Wydział Podstawowych Problemów Techniki
Ś
rodowisko programowe
do symulacji zjawiska tunelowania
Praca dyplomowa inŜynierska
Michał Chometa
Opiekun:
dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda prof. PWr.
Wrocław 2006
Wydział Podstawowych Problemów Techniki
Ś
rodowisko programowe
do symulacji zjawiska tunelowania
Praca dyplomowa inŜynierska
Michał Chometa
Opiekun:
dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda prof. PWr.
Wrocław 2006
2
Opiekunowi prof. Włodzimierzowi Salejdzie
serdecznie dziękuję za pomoc, cenne rady i dyskusję.
Bez Jego cierpliwości niniejsza praca by nie powstała.
3
Spis Treści
1.
Wprowadzenie .............................................................................................. 4
2.
Równanie Schrödingera............................................................................... 5
3.
Tunelowanie – analiza ilościowa zjawiska ................................................. 7
4.
Macierze przejść ......................................................................................... 10
4.1. Macierz przejścia M
1
................................................................................................. 11
4.2. Macierz przejścia M
2
................................................................................................. 12
4.3. Macierz przejścia M
3
................................................................................................. 14
4.4. Macierz przejścia M
4
................................................................................................. 15
4.5. Macierz przejścia M
5
................................................................................................. 17
4.6. Macierz przejścia M
6
................................................................................................. 19
4.7. Macierz transmisji ..................................................................................................... 20
5.
Opis środowiska programowego............................................................... 22
6.
Wybrane wyniki.......................................................................................... 28
6.1. Bariera prostokątna ................................................................................................... 28
6.2. Podwójna symetryczna bariera.................................................................................. 30
6.3. Podwójna prostokątna bariera niesymetryczna ......................................................... 31
6.4. Wielokrotne studnie potencjału................................................................................. 34
6.5. Tunelowanie cząstek o róŜnych masach ................................................................... 35
7.
Wnioski ........................................................................................................ 38
8.
Podsumowanie ............................................................................................ 41
9.
Literatura .................................................................................................... 42
4
1. Wprowadzenie
Celem pracy było opracowanie środowiska obliczeniowego pozwalającego
uŜytkownikowi na projektowanie układu prostokątnych barier potencjalnych (ich wysokości i
szerokości) oraz wyznaczanie, dla zaprojektowanego układu barier, współczynnika
tunelowania i transmisji cząstek kwantowych.
Przenikanie cząstek przez bariery potencjału o skończonej grubości jest efektem
czysto kwantowym, nie dającym się uzasadnić na gruncie fizyki klasycznej. W fizyce
atomowej jednak wykryto zjawiska nie dające się wytłumaczyć inaczej niŜ jako przenikanie
przez bariery potencjału, co zostało nazwane efektem tunelowym [1], [2]. Jądra atomów
utrzymywane są w całości silnym potencjałem przypominającym zwęŜający się na szczycie
wał. Energie nukleonów, z których są zbudowane jądra nawet w stanach wzbudzonych mają
energie mniejszą od wysokości tego wału potencjału. Pomimo tego obserwujemy przenikanie
cząstek α na zewnątrz pola oddziaływań jądrowych [3]. W ten sposób moŜna rozumieć
zjawisko promieniotwórczości, samorzutne rozszczepianie się niektórych jąder, tzw. zimną
emisję elektronów z metalu, zjawiska kontaktowe w ciałach stałych i inne.
Fakt, Ŝe cząstki o energii wyŜszej od bariery potencjału równieŜ ulegają rozproszeniu
jest tłumaczony znaczną zmianą pędu (zaleŜnego od potencjału ) [4].
W następnym rozdziale przedstawiamy krótkie wprowadzenie do zjawiska
tunelowania w ramach mechaniki kwantowej. Rozdział trzeci zawiera analizę ilościową
zjawiska tunelowania w przypadku jednowymiarowym, oraz przykład tunelowania
obserwowany w mikroelektronice. W rozdziale czwartym przedstawimy niezbędne
przekształcenia
numeryczne
wykorzystywane
w
zaprojektowanym
ś
rodowisku
programowym. Rozdział piąty zawiera opis środowiska programowego. Rozdział szósty jest
poświęcony prezentacji wybranych wyników i ich porównaniu z wynikami analitycznymi.
W rozdziale
siódmym
i
ósmym
przedstawiono
odpowiednio
wnioski
końcowe
i podsumowanie pracy. Ostatni rozdział zawiera spis literatury.
5
2. Równanie Schrödingera
Przełom wieków XIX i XX zaowocował eksperymentami, które ukazywały dualność
natury na poziomie atomowym. Falowe własności cząstek i korpuskularność promieniowania
wynikające z tych doświadczeń stały w jawnej sprzeczności z ówczesną wiedzą. Fizyka
klasyczna precyzyjnie określała połoŜenia cząstek. Ponadto wiadomo było Ŝe cząstki
elementarne są niepodzielne – nie moŜna zaobserwować lub uzyskać połówki elektronu.
Natomiast fale moŜna dzielić, ale nie moŜna ich precyzyjnie zlokalizować. Fale posiadają
długość λ i częstotliwość υ i są rozciągnięte w czasoprzestrzeni.
Ta dualność stawia nas przed dylematem: opis cząstki zdaje się być niekompatybilny
z opisem fali, w szczególności, w przypadku zjawiska interferencji. Relacje de Broglie’a,
p = h /
λ
, oraz Bohr’a, E = h υ, określają dynamiczne własności cząstki, właśnie dzięki
zjawisku interferencji .
Równanie Schrödingera dla cząstki poruszającej się pod wpływem niezaleŜnej od
czasu siły potencjalnej [5]:
Ψ
=
Ψ
+
Ψ
∇
−
=
∂
Ψ
∂
−
H
V
m
t
i
2
2
2
h
h
(2.1)
moŜe zostać przekształcone na niezaleŜne od czasu równanie funkcji
(
)
z
y
x
,
,
ψ
zakładając, Ŝe
( ) (
)
z
y
x
t
f
,
,
ψ
=
Ψ
,
(2.2)
skąd otrzymujemy
{ }
.
1
2
1
1
2
2
const
H
V
m
t
f
i
f
=
=
+
∇
−
=
∂
∂
−
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
h
h
(2.3)
PoniewaŜ musi to być prawdziwe dla wszystkich wartości t oraz x, y, z, lewa i prawa
strona równania muszą być równe stałej.
Fizyczne znaczenie stałej moŜe być rozumiane jako energia E
( )
,
Et
i
e
t
f
h
−
=
(2.4)
oraz
ψ
ψ
ψ
E
V
m
=
+
∇
−
2
2
2
h
.
(2.5)
6
W szczególności dla jednego wymiaru
( )
(
)
.
0
2
2
2
2
=
−
+
ψ
ψ
x
V
E
m
dx
d
h
(2.6)
ZałóŜmy, Ŝe potencjał oraz energia całkowita cząstki E są stałe. Wtedy energia
kinetyczna
T = E – V = p
2
/ 2ma
(2.7)
a ogólne rozwiązanie równania (2.6) ma postać
(
)
(
)
x
V
E
m
i
x
V
E
m
i
Be
Ae
−
−
−
+
=
2
2
h
h
ψ
(2.8)
gdzie A i B są stałymi całkowania [6].
