Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

X = Z + ... + Z

1

80

Y = Z + ... + Z

1

20

cov( X , Y ) = cov( Z + ... + Z + Z + ... + Z ; Z + ... + Z

=

Z +

+ Z

=

⋅ ⋅ =

1

20

21

80

1

20 )

var(

...

1

20 )

1 1

20

5

2 2

1 1

var X = 80 ⋅ ⋅

= 20

2 2

1 1

var Y = 20 ⋅ ⋅

= 5

2 2

5

1

ρ( X , Y) =

=

20 5

2

Zadanie 2

X ≅ Γ( ,

4 2)

Y ≅ Γ ,

5

( 2)

X + Y ≅ Γ ,

9

( 2)

U ≅ Beta(

)

5

,

4

= 4

EU

= 4 → (A) NIE

4 + 5

9

EV = E( X + Y = 4

)

+ 5 = 9 → (E) NIE

2

2

2

X=UV

Y=V(1-U)

V U

JAKOBIAN =

= V 1

( − U ) + UV = V ≠ 0

-

V 1

- U

u ∈ (

)

1

,

0

v > 0

8

−

4

−

−

32

3

3

2 uv

4

4

2 v 1

(

u )

3

4

8

−2 v

f u

( , v) = u v e

v 1

( − u) e

v =

u 1

( − u) v e

3

3

9

32 3

4

8

−2 v

−

Γ

f ( u v)

u 1

(

u) v e

32 !

8

3

4

9

( )

9

=

=

u 1

( − u)

3

=

u 1

( − u)4 ≅ Beta(

)

5

,

4

29

9

−

Γ Γ

8

2 v

29

(4)

)

5

(

v e

Γ 9

( )

E( U V )

4

4

=

=

4 + 5

9

Zadanie 3

IX=W

( S = σ µ + µ σ

N )

2

var

N (

W )2

2

N

W

1

2 ⋅

2

1 16

8

4

σ

N =

=

=

2

 3 

2 9

9

 

 4 

1

2 ⋅

1 4

2

4

µ

N =

=

=

3

2 3

3

4

1

µ = EI

W

⋅ EX = ⋅ 2 = 1

2





+

2

2

2

1

EW

= EI ⋅ EX = 

+ 5

,

0 2 (1+ 22 ) 1 3

20

5

=

⋅5 =

=

12



12

12

3

2

5

2

σ

W =

−1 =

3

3

var( S

N )

8

2 2

8

4

12

4

= ⋅1+

= + =

=

9

3 3

9

9

9

3

Zadanie 4

Dla N > N

i n ∈ ( ,

0 ...,

)

6 N ≥ 6

2

1

1

7 

 N



 N 

2

1













 n 

 6 − n

6 

( N −5 N −

N −

1

)(

4

1

) (

....

6

2

)

L =

=

jest to niemalejąca

 N 

7 

 N



N + n −

N + n −

⋅⋅⋅ N + n −

2

1

(

5

1

)(

4

1

) (

6

2

)













6 

 n 

 6 − n

1

1

funkcja statystyki

=

X

n

 1





1 

P 

H

≥ t  = P  X

H

≤  = PH ( X ≤ m) 12

60

=

=

0

0

0

 X





t 

143

715

7 

 8 









0 

 6

28

4

60

P ( X

H

= 0) =

=

=

<

0

15

5005

715

715





6 

7 

 8





 

1 

 5

7 ⋅ 56

56

4

56

60

P ( X

H

= )

1 =

=

=

c

zyl

i P ( X

H

≤ )

1 =

+

=

0

5005

5005

715

0

715

715

715

czyli K = { }

1

,

0

czyli odrzucamy H gdy X<2

Zadanie 5

X ≅ Γ( ;

2 θ )

2

var X =

2

θ

2

dl

a H :

= 2 → θ = 1

0

2

θ

2

dl

a H :

