energiÄ™ i zachowawcze. Do pierwszych zalicza siÄ™ R₀ i G₀, natomiast do drugich - L₀ i C₀.

Parametry wtórne linii długiej nazywane są także parametrami falowymi, ponieważ decydują one o wartościach fal napięcia i prądu w linii długiej. Parametrami wtórnymi linii długiej są: stała tłumienia (tłumienność) α, stała fazowa (przesuwność jednostkowa) β oraz impedancja falowa Z_c.

Rys. 1. Jednostkowy odcinek linii długiej ∆x

Stałe tłumienia α oraz fazową β najczęściej rozpatruje się wspólnie, ponieważ stanowią one odpowiednio część rzeczywistą i urojoną stałej rozprzestrzeniania (propagacji) fali γ:

(1)

gdzie:

γ - współczynnik przenoszenia, α - współczynnik tłumienia, β - współczynnik fazowy

Parametry wtórne linii wyrażajÄ… siÄ™ poprzez parametry pierwotne R₀, L₀, C₀ i G₀ oraz pulsacjÄ™ ω.

Impedancja falowa
Stała propagacji
StaÅ‚a tÅ‚umienia	Â
StaÅ‚a fazowa	Â

LiniÄ™ dÅ‚ugÄ… zwykle rozpatruje siÄ™ w oparciu o liniÄ™ dwuprzewodowÄ…, jednorodnÄ…, symetrycznÄ…, o dÅ‚ugoÅ›ci l. Do wejÅ›cia linii doÅ‚Ä…czone jest źródÅ‚o napiÄ™cia sinusoidalnie zmiennego e(t) o pewnej impedancji wewnÄ™trznej Z₁. Linia obciążona jest odbiornikiem o impedancji Z₂.

Rys. 2. Model zasilania linii długiej

Ze względu na liniowość obwodu w każdym punkcie linii długiej przebiegi prądów i napięć będą sinusoidalnie zmienne. Wielkości U(x) i I(x) oznaczają skuteczne zespolone wartości napięcia i prądu w odległości x od początku linii. Wtedy wartości chwilowe określone są zależnościami:

(2)

Korzystamy z równań telegrafistów:

(3)

Z pierwszego wzoru I(x):

(4)

i na podstawie otrzymanego wyrażenia:

(5)

Wprowadzając do równania stałą rozprzestrzeniania (propagacji) fali γ otrzymuje się:

(6)

Wzór przyjmuje wtedy postać:

(7)

Otrzymane w ten sposób równanie różniczkowe posiada rozwiązanie następującej postaci:

(8)

Korzystając z wyprowadzonego wcześniej wzoru na prąd I(x), uzyskuje się:

(9)

Stała propagacji fali γ jest liczbą zespoloną. Wzór na u(x,t) można więc zapisać w postaci:

(10)

Obliczając część urojoną, otrzymuje się:

(11)

gdzie:

Ψ_1, Ψ₂ - argumenty liczb zespolonych A₁, A₂

Ostatnie równanie można przekształcić do postaci:

(12)

Pierwsza składowa tego wzoru przedstawia falę, której amplituda zmniejsza się ze wzrostem współrzędnej x, a opóźnienie fazowe rośnie. Fala ta przesuwa się w miarę upływu czasu t od źródła do odbiornika. Jest to fala bieżąca (pierwotna).

Fala reprezentowana przez drugą składową wzoru przesuwa się w przeciwną stronę - od odbiornika do źródła. Jej amplituda rośnie wraz ze wzrostem x, a faza uzyskuje większe wyprzedzenie. Jest to fala odbita (powrotna).

WystÄ™pujÄ…ce we wzorach staÅ‚e A₁, A₂ wyznacza siÄ™ z warunków granicznych (brzegowych), np. z napiÄ™cia i prÄ…du na poczÄ…tku linii x=0:

(13)

stÄ…d:

(14)

i wzory na napięcie U(x) i prąd I(x) przyjmują postać:

(15)

gdzie:

n₁ - współczynnik odbicia fali na poczÄ…tku linii

Jeżeli wyjść z równaÅ„ dla x mierzonego od koÅ„ca linii, uzyskuje siÄ™ analogiczne wzory, w których n₂ oznacza współczynnik odbicia fali na koÅ„cu linii:

(16)

W liniach przesyÅ‚ajÄ…cych energiÄ™ odbicia, tak na koÅ„cu jak i na poczÄ…tku linii, sÄ… niepożądane, ponieważ obniżajÄ… one sprawność przesyÅ‚u - część energii, która dociera do koÅ„ca linii nie przechodzi do odbiornika, ale wraca z powrotem do linii i jest tracona na rezystancji i konduktacji linii albo dociera do poczÄ…tku linii, powodujÄ…c tu efekt echa. Te wielokrotne odbicia powodujÄ… niepotrzebne straty energii. Aby im zapobiec, należy dopasować impedancjÄ™ źródÅ‚a Z₁ oraz odbiornika Z₂ do impedancji falowej linii Z_c.