Widzimy, Ŝe stanowi ono superpozycję dwóch fal biegnących w przeciwnych
kierunkach. Długość tych fal odpowiada długości fali de Broglie’a
(
)
p
h
mT
h
V
E
m
=
=
−
=
2
2
2 h
π
λ
.
(2.9)
7
3. Tunelowanie – analiza ilo
ś
ciowa zjawiska
Wyobraźmy sobie teraz strumień cząstek padających z x = -∞ na barierę potencjału
zadaną wzorem
≤
≤
>
<
=
a
x
V
a
x
x
V
0
,
lub
0
,
0
0
.
(3.1)
Eksperymentalnie moŜemy zauwaŜyć, Ŝe nie wszystkie cząstki o energii większej niŜ
wysokość bariery potencjału są rejestrowane po drugiej stronie bariery, gdzie wykrywamy
cząstki o energii niŜszej od bariery.
Tunelowanie moŜna opisać jako zjawisko kwantowe polegające na przejścia cząstki
kwantowej pomiędzy dwoma obszarami dozwolonymi, o jednakowej energii, poprzez
oddzielającą je barierę potencjału o większej energii.
Przykładem omawianego zjawiska moŜe być tunelowanie elektronów poprzez bariery
tlenkowe [4], co bezpośrednio prowadzi do wycieku prądu w tranzystorach polowych
(MOSFET). Jest to podstawowym ograniczeniem w postępującej miniaturyzacji układów
elektronicznych. Dla ścieŜek nanoskopowych rozmiarach, tranzystor nie moŜe poprawnie
funkcjonować poniewaŜ obserwujemy znaczne i niepoŜądane efekty tunelowania nośników
prądu przez nanoelementy układu elektronicznego.
Analiza ilościowa jednowymiarowego zjawiska tunelowania jest prowadzona w
ramach równania Schrödingera
(
)
,
0
2
0
2
2
=
Ψ
−
+
Ψ
∇
−
E
V
m
h
(3.2)
które rozwiązujemy po obu stronach oraz wewnątrz bariery.
Wyobraźmy sobie cząstkę o energii
0
E opisywaną funkcją falową Ψ(x) padającą na
barierę potencjału opisaną (3.1), o wysokości
0
0
E
V
>
. Wtedy funkcja falowa ma postać:
( )
( )
( )
( )
≥
=
≤
≤
+
=
≤
+
=
=
Ψ
−
−
a
x
Ee
x
a
x
De
Ce
x
x
Be
Ae
x
x
x
ik
x
ik
x
ik
x
ik
x
ik
3
2
2
1
1
3
2
1
0
0
ϕ
ϕ
ϕ
(3.3)
gdzie
(
)
2
0
0
2
2
2
0
2
1
2
2
h
h
E
V
m
k
,
mE
k
−
=
=
.
8
Naszym zadaniem będzie obliczenie prawdopodobieństwa (szansy) na zajście
zjawiska tunelowania przy określonych parametrach modelu (energia i masa cząstki;
szerokość i wysokość bariery). W tym celu obliczamy współczynniki transmisji T i odbicia R
.
2
2
2
2
A
B
R
i
A
E
T
=
=
(3.4)
Funkcja falowa musi być klasy C1, a więc ciągła wraz ze swoją pochodną.
W szczególności ciągłość musi być zachowana w miejscach zszycia funkcji, a więc na
granicy barier
(
)
(
)
(
)
=
−
=
+
−
=
−
+
=
+
−
−
a
ik
a
k
a
k
a
ik
a
k
a
k
Ee
ik
De
Ce
k
Ee
De
Ce
D
C
k
B
A
ik
D
C
B
A
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
.
(3.5)
Dwa ostatnie równania pozwalają wyznaczyć wartości współczynników C i D
(
)
(
)
,
1
2
,
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
a
k
ik
a
k
ik
e
k
k
i
E
D
e
k
k
i
E
C
+
−
−
=
+
=
(3.6)
co po podstawieniu do dwóch pierwszych równań daje
( )
( )
( )
( )
( )
.
sh
ch
2
2
,
sh
ch
2
sh
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
−
−
−
−
+
=
−
+
+
−
=
a
k
k
k
k
k
i
a
k
e
A
E
a
k
k
k
k
k
i
a
k
a
k
k
k
k
k
i
A
B
a
ik
(3.7)
Znając zaleŜności (3.7) moŜna przystąpić do wyznaczania współczynników (3.4)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
sh
4
1
1
sh
4
sh
ch
4
4
sh
ch
4
sh
2
2
−
=
−
−
−
+
+
=
+
=
⇒
−
+
=
=
−
+
+
=
=
a
k
k
k
k
k
T
a
k
k
k
k
k
T
R
a
k
k
k
k
k
a
k
A
E
T
a
k
k
k
k
k
a
k
a
k
k
k
k
k
A
B
R
x
sh
x
ch
(3.8)
9
Współczynniki odbicia i transmisji moŜna przedstawić na kilka sposobów. Korzystając
z zaleŜności
(
)
0
0
0
2
0
2
2
1
2
2
2
1
E
V
E
V
k
k
k
k
−
=
+
(3.9)
uzyskujemy
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0
2
sh
4
1
2
sh
4
1
−
−
−
+
=
−
−
=
E
V
m
a
E
V
E
V
T
E
V
m
a
E
V
E
T
V
R
h
h
(3.10)
a podstawiając do (3.10)
0
0
2
0
2
V
E
mV
a
=
=
ε
λ
i
h
(3.11)
ostatecznie otrzymujemy
( )
(
)
( )
(
)
R
ε
λ
ε
ε
T
ε
λ
ε
ε
T
R
−
=
−
−
+
=
−
−
=
−
1
1
sh
1
4
1
1
1
sh
1
4
1
2
2
(3.12)
PowyŜsze wzory (3.8, 3.10, 3.12) są analitycznymi formułami dla pojedynczej
prostokątnej bariery przy załoŜeniu, Ŝe energia cząstki jest mniejsza od wysokości bariery.
JeŜeli energia cząstki jest większa od wysokości bariery analityczny wzór na
współczynnik przejścia przyjmuje następującą postać:
(
)
(
)
R
T
−
=
−
−
+
=
=
1
1
sin
1
4
1
1
1
2
ε
λ
ε
ε
(3.13)
PoniŜej opisane środowisko obliczeniowe korzysta z metod numerycznych, opisanych
w następnym rozdziale, pozwalających na obliczanie współczynnika transmisji przez kilka
rodzajów barier potencjału, zaprojektowanych przez uŜytkownika z klawiatury PC lub po
wczytaniu parametrów modelu.
10
4. Macierze przej
ść
Macierze przejścia wyliczam korzystając z warunków ciągłości funkcji falowej i jej
pierwszej pochodnej w punktach charakterystycznych potencjału.
Zaprezentuję macierze dla wszystkich rozpatrywanych rodzajów przejść cząstki
kwantowej przez granice barier potencjalnych.
Najprostszy wariant to bariera prostokątna. Do opisania wszystkich moŜliwych
przypadków wystarczą cztery macierze przejścia: M
1
, M
2
, M
3
, M
4
(patrz rys.4.1).
Rys.4.1. Prostokątna bariera potencjału z zaznaczonymi 4 róŜnymi macierzami przejścia.