= 5

,

0

→ θ = 2

1

2

θ

−2

20

∑

2 ∏

i

x

x e

i

20

−∑

L =

=

xi

2 e

−∑

∏

xi

x e

i

x

P

H (

−∑

220 e

i

> t =

0

) 0,05

x

P

e

i

t

P

x

t

H 0 ( −∑

−

> ⋅ 20

2

)= H 0(−∑ i >ln( −⋅20

2

)

prz

y H : X

X

0

≅ Γ( )

1

,

2

→ ∑ i ≅ Γ(20 )

1

,

→



X

4

6

4

7 8 



X

→

1

20

19

t

P

X

ln 2

t

,

0 05

y e dy

y

H

∑

−

− y

0 

i < −

( ⋅ ) =

=



∫

= =

=

Γ





(20)

2

0

2 X

19

t

2 X

= ∫

−

1

t

e dt =

χ (4 )

0

0

,

0 5

20

∫ 2

2

=

Γ(2 )

0 2

0

0

z tablic rozkładu

2

χ (40 ) 2

x = 26 5

, 09 → X ≈ 1 ,

3 25

i K = {∑ X

i < 1 ,

3 2 }

5

Zadanie 6

możliwe ilości kul po II etapie, oznaczamy te zdarzenia: a) gdy losujemy z urny A:

a1 – losujemy 2 białe kule – wtedy – (2b,5cz) a2 – losujemy 2 czarne kule – (4b,3cz)

a3 – losujemy 1 biała i 1 czarną – (3b,4cz) b) gdy losujemy z urny B:

a4 – losujemy 2 białe – (4b,3cz)

a5 – losujemy 1 biała i 1 czarną – (5b,2cz)

 2

 

1  2

1 1

1

P( a )

1 =

=

=

2 5 

2 10

20

 

 2

1 3

3

P( a 2) =

=

2 10

20

1 6

6

P( a )

3 =

=

2 10

20

1 6

6

P( a 4) =

=

2 10

20

1 4

4

P( a )

5 =

=

2 10

20

B2 – dwie kule jednakowego koloru w II etapie B3 – zdarzenie, że w III etapie kula biała P( B 2 ∩ B 3)

2 1

4 3

4 6

19

=

+

+

=

7 20

7 20

7 20

70

1 2

3 4

6 3

6 4

4 5

38

P( B )

3 =

+

+

+

+

=

20 7

20 7

20 7

20 7

20 7

70

P( B 2 ∩ B 3)

19 70

1

ODP =

=

=

P( B )

3

70 38

2

Zadanie 7

P( U = 1 X = = P

X

X

n

≥

0

)1 (min( ,...,

1

) )1

dla t ∈ (

)

1

,

0

P( U ≤ t X

0 =

)1= P(min( X ,..., X

1

≤

n )

t )

3 n

 1 

P(min( X ,..., X

≤ = 1− min ≥ = 1−

(

> ) = 1− 



1

) t)

P(

t )

n

P

X

t

n

1 + t 

3

 1 

P( U = 1

= 1 =  

0

)

n

X

 2 

3

 1 

P( U ≤ t X = 1 = 1− 



0

)

n

1 + t 

f (

n

n+

 1 



1



 1 

t X = 1 = 

−

 ⋅ 3 n 1

( + t)−

 = 3 n



0

)

3

3

1

2

1 + t 



1

( + t) 

1 + t 

3 n

1

3 n+

 1 

 1  1

ODP =  

+ ∫ t ⋅ n

3 



dt

 2 

1+ t 

1

0

4

4

4

2

4

4

4

3

A

2

1



−3 n+1

−3

x

x n  2

A = t + 1 = x = ∫ 3 n( x − ) 1

dx = 3 n

3 n+1



−

 =

x

3 n 1

3 n

1

 −

+

− 1

 2 3

− n 1

+

2 3

− n

1

1 

3 n

1

1

3

=

n

3 n

−

−

+

 =

+

−

−1

 − 3 n + 1 − 3 n 1− 3 n

− 3 n 1− 3 n 23 n 1− 23 n 1− 3 n 1

1

n

3

1

n

3

1 

n

3

 

