XXII Działania wewnętrzne, działania przemienne, działania łączne, element neutralny, prawo skracania. Definicja grupy. Podgrupy. Grupy abelowe.

Definicja

Niech
. Funkcję
nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze G jeżeli

(*)

I nie jest działaniem wewnętrznym jeżeli

(**)
.

Definicja

Strukturę algebraiczną
nazywamy półgrupą jeżeli spełniony jest w niej tak zwany aksjomat łączności czyli

I nie jest półgrupą jeżeli

.

Definicja

Półgrupę
nazywamy grupą jeżeli

1).
(element neutralny)

2).
(element odwrotny)

Definicja

Parę
nazywamy grupą, jeżeli

1).
(niepustość)

2).
(wewnętrzność)

3).
(łączność)

4).
(element neutralny)

5).
(element odwrotny)

Definicja

Grupę
nazywamy abelową jeżeli

(przemienność).

Definicja

Niech
będzie grupą i niech
. Jeżeli para
stanowi grupę, to nazywamy ją podgrupą grupy
.

Twierdzenie

Załóżmy, że
jest grupą oraz
. Wówczas
jest podgrupą grupy
wtedy gdy

1).

2).