JeŜeli pójdziemy krok dalej, to uzyskamy barierę schodkową. By rozpatrzyć wszystkie
przypadki potrzeba sześciu macierzy: czterech przedstawionych wyŜej, oraz M
5
, M
6
(patrz
rys.4.2)
Rys.4.2. Prostokątna bariera potencjału z zaznaczonymi 6 macierzami przejścia.
M
1
M
2
M
3
M
4
M
1
M
2
M
3
M
4
M
5
M
6
11
We wszystkich rozpatrywanych w pracy przypadkach cząstki kwantowe padają
z lewej strony na bariery potencjalne.
PoniŜej przedstawiamy kolejno jawne postacie macierzy przejść odpowiadających
przypadkom: cząstka wchodzi do obszaru o wyŜszym potencjale (
M
1
); cząstka wchodzi do
obszaru o niŜszym potencjale (
M
2
).
4.1. Macierz przej
ś
cia M
1
W tym przypadku cząstki mają energię E
0
większą od wysokości bariery (rys.4.3),
a wektor falowy jest rzeczywisty po obu stronach bariery.
Rys.4.3. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię większą od wysokości bariery.
Dwie pierwsze macierze dotyczą przypadku E
0
> V
1
> V
0
. Stosujemy następujące
oznaczenia:
(
)
0
0
2
1
V
E
m
k
−
=
h
,
(4.1.1)
(
)
1
0
2
1
'
V
E
m
k
−
=
h
.
(4.1.2)
Z warunków ciągłości otrzymujemy
−
=
−
+
=
+
−
−
−
−
'
:
/
'
'
'
'
'
'
ik
De
ik
Ce
ik
ikBe
ikAe
De
Ce
Be
Ae
a
ik
a
ik
ika
ika
a
ik
a
ik
ika
ika
.
(4.1.3)
PoniŜej prezentujemy (4.1.4 – 4.1.11) wyprowadzenie elementów macierzy przejścia
M
1
. Przytaczamy jedynie wzory bez zbytecznych komentarzy.
(
)
a
ik
a
ik
ika
ika
De
Ce
Be
Ae
k
k
'
'
'
−
−
−
=
−
,
(4.1.4)
12
(
)
a
ik
ika
ika
a
ik
De
Be
Ae
k
k
Ce
'
'
'
−
−
+
−
=
,
(4.1.5)
(
)
a
ik
a
ik
ika
ika
ika
ika
De
De
Be
Ae
k
k
Be
Ae
'
'
'
−
−
−
−
+
+
−
=
+
,
(4.1.6)
+
+
−
=
−
−
'
1
'
1
2
1
'
k
k
Be
k
k
Ae
De
ika
ika
a
ik
,
(4.1.7)
(
)
(
)
+
+
−
=
−
−
+
'
1
'
1
2
1
'
'
k
k
Be
k
k
Ae
D
a
k
k
i
a
k
k
i
,
(4.1.8)
(
)
+
+
−
+
−
=
−
−
'
1
'
1
2
1
'
'
k
k
Be
k
k
Ae
Be
Ae
k
k
Ce
ika
ika
ika
ika
a
ik
,
(4.1.9)
−
+
+
=
−
'
1
'
1
2
1
'
k
k
Be
k
k
Ae
Ce
ika
ika
a
ik
,
(4.1.10)
(
)
(
)
−
+
+
=
+
−
−
'
1
'
1
2
1
'
'
k
k
Be
k
k
Ae
C
a
k
k
i
a
k
k
i
.
(4.1.11)
Składamy (4.1.11) i (4.1.8) w macierz
=
B
A
M
D
C
1
,
(4.1.12)
gdzie
(
)
(
)
(
)
(
)
.
'
1
'
1
'
1
'
1
2
1
'
'
'
'
1
+
−
−
+
=
−
−
+
+
−
−
k
k
e
k
k
e
k
k
e
k
k
e
M
a
k
k
i
a
k
k
i
a
k
k
i
a
k
k
i
(4.1.13)
4.2. Macierz przej
ś
cia M
2
Oznaczenia (4.1.1) i (4.1.2) nadal są aktualne, ale tym razem mamy do czynienia
z wychodzeniem cząstki kwantowej z obszaru podwyŜszonego potencjału (rys.4.4).
13
Rys.4.4 Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię większą od „stopnia” bariery.
Jak w poprzednim przypadku wychodzimy z warunków ciągłości funkcji falowej i jej
pierwszej pochodnej i dalej prowadzimy obliczenia analogicznie do przedstawionych
wcześniej
−
=
−
+
=
+
−
−
−
−
ikb
ikb
b
ik
b
ik
ikb
ikb
b
ik
b
ik
Fe
ik
Ee
ik
De
ik
Ce
ik
Fe
Ee
De
Ce
'
'
'
'
'
'
'
'
,
(4.2.1)
(
)
ikb
ikb
b
ik
b
ik
Fe
Ee
De
Ce
k
k
−
−
−
=
−
'
'
'
,
(4.2.2)
(
)
ikb
b
ik
b
ik
ikb
Fe
De
Ce
k
k
Ee
−
−
+
−
=
'
'
'
,
(4.2.3)
(
)
ikb
ikb
b
ik
b
ik
b
ik
b
ik
Fe
Fe
De
Ce
k
k
De
Ce
−
−
−
−
+
+
−
=
+
'
'
'
'
'
,
(4.2.4)
+
+
−
=
−
−
k
k
De
k
k
Ce
Fe
b
ik
b
ik
ikb
'
1
'
1
2
1
'
'
,
(4.2.5)
(
)
(
)
+
+
−
=
−
−
+
k
k
De
k
k
Ce
F
b
k
k
i
b
k
k
i
'
1
'
1
2
1
'
'
,
(4.2.6)
(
)
+
+
−
+
−
=
−
−
k
k
De
k
k
Ce
De
Ce
k
k
Ee
b
ik
b
ik
b
ik
b
ik
ikb
'
1
'
1
2
1
'
'
'
'
'
, (4.2.7)
−
+
+
=
−
k
k
De
k
k
Ce
Ee
b
ik
b
ik
ikb
'
1
'
1
2
1
'
'
,
(4.2.8)
14
(
)
(
)
−
+
+
=
+
−
−
k
k
De
k
k
Ce
E
b
k
k
i
b
k
k
i
'
1
'
1
2
1
'
'
,
(4.2.9)
=
D
C
M
F
E
2
,
(4.2.10)
gdzie
(
)
(
)
(
)
(
)
.
'
1
'
1
'
1
'
1
2
1
'
'
'
'
2
+
−
−
+
=
−
−
+
+
−
−
k
k
e
k
k
e
k
k
e
k
k
e
M
b
k
k
i
b
k
k
i
b
k
k
i
b
k
k
i
(4.2.11)
4.3. Macierz przej
ś
cia M
3
Teraz rozpatrzymy przypadek, gdy cząstka znajduje się „pod” barierą,
1
0
0
V
E
V
<
<
(patrz rys.4.5). Wprowadzamy nowe oznaczenie
(
)
,
2
1
0
1
1
E
V
m
−
=
ℵ
h
(4.3.1)
dla wektora falowego, gdy x > a; dla x < a dalej obowiązuje (4.1.1). Spełniona jest relacja
1
1
ℵ
=
i
k
.
(4.3.2)
Rys.4.5. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię mniejszą od wysokości bariery.