(17)

Korzystając z definicji funkcji hiperbolicznych ch x oraz sh x, wzory na napięcie U(x) oraz prąd I(x) można przedstawić w postaci:

(18)

Na ich podstawie można wyprowadzić wzór na impedancjÄ™ wejÅ›ciowÄ… Z₁ linii dÅ‚ugiej:

(19)

Równania linii długiej :

(20)

Rozwiązania tych równań :

(21)

dla linii bezstratnej R=G=0 równania przyjmują postać:

(22)

są to równania fali płaskiej.

2. Literatura

1. Director S. W., Rohrer R. A.: Podstawy teorii układów elektrycznych. Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.

2. Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodów. Tom 1-2. Warszawa, WNT, 1992/1993.

3. Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna-tom1. Warszawa, WNT, 1982.

4. Matusiak R.: Elektrotechnika teoretyczna-tom2. Warszawa, WNT, 1982.

5. Rawa H.: Podstawy elektromagnetyzmu. Warszawa, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 1996.

REALIZACJA ĆWICZENIA

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z modelem i zjawiskami falowymi w linii elektroenergetycznej służącej do przesyłu i rozdziału energii elektrycznej oraz przeprowadzenie badań modelowych tego zjawiska.

2. Model linii elektroenergetycznych

Strukturę modelu linii elektroenergetycznej przedstawiono na rysunku 1. Została ona przedstawiona w postaci linii długiej, składającej się z połączonych szeregowo 10 czwórników w układzie T. Badany model składa się z trzech linii o parametrach odpowiadających liniom:

1. telekomunikacyjnej napowietrznej,

2. energetycznej napowietrznej 110kV

3. kablowej telekomunikacyjnej.

Kształtowanie impulsów w układach o stałych rozłożonych polega na wykorzystaniu właściwości linii długich, tzn. takich elektrycznych linii dwuprzewodowych, w których zarówno prąd, jak i napięcie są nie tylko funkcjami czasu ale i odległości:

Jako parametry linii długiej podaje się rezystancję, pojemność oraz indukcyjność linii przypadające na jednostkę długości. Ponadto wprowadza się jeszcze jeden parametr jednostkowy charakteryzujący niedoskonałość izolacji między przewodami linii, między przewodem a ziemią lub między przewodem a uziemioną powłoką kabla - parametr ten nazywany jest konduktywnością upływu, bądź upływnością.

Parametry poszczególnych elementów modelu mają następujące wartości:

Ad. 1. R₀ = 3,71 [Ω], L₀ = 1,94 [mH], C₀ = 6,33 [nF]

Ad. 2. R₀ = 2,45 [Ω], L₀ = 1,33 [mH], C₀ = 8,4 [nF]

Ad. 3. R₀ = 22,5 [Ω], L₀ = 0,6 [mH], C₀ = 35,1 [nF]

Rys. 1 Schemat modelu linii elektroenergetycznej

3. Przebieg ćwiczenia

Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych linii przesyłowych

Zmieniając częstotliwość napięcia zasilającego od 50 [Hz] do 10 [kHz] (z odpowiednim krokiem) należy zmierzyć wartości prądu i napięcia na zaciskach wejściowych modelu linii przesyłowej. Pomiary należy przeprowadzić dla jednego, dwóch i dziesięciu czwórników elementarnych, w następujących stanach pracy linii: jałowy, zwarcia i obciążonego impedancją falową. W okolicy maksimum prądów pomiary należy zagęścić. Wyniki zanotować w tabeli pokazanej poniżej, przyjmując oznaczenia poszczególnych wielkości dla odpowiednich stanów pracy linii. Dla poszczególnych częstotliwości należy obliczyć wartości impedancji wejściowej z pomiarów i ze wzorów.

Rodzaj stanu	f	U	I	Z	Z
	Hz	V	A	Ω	Ω
Stan jałowy
Stan zwarcia
Obciążenie impedancją falową

Na podstawie obliczonych wartości należy wykreślić charakterystyki poszczególnych wielkości w funkcji częstotliwości.

Wyznaczenie rozkładu napięcia w linii przesyłowej

Dla wybranych wartości częstotliwości napięcia zasilającego należy wyznaczyć rozkład napięcia na kolejnych elementach łańcucha czwórników linii. Wyniki należy zanotować w tabeli przedstawionej poniżej.

Sekcja		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f=...........[Hz]	U
f=...........[Hz]	U
f=...........[Hz]	U

Pomiary przeprowadzić dla stanów pracy analogicznych, jak w poprzednim punkcie ćwiczenia.

Następnie należy zaobserwować przebiegi prądu i napięcia na poszczególnych sekcjach linii w stanie nieustalonym. W tym celu model zasilamy napięciem o przebiegu prostokątnym.

1

12

Politechnika Radomska im. Kazimierza Pułaskiego

Wydział Transportu

Zakład Energetyki i Elektrotechniki

ul. Malczewskiego 29

tel.: [phone]

R₀ L₀

C₀

R₀ L₀

R₀ L₀

R₀ L₀

C₀

C₀

C₀

---