PoniŜej prezentujemy jawne przekształcenia prowadzące do elementów macierzy M
3
ℵ
ℵ
+
−ℵ
=
−
+
=
+
ℵ
ℵ
−
−
ℵ
−ℵ
−
1
1
:
/
1
1
1
1
a
a
ika
ika
a
a
ika
ika
De
Ce
ikBe
ikAe
De
Ce
Be
Ae
,
(4.3.3)
(
)
a
a
ika
ika
De
Ce
Be
Ae
ik
1
1
1
ℵ
ℵ
−
−
+
−
=
−
ℵ
,
(4.3.4)
15
(
)
a
ika
ika
a
De
Be
Ae
ik
Ce
1
1
1
ℵ
−
ℵ
−
+
+
−
ℵ
=
,
(4.3.5)
(
)
a
a
ika
ika
ika
ika
De
De
Be
Ae
ik
Be
Ae
1
1
1
ℵ
ℵ
−
−
+
+
+
−
ℵ
=
+
,
(4.3.6)
ℵ
−
+
ℵ
+
=
−
ℵ
1
1
1
1
2
1
1
ik
Be
ik
Ae
De
ika
ika
a
,
(4.3.7)
(
)
(
)
ℵ
−
+
ℵ
+
=
ℵ
+
−
ℵ
−
1
1
1
1
2
1
1
1
ik
Be
ik
Ae
D
a
ik
a
ik
,
(4.3.8)
(
)
ℵ
−
+
ℵ
+
+
+
−
ℵ
=
−
−
ℵ
−
1
1
1
1
1
2
1
1
ik
Be
ik
Ae
Be
Ae
ik
Ce
ika
ika
ika
ika
a
, (4.3.9)
ℵ
+
+
ℵ
−
=
−
ℵ
−
1
1
1
1
2
1
1
ik
Be
ik
Ae
Ce
ika
ika
a
,
(4.3.10)
(
)
(
)
ℵ
+
+
ℵ
−
=
ℵ
+
ℵ
+
1
1
1
1
2
1
1
1
ik
Be
ik
Ae
C
a
ik
a
ik
,
(4.3.11)
=
B
A
M
D
C
3
,
(4.3.12)
gdzie
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
ℵ
−
ℵ
+
ℵ
+
ℵ
−
=
ℵ
+
−
ℵ
−
ℵ
−
−
ℵ
+
ik
e
ik
e
ik
e
ik
e
M
a
ik
a
ik
a
ik
a
ik
(4.3.13)
4.4. Macierz przej
ś
cia M
4
Stosujemy oznaczenia (4.1.1) oraz (4.3.1). Rozpatrujemy przypadek tunelowanie,
który ilustruje rysunek 4.6.
16
Rys.4.6. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię mniejszą od wysokości bariery.
Wyprowadzenie wyraŜeń na elementy macierzy M
4
−
=
ℵ
+
ℵ
−
+
=
+
−
ℵ
ℵ
−
−
ℵ
ℵ
−
ikb
ikb
b
b
ikb
ikb
b
b
ikFe
ikEe
De
Ce
Fe
Ee
De
Ce
1
1
1
1
1
1
,
(4.4.1)
(
)
ikb
ikb
b
b
Fe
Ee
De
Ce
ik
−
ℵ
ℵ
−
−
=
+
−
ℵ
1
1
1
,
(4.4.2)
(
)
ikb
b
b
ikb
Fe
De
Ce
ik
Ee
−
ℵ
ℵ
−
+
+
−
ℵ
=
1
1
1
,
(4.4.3)
(
)
ikb
ikb
b
b
b
b
Fe
Fe
De
Ce
ik
De
Ce
−
−
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
+
+
+
−
ℵ
=
+
1
1
1
1
1
,
(4.4.4)
ℵ
−
+
ℵ
+
=
ℵ
ℵ
−
−
ik
De
ik
Ce
Fe
b
b
ikb
1
1
1
1
2
1
1
1
,
(4.4.5)
(
)
(
)
ℵ
−
+
ℵ
+
=
+
ℵ
−
ℵ
−
ik
De
ik
Ce
F
b
ik
b
ik
1
1
1
1
2
1
1
1
,
(4.4.6)
(
)
ℵ
−
+
ℵ
+
+
+
−
ℵ
=
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
ik
De
ik
Ce
De
Ce
ik
Ee
b
b
b
b
ikb
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
,(4.4.7)
ℵ
+
+
ℵ
−
=
ℵ
ℵ
−
ik
De
ik
Ce
Ee
b
b
ikb
1
1
1
1
2
1
1
1
,
(4.4.8)
(
)
(
)
ℵ
+
+
ℵ
−
=
−
ℵ
+
ℵ
−
ik
De
ik
Ce
E
b
ik
b
ik
1
1
1
1
2
1
1
1
,
(4.4.9)
=
D
C
M
F
E
4
,
(4.4.10)
gdzie
17
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
ℵ
−
ℵ
+
ℵ
+
ℵ
−
=
+
ℵ
−
ℵ
−
−
ℵ
+
ℵ
−
ik
e
ik
e
ik
e
ik
e
M
b
ik
b
ik
b
ik
b
ik
(4.4.11)
4.5. Macierz przej
ś
cia M
5
Dwie ostatnie macierze opisują przypadek cząstek, przechodzących przez granicę
dwóch potencjałów, o energiach mniejszych od wysokości potencjału: E0 < V0 < V1
(rys.4.7).
Stosujemy oznaczenia
(
)
,
2
1
0
0
E
V
m
−
=
ℵ
h
(4.5.1)
(
)
,
2
1
0
1
1
E
V
m
−
=
ℵ
h
(4.5.2)
które będą obowiązywać w tym i następnym podrozdziale.
Rys.4.7. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię mniejszą od wartości potencjału na
dnie bariery.
Wyprowadzenie wyraŜeń na elementy macierzy M
5
ℵ
ℵ
+
−ℵ
=
ℵ
+
ℵ
−
+
=
+
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
ℵ
−ℵ
ℵ
−ℵ
1
1
:
/
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
De
Ce
Be
Ae
De
Ce
Be
Ae
,
(4.5.3)
(
)
a
a
a
a
De
Ce
Be
Ae
1
1
1
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
+
−
=
+
−
ℵ
ℵ
,
(4.5.4)
18
(
)
a
a
a
a
De
Be
Ae
Ce
1
1
1
ℵ
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
+
−
ℵ
ℵ
=
,
(4.5.5)
(
)
a
a
a
a
a
a
De
De
Be
Ae
Be
Ae
1
1
1
ℵ
ℵ
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
+
+
−
ℵ
ℵ
=
+
,
(4.5.6)
ℵ
ℵ
+
+
ℵ
ℵ
−
=
ℵ
ℵ
−
ℵ
1
1
1
1
2
1
1
a
a
a
Be
Ae
De
,
(4.5.7)
(
)
(
)
ℵ
ℵ
+
+
ℵ
ℵ
−
=
ℵ
−
ℵ
ℵ
+
ℵ
−
1
1
1
1
2
1
1
1
a
a
Be
Ae
D
,
(4.5.8)
(
)
ℵ
ℵ
+
+
ℵ
ℵ
−
+
−
ℵ
ℵ
=
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
1
1
1
1
1
2
1
1
a
a
a
a
a
Be
Ae
Be
Ae
Ce
,(4.5.9)
ℵ
ℵ
−
+
ℵ
ℵ
+
=
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
1
1
1
1
2
1
1
a
a
a
Be
Ae
Ce
,
(4.5.10)
(
)
(
)
ℵ
ℵ
−
+
ℵ
ℵ
+
=
ℵ
+
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
1
1
1
1
2
1
1
1
a
a
Be
Ae
C
,
(4.5.11)
=
B
A
M
D
C
5
,
(4.5.12)
gdzie
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
ℵ
ℵ
+
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
+
=
ℵ
−
ℵ
ℵ
+
ℵ
−
ℵ
+
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
a
a
a
a
e
e
e
e
M
(4.5.13)
19
4.6. Macierz przej
ś
cia M
6
Zajmiemy się zjawiskiem przejścia cząstki przez obszar przedstawiony na rys.4.8.
Rys.4.8. Skok potencjału; cząstka kwantowa ma energię mniejszą od wartości potencjału na
dnie bariery.
Wyprowadzenie wyraŜeń na elementy macierzy M
6
ℵ
ℵ
+
−ℵ
=
ℵ
+
ℵ
−
+
=
+
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
ℵ
−ℵ
ℵ
−ℵ
:
/
1
1
1
1
b
b
b
b
b
b
b
b
Fe
Ee
De
Ce
Fe
Ee
De
Ce
,
(4.6.1)
(
)
b
b
b
b
Fe
Ee
De
Ce
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
+
−
=
+
−
ℵ
ℵ
1
1
1
,
(4.6.2)
(
)
b
b
b
b
Fe
De
Ce
Ee
ℵ
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
+
−
ℵ
ℵ
=
1
1
1
,
(4.6.3)
(
)
b
b
b
b
b
b
Fe
Fe
De
Ce
De
Ce
ℵ
ℵ
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
+
+
−
ℵ
ℵ
=
+
1
1
1
1
1
,
(4.6.4)
ℵ
ℵ
+
+
ℵ
ℵ
−
=
ℵ
ℵ
−
ℵ
1
1
1
1
2
1
1
1
b
b
b
De
Ce
Fe
,
(4.6.5)
(
)
(
)
ℵ
ℵ
+
+
ℵ
ℵ
−
=
ℵ
−
ℵ
ℵ
+
ℵ
−
1
1
1
1
2
1
1
1
b
b
De
Ce
F
,
(4.6.6)
(
)
ℵ
ℵ
+
+
ℵ
ℵ
−
+
−
ℵ
ℵ
=
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
b
b
b
b
b
De
Ce
De
Ce
Ee
,(4.6.7)
ℵ
ℵ
−
+
ℵ
ℵ
+
=
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
1
1
1
1
2
1
1
1
b
b
b
De
Ce
Ee
,
(4.6.8)
20
(
)
(
)
ℵ
ℵ
−
+
ℵ
ℵ
+
=
ℵ
+
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
1
1
1
1
2
1
1
1
b
b
De
Ce
E
,
(4.6.9)
=
D
C
M
F
E
6
,
(4.6.10)
gdzie
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
6
1
1
1
1
ℵ
ℵ
+
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
−
ℵ
ℵ
+
=
ℵ
−
ℵ
ℵ
+
ℵ
−
ℵ
+
ℵ
ℵ
−
ℵ
−
b
b
b
b
e
e
e
e
M
(4.6.11)
4.7. Macierz transmisji
KaŜda z macierzy przejścia (M
1
÷ M
6
) opisuje takŜe zmiany fazy funkcji falowej
w trakcie propagacji cząstki przez odcinek stałego potencjału.
Dysponując macierzowym opisem współczynników funkcji falowych w kaŜdym
moŜliwym (dla jednowymiarowych barier) przypadku moŜemy przystąpić do wyznaczania
współczynnika transmisji. Dla bariery przedstawionej na rysunku 4.1 macierz transmisji
M wygląda następująco:
,
0
1
2
2
=
=
=
B
A
M
B
A
M
M
D
C
M
E
(4.7.1)
gdzie M
2
to macierz dana wzorem (4.2.11) lub (4.4.11), a M
1
definiują formuły (4.1.13) lub
(4.3.13). Macierz transmisji powstaje poprzez wymnoŜenie wszystkich macierzy przejścia
opisujących dany przypadek. Współczynnik transmisji T przez barierę potencjalną opisaną
macierzą M jest równy
,
1
2
11
M
T
=
(4.7.2)
gdzie
11
M
to element pierwszego wiersza z pierwszej kolumny macierzy M.
Otrzymany współczynnik transmisji opisuje prawdopodobieństwo przejścia przez
układ barier (bezpośrednio za ostatnią barierą).
21
Korzystam z powyŜszego wzoru przy rysowaniu map transmisji dla rozwaŜanych
w pracy układów barier, np. dla układu z rysunku 4.9
Rys.4.9. Przykładowy układ barier prostokątnych.
macierz transmisji M opisana jest zaleŜnością (4.7.3)
=
=
=
=
=
B
A
M
B
A
M
M
M
M
D
C
M
M
M
F
E
M
M
H
G
M
I
1
2
3
4
2
3
4
3
4
4
0
(4.7.3)
Wyniki obliczeń numerycznych (patrz rozdział 6) zaprezentujemy w postaci
dwuwymiarowych map transmisji, które przedstawiają wyznaczone wartości współczynników
dla danych wartości parametrów modelu (naniesionych na osiach).
Dla kaŜdego piksela, któremu odpowiada określona wartość parametrów modelu
odkładanych na osiach OX i OY, obliczana jest macierz transmisji. Tak więc kaŜdy piksel na
mapie oznacza inne parametry bariery (w kolumnach parametry barier są stałe) lub parametry
cząstki (energia jest stała w wierszach). Z tego teŜ powodu obliczenia dla skomplikowanych
barier (złoŜonych z wielu klocków
*
) są czasochłonne. Ale dzięki takiemu podejściu
otrzymujemy bardzo dobrą dokładność wyników.
*
słowo klocek oznacza barierę lub studnię potencjalną.
22
5. Opis
ś
rodowiska programowego
Po uruchomieniu programu na ekranie pojawia się ekran powitalny
Rys.5.1 Ekran powitalny.
W lewym górnym rogu widzimy trzy zakładki, z których pierwsza jest aktywna.
Rys.5.2 Zakładki widoczne po uruchomieniu programu.
Aby uruchomić środowisko obliczeniowe naleŜy przejść na zakładkę Ustawienia, co
czynimy poprzez kliknięcie na jej nazwie. UkaŜe się nowy ekran zamieszczony na rys.5.3.
23
Rys.5.3 Ekran, na którym ustalane są parametry barier.
Mamy tutaj moŜliwość ustalenia masy cząstek – będących wielokrotnością masy elektronu,
oraz skonstruowania układu barier potencjalnych (lub wczytania juŜ gotowego z pliku
tekstowego). Budowa pliku jest bardzo prosta: w kaŜdej linii powinny znajdować się dwa
parametry klocka oddzielone spacjami. Pierwsza kolumna danych to wysokości bariery w eV,
a druga to grubość danej części w Å (1Å = 10
-10
m).
Aby skonstruować barierę w środowisku programowym naleŜy wprowadzić parametry
bariery do odpowiednich pól edycyjnych i zatwierdzić je przez kliknięcie na przycisku Dodaj
warstwę
Rys.5.4 Pola do wprowadzanie parametrów klocka
Wprowadzenie nowych parametrów i ponowne kliknięcie Dodaj warstwę spowoduje
umieszczenie nowego klocka po prawej stronie juŜ utworzonej bariery. Aby badać zjawisko
24
tunelowania cząstek przez dwie prostokątne bariery potencjału naleŜy umieścić między nimi
warstwę, o Ŝądanej szerokości i wysokości V = 0 eV.
Wprowadzoną barierę moŜna modyfikować na dwa sposoby. MoŜna usunąć wybraną
warstwę, co spowoduje przesunięcie następnych warstw (tych po prawej stronie) na jej
miejsce. MoŜna równieŜ zmienić parametry warstwy. W obu przypadkach naleŜy wybrać
numer warstwy (są numerowane od jedynki począwszy od lewej strony bariery) i kliknąć na
wybrany przycisk (przy zmianie parametrów naleŜy najpierw wprowadzić nowe wartości do
pól przedstawionych na rysunku 5.4).
Rys.5.5 Pole do wpisania nr zmienianego klocka
Utworzona, lub wczytana z pliku, bariera zostanie nakreślona w polu na dole ekranu.
Rys.5.6 Wykres pokazujący wygląd przykładowej bariery potencjalnej
Po ustaleniu kształtu bariery i masy tunelującej cząstki moŜna przejść do trzeciej, ostatniej
zakładki programu czyli Mapy transmisji. Po kliknięciu na zakładce z jej nazwą ukaŜe się
niemal pusty ekran, na którym ustalamy zakres energii padającej cząstki od E
min
do E
max
;
wartości te wpisujemy z klawiatury w pola edycyjne oznacznone symbolami Min i Max.
UŜytkownik ma moŜliwość skalowania wymiarów liniowych układu barier poprzez wpisanie
minimalnej i maksymalnej skali do pól edycyjnych umieszczonych na dole ekranu (patrz
rys.5.7).
25
Rys5.7 Ekran, na którym moŜe zostać narysowana mapa transmisji
WaŜnym faktem jest to, Ŝe ustalamy wielokrotność szerokości stworzonej bariery,
a nie jej szerokość. Jednostką energii jest 1eV, a szerokości 1Å.
Dodatkowo moŜemy zdecydować tutaj czy mapa transmisji ma być wykreślona
w skali szarości czy przy uŜyciu pełnej palety barw. Domyślnie jest tworzona mapa kolorowa.
Aby uzyskać wykres w skali szarości naleŜy odznaczyć pole przy napisie Kolorowa mapa.
Rys.5.8 Kontrolka wybierająca typ kolorystyczny rysowanej mapy transmisji
26
Po kliknięciu przycisku Rysuj mapę i odczekaniu chwili niezbędnej na obliczenia
moŜna otrzymać podobny do widocznego na rys.5.9 obraz.
Rys.5.9 Współczynnik transmisji T(E, a) przez barierę widoczną na rysunku 5.3,
gdzie E – energia cząstki, a – szerokość bariery.
Po prawej stronie wykresu widnieje skala, na której barwom są przypisane
odpowiadające im wartości współczynnika transmisji (w procentach). Dodatkowo pojawiają
się opisane osie energii cząstki (rzędna) i szerokości bariery (odcięta).
JeŜeli chcemy poznać dokładne parametry jakiegoś punktu na mapie transmisji
wystarczy, Ŝe klikniemy i przytrzymamy lewy przycisk myszy nad wybranym punktem.
Pojawią się prowadnice, które moŜna przesuwać po mapie ruszając myszą, a parametry
wyświetlą się w górnej części wykresu (Rys.5.10).
27
Rys.5.10 Prowadnice oraz szerokość bariery, energia cząstki i współczynnik transmisji
Trzy wyświetlane liczby, oddzielone od siebie znakiem ‘ / ’, oznaczają, kolejno,
szerokość bariery, energię cząstki i procentowo wyraŜony współczynnik transmisji.
Mając juŜ wykreśloną mapę transmisji moŜna skorzystać z drugiego przycisku
widocznego na rysunku 5.8: Zapisz mapę. Kliknięcie na nim zaowocuje pojawieniem się okna
dialogowego, w którym naleŜy wskazać miejsce docelowe dla pliku, w którym zostanie
zapisana mapa transmisji w formacie .bmp. Bardzo waŜne jest by system Windows miał
ustawioną 32 bitową głębię kolorów, w przeciwnym przypadku zapisane mapy będą
nieprawidłowe.
Rys.5.11 Okno zapisu mapy transmisji do pliku
Po wygenerowaniu mapy transmisji i jej ewentualnym zapisaniu, moŜna zmienić
parametry tworzenia mapy (np. zakres energii cząstki) lub przejść do zakładki Ustawienia
i zmienić wygląd bariery (lub masę cząstki).
Opisany powyŜej program powstał w środowisku programistycznym Borland Delphi5.
Do rysowania kształtu bariery oraz mapy transmisji wykorzystaliśmy dodatkowo biblioteki
zawarte w pakiecie XYGraph v.2.2.1 autorstwa Wilko C. Emmensa.
28
6. Wybrane wyniki
W tym rozdziale zaprezentujemy wybrane wyniki. Przedstawione poniŜej mapy
transmisji zostaną omówione w następnym rozdziale.
6.1. Bariera prostok
ą
tna
Przykładowa bariera prostokątna, zaprojektowana w oknie środowiska programowego,
jest pokazana na rysunku 6.1. Dla takiej bariery o wysokości 3eV, zmieniając jej szerokość od
0 do 10Å, utworzyliśmy mapę pokazaną na rysunku 6.2, natomiast rysunek 6.3 prezentuje
mapę transmisji przez analogiczną barierę o wysokości 5eV.
Rys. 6.1 Pojedyncza bariera o wysokości 3eV i szerokości 1Å
29
Rys. 6.2 Pojedyncza bariera 3eV, masa cząstki równa masie elektronu
Rys. 6.3 Pojedyncza bariera 5eV, masa cząstki równa masie elektronu
30
6.2. Podwójna symetryczna bariera
PoniŜej przedstawiamy mapy transmisji przez barierę złoŜoną z trzech klocków, jej
kształt jest widoczny na rysunku 6.4 (wysokość barier 5 eV). Mapa z rysunku 6.6 prezentuje
mapę transmisji przez układ, w którym przerwa między barierami (środkowy klocek) została
zmniejszona o połowę.
Rys. 6.4 Podwójna bariera symetryczna – dwie bariery oddzielone studnią
Rys. 6.5 Podwójna bariera z rysunku 6.4, masa cząstki równa masie elektronu
31
Rys. 6.6 Podwójna bariera o zwęŜonej o połowę studni, masa cząstki równa masie elektronu
6.3. Podwójna prostok
ą
tna bariera niesymetryczna
Ten podrozdział zawiera mapy transmisji przez układ nieidentycznych barier,
np. ostatni element jest znacznie szerszy (rys.6.7), lub wyŜszy (rys.6.10) od pierwszego.
Rys. 6.7 Niesymetryczna podwójna bariera
32
Rys. 6.8 Mapa transmisji przez barierę z rysunku 6.7, masa cząstki równa masie elektronu
Rys. 6.9 Niesymetryczna podwójna bariera – druga bariera trzy razy szersza od pierwszej
33
Rys. 6.10 Bariery o róŜnym potencjale oddzielone studnią
Rys. 6.11 Mapa transmisji przez barierę z rysunku 6.10
34
Rys. 6.12 Modyfikacja bariery z rys. 6.10 – druga bariera ma wysokość 7eV
6.4. Wielokrotne studnie potencjału
Rys. 6.13 Potrójna bariera
35
Rys. 6.14 Współczynnik transmisji przez barierę z rysunku 6.13
6.5. Tunelowanie cz
ą
stek o ró
Ŝ
nych masach
PoniŜej przedstawione mapy transmisji prezentują tunelowanie cząstek trzy razy
cięŜszych od elektronu przez wybrane bariery. Na rysunku 6.15 przedstawiliśmy mapę
transmisji przez pojedynczą barierę, a na rysunku 6.16 przez podwójną symetryczną barierę.
Rysunki 6.17 i 6.18 prezentują mapy transmisji przez podwójną barierę symetryczną
odpowiednio cząstek o masie 0,1 i 0,01 masy elektronu.
36
Rys. 6.15 Współczynnik transmisji przez pojedynczą barierę 5eV, masa cząstki: 3m
e
Rys. 6.16 Współczynnik transmisji przez podwójną barierę, masa cząstki: 3m
e
37
Rys. 6.17 Współczynnik transmisji przez podwójną barierę, masa cząstki: 0,1m
e
Rys. 6.18 Współczynnik transmisji przez podwójną barierę, masa cząstki: 0,01m
e
38
7. Wnioski
W niniejszej pracy przeanalizowano numerycznie wpływ parametrów prostokątnych
barier potencjalnych na prawdopodobieństwo transmisji i tunelowania T padających na nie
cząstek kwantowych. Nie zajmowaliśmy się przy tym bardzo interesującym zagadnieniem
wyznaczenia czasu tunelowania szeroko dyskutowanym m.in. w pracach [9 ÷ 12].
W celu obliczenia współczynnika transmisji T skorzystaliśmy z formalizmu macierzy
przejścia. Badanie bardziej skomplikowanych układów barier nieprostokątnych tą metodą
wymaga duŜych mocy obliczeniowych. Dlatego skupiliśmy się w tej pracy jedynie na
najprostszych.
Wyniki
obliczeń
numerycznych
przedstawiono
za
pomocą
map
transmisji/tunelowania
1
. Na osi poziomej i pionowej mapy zostały odłoŜone odpowiednio
szerokość układu barier i energia padającej cząstki. Zastosowane kolory reprezentują wartości
współczynnika transmisji lub tunelowania. Kolorem czerwonym zaznaczone duŜe jego
wartości, a niebieskim i czarnym małe.
PoniŜej przedstawiamy wnioski, które moŜna sformułować na podstawie zawartych
w pracy wybranych wyników.
Analizując mapy transmisji przez pojedynczą barierę 6.2, 6,3 oraz 6.15 moŜemy
stwierdzić jak na T wpływa zmiana masy cząstki oraz parametrów bariery (wysokości i
szerokości). Zgodnie z oczekiwaniami dla bardzo wąskich barier T przyjmuje duŜy wartości
(bliskie 1) nawet dla cząstek o bardzo małej energii. Natomiast, co ciekawe, gdy energia
cząstki jest nawet dwa razy większa niŜ potencjał bariery obserwujemy znaczne oscylacje
wartości T, tj. naprzemienny wzrost i spadek współczynnika transmisji przy ustalonej
szerokości bariery. Jest to zgodne z wynikami analitycznymi [2-5] i spowodowane tym, Ŝe
bariera staje się częściowo przeźroczysta (T<1) dla padającej na nią cząstki, jeśli szerokość
bariery jest całkowitą wielokrotnością długości fali de Broglie’a stowarzyszonej z cząstką
(2.9). Efekt ten staje się wyraźniejszy przy wyŜszych barierach (porównaj rys. 6.2 i 6.3 oraz
6.15). Obserwowane oscylacje amplitudy współczynnika T (dla ustalonych wysokości barier)
zanikają wraz ze wzrostem energii cząstki, a rosną wraz z szerokością bariery.
1
Mapa reprezentuje wartości współczynnika transmisji cząstek o energii wyŜszej od wysokości bariery/barier
oraz wartości współczynnika tunelowania, jeśli energia cząsteczki jest mniejsza od wysokości bariery/barier.
39
Omówimy zmiany współczynnika transmisji obserwowane w przypadku tunelowania
cząstki przez układ dwóch identycznych prostokątnych barier potencjału oddzielonych
studnią (rysunki 6.5 i 6.6). Wnioski płynące z analizy pojedynczej prostokątnej bariery są
nadal aktualne, ale naleŜy dodatkowo zauwaŜyć pojawienie się stosunkowo wąskich pasm
tunelowania w obszarze energii podbarierowych. Ich występowanie jest związane
z istnieniem stanów metastabilnych
2
w obszarze studni kwantowej, które są rozwiązaniami
stacjonarnego równania Schrödingera dla studni kwantowej o skończonej wysokości. Energia
stanów kwantowych cząstki w nieskończenie głębokiej studni potencjalnej o szerokości a
wyraŜa się wzorem
,....
3
,
2
,
1
,
2
2
2
2
2
=
=
n
ma
n
E
n
h
π
.
Padająca cząstka o energii bliskiej energii stanu metastabilnego tuneluje dzięki zjawisku
rezonansu [2-5], co jest ponownie zgodne z wynikami analitycznymi (cząstka tuneluje przez
pierwszą barierę, odbija się od drugiej bariery i interferuje z „nadlatującymi” cząstkami, co
prowadzi do powstania fali stojącej). Dla danej szerokości i wysokości studni liczba
metastablinych stanów jest skończona. Wraz ze wzrostem szerokości studni rośnie ich liczba,
co prowadzi do większej liczby pasm rezonansowych na mapach tunelowania (patrz rys. 6.5,
6.6). Ten sam efekt (zwiększanie się liczby pasm transmisji) zachodzi przy zwiększaniu masy
cząstki dla ustalonej szerokości studni (porównaj rysunki 6.5, 6.16, 6.17 i 6.18). Dodatkowo,
szerokość pasm transmisji ulega istotnemu zmniejszeniu wraz ze wzrostem masy cząstki.
Odwrotna tendencja, potwierdzająca nasz wniosek, jest zauwaŜalna na rys. 6.17-6.18, gdzie
przedstawiono mapy transmisji/tunelowania dla cząstek o mniejszych masach.
JeŜeli zakłócimy symetrię barier, np. poprzez zwiększenie szerokości jednej z nich
(rys. 6.7-6.9), to zaobserwujemy znaczne zmiany w mapach transmisji/tunelowania.
Współczynnik tunelowania osiąga duŜe wartości dla prawie ściśle określonych energii
padającej cząstki. Energie te ponownie odpowiadają energiom stanów metastabilnych cząstki
w obszarze studni kwantowej. Na rys. 6.8 i 6.9 współczynnik tunelowania w obszarze
podbarierowym jest praktycznie równy zeru za wyjątkiem bardzo wąskich obszarów energii
i szerokości barier, które zanikają na mapach wraz ze wzrostem szerokości zewnętrznych
barier. Jeśli energia cząstki jest zbliŜona do wysokości barier lub większa, to obserwujemy
2
UŜywamy tutaj słowa metastabilne dla podkreślenia faktu, Ŝe cząstka zlokalizowana w obszarze studni
kwantowej (patrz rys. 6.4) ograniczonej z dwóch stron skończonymi barierami potencjalnymi ma skończony
czas Ŝycia ze względu na moŜliwość tunelowania przez wspomniane bariery.
40
duŜe wartości współczynników transmisji lub tunelowania. Dla energii cząstki większej od
wysokości bariery obserwujemy znaczne róŜnicowanie się współczynnika transmisji
w porównaniu z przypadkiem bariery symetrycznej. Niesymetryczność zewnętrznych barier
(ich szerokości nie są równe) w obszarze tuŜ nadbarierowym powoduje na mapach transmisji
zauwaŜalny wzrost liczby wąskich obszarów wysokiej i niskiej transmisji. (porównaj rys. 6.5
i 6.8). Na rys. 6.8 widocznych jest znacznie więcej obszarów (określonych energią cząstki i
szerokością barier), w których współczynnik transmisji przyjmuje małe lub duŜe wartości.
Zaburzenie symetrii barier poprzez zróŜnicowanie ich wysokości (rys. 6.10-6.12)
powoduje znikanie wielu pasm tunelowania rezonansowego (obserwowanych np. na mapach
z rys. 6.6), co jest konsekwencją zmniejszenia się liczby stanów metastabilnych w płytszej
studni kwantowej.
Jeśli wysokość jednej z barier jest duŜo większa od wysokości drugiej, to mapa
transmisji odpowiada mapie transmisji przez pojedynczą barierę.
Godnym zauwaŜenia jest równieŜ fakt, Ŝe wyniki obliczeń numerycznych nie zaleŜą
od kolejności barier rozdzielonych studnią; uŜytkownik programu moŜe samodzielnie o tym
się przekonać. Oznacza to, Ŝe współczynniki transmisji/ tunelowania badanych układów nie
zaleŜą od tego z której strony padają cząstki.
Analiza wyników otrzymanych dla wielokrotnych studni potencjalnych (rys. 6.13-
6.14) wskazuje równieŜ na rezonansowy charakter tunelowania. Ze względu na to, Ŝe mapa
z rys. 6.14 odnosi się do układu zawierającego dwie symetryczne studnie kwantowe, to
widoczne są (zwłaszcza w obszarze odpowiadającym wąskim studniom, które reprezentuje
lewa część mapy) pasma tunelowania złoŜone z dwóch blisko siebie połoŜonych poziomów
rezonansowych. Jest to przejaw istnienia metastabilnych poziomów energetycznych cząstki
kwantowej umieszczonej w badanym układzie. W badanym układzie poziomy energetyczne
tworzą pary poziomów blisko siebie połoŜonych na skali energetycznej. Odległośc
energetyczna tych poziomów maleje wraz ze wzrostem szerokości barier lub studni
potencjalnych [1].
JeŜeli do układu dwóch studni dodamy następne, to otrzymamy dodatkowe pasma
rezonansowego tunelowania, w których liczba rezonansów będzie równa liczbie studni.
41
8. Podsumowanie
Główne osiągnięcia pracy to:
1.
Wyprowadzenie analitycznych formuł na macierze przejścia M
1
÷M
6
, których
jawne postacie przytoczono w rozdziale 4.
2.
Opracowanie środowiska programowego, wykorzystującego wyprowadzone
macierze
przejścia,
pozwalającego
uŜytkownikowi
na
badanie
jednowymiarowego
zjawiska
tunelowania
i
reprezentację
graficzną
współczynników transmisji i tunelowania w zaleŜności od:
•
wysokości i szerokości barier potencjalnych,
•
kolejności barier w układzie kwantowym,
•
liczby studni kwantowych,
•
energii padającej cząstki kwantowej,
•
masy cząstki kwantowej.
Stworzone środowisko umoŜliwia samodzielne wykonywanie eksperymentów
komputerowych dotyczących czysto kwantowego zjawiska jakim jest tunelowanie.
Interesującą opcją jest moŜliwość numerycznego analizowania za jego pomocą zjawiska
tunelowania w wąskich przedziałach energii (takich wyników w pracy nie zamieszczono)
problemem MoŜe ono słuŜyć równieŜ jako narzędzie dydaktyczne wspomagające kursy fizyki
i mechaniki kwantowej.
MoŜna zaproponować kilka sposobów rozwoju środowiska. Dotyczyłoby to m.in.
•
stworzenia uŜytkownikowi moŜliwości rysowania na ekranie monitora układu
barier o dowolnym kształcie, co pozwoliłoby analizować zjawisko transmisji i
tunelowania cząstek przez układ nieprostokątnych barier,
•
podglądu przekroju mapy transmisji dla określonej energii lub szerokości bariery.
Nie widzimy sposobu na zwiększenie szybkości działania środowiska innego niŜ
poprzez zmniejszenie dokładności obliczeń (wszystkie zmienne w zaprogramowanym
ś
rodowisku są przechowywane jako 10-bitowy typ extended) lub zmniejszenie gęstości siatki,
(obliczenia przeprowadzane są dla kaŜdego piksela mapy).
42
9. Literatura
[1]
W. Salejda, notatki do kursu „Wstęp do fizyki kwantowej” Studia inŜynierskie [152-
160], Wrocław 2003 r, W. Salejda, M. Tyc, M. Just, „Algebraiczne metody
rozwiązywania równania Schrödingera”, PWN 2002 r.
[2]
R. L. Liboff, „Wstęp do mechaniki kwantowej”, PWN 1987 r.; D. Griffiths,
„Introduction to Quantum Mechanics”, Prentice Hall 1995 .
[3]
R. Eisberg, R. Resnick, „Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych , jąder i
cząstek elementarnych“, Państwowe Wydawnictwa Naukowe 1983 r.
[4]
A. F. J. Levi, „Applied Quantum Mechanics”, Cambridge University Press 2003 r.
[5]
K.T. Hecht, „Quantum Mechanics”, Springer-Verlag New York, Inc. 2000 r.,
G. Bastard, „Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures”, Halsed
Press 1988 r.
[6]
E. Wnuczak, „Fizyka, Działy Wybrane“, Politechnika Wrocławska 1995 r.
[7]
K.Yu. Bliokh, V.D. Freilikher, N.M. Makarov, „Scattering by one-dimensional
smooth potentials: between WKB and Born approximation“, Physica E 27 (2005)
262–269
[8]
K. N. Muchin, „Doświadczalna fizyka jądrowa”, Wydawnictwa Naukowo-
Techniczne, Warszawa 1978 r.
[9]
Stefano De Leo, Pietro P. Rotelli, „Tunnelling through two barriers”, Physics Letters
A 342 (2005) 294–298.
[10]
V. S. Olkhovsky, E. Recami, A. K. Zaichenko, „Resonant and non-resonant tunneling
through a double barrier“, Europhysics Letters, 70 (6), pp. 712–718 (2005)
[11]
Ashok V. Pimpale, „Quantum tunneling time and tunneling in time-dependent
potentials: A general formulation and some exactly solvable models”, Progress in
Quantum Electronics, 28 (2004) 345–355
[12]
N.L.Chuprikov, „From the paradoxes of the standard wave-packet analysis to the
definition of tunneling times for particles”, arXiv:quant-ph/0106129 2002 r.