n

3



ODP =

+

+

−

−1 =

1 +

 − 1+

 =

3 n

3 n

2

2

1 −

3 n−

n

3 2

1

1 −

3 n−

n

3

2

1 

1 − n

3 



1 − n

3 

 1



1



1 

1

= 

−1

= 1−



 23 n 1

−

 1 − 3 n



23 n 1

−  3 n −1

Zadanie 8

E( S

a − σ )2 → min

E( 2

S

S

a − 2

2

σ a +σ )→ min

X −1 ≅ N

i

( 2

;

0 σ

)



2

n



 n

S 2

a 2

X

1

a 2

X

2

1

n( n

)

1 X

1 X

1

a =

 ∑ i −  =

∑( i − )





+

−

i −

⋅ j − 

 i=1



 i=1



∞

2

2

− x

0

− x

E X

σ

σ

i − 1 = ∫

1

1

2 2

x

e

dx − ∫

2 2

x

e

dx =

2 σ

2 σ

0

Π

−∞

Π

∞

2

x

2

∞

−

− t

1

x

t

2

=

= 2∫

1

1

2

x

e σ dx =

= 2∫

2 2

e σ dt =

2 σ

2 xdx

dt

2

2 σ

0

Π

=

0

Π



t

 ∞

−

1

σ

σ

σ

σ

2

2

2 2

2

2

Π

2

Π

=

2

− 2

2

σ

σ

e

 =

=

=

=

2

Π

2 σ 



2

Π

2 σ

Π

2

Π

2

Π

0

n

∑( X

2

−1

i

)

n





i 1

=

2

≅ χ ( n) → E∑

−1  = σ

2

( X

2

2

i

)

n

σ

 =



i 1



2

σ

2

2

2

Π

2







ES

σ

σ

a =

2

2

2

a 

n + n( n − )

1

a

n

n n

2

 =

 + ( − )

1





Π





Π 

σ Π

ES

a =

2

an

Π

E( S

a − σ )2



2 

n 2

2

2

2

Π

= a σ  n + n( n − ) 1

 − 2 aσ

+ 2

σ =



Π 

Π









Π

2

2

2

2

=

n

σ  a  n + n( n − ) 1

 − 2 a

+1 → min





Π 

Π



2 n 2Π

1

2Π

2Π

2Π

minimum dla a =

=

=

=

Π



2 



2 

Π + (

2 n − )

1

2 n + Π − 2

2 n + n( n − )

1



Π1+ ( n − )

1





Π 



Π 

Zadanie 9

X ≅ b

( − a) J g

dzi

e J ≅ J (

)

1

,

0

i

i

i

X = max( J ,..., J

1

n )

Y = min( J ,..., J

1

n )

f ( x)

n 1

X

=

−

nx

d

l

a x ∈ (

)

1

,

0

f ( y)

Y

= n 1

( − y) n 1

− d

l

a y ∈ (

)

1

,

0

( x − y n−

) 2 1

( − x)0

f

( y, x)

,

= n ⋅!

= n( n − )

1 ( x − y n−

) 2 d

la y < x

Y X

⋅!

0 ( n − )

2 ⋅! !

0

1



n+1

n

nx

1

EX = ∫ nx =

n



 =

n 1

n 1

0

 + 

+

0

1

1

1



n+1

n

n

n

n

n

nt

1

EY = ∫

n

n 1

( −

−

1

1

y)

y = 1 − y = t = ∫

−1

nt

1

( − t) = ∫

−1

nt

− nt =  t −

 = 1 −

=

n 1

n 1

n 1

0

0

0



+ 

+

+

0

1



n+2

n

nx

1

n

2

EX

= ∫

+1

nx

= 

 =

n

2

n

2

0

 + 

+

0

1

1



n+1

n+2

n

n

n

2 nt

nt

1

2

EY = ∫ n 1

( −

−1 2

y)

y = 1 − y = t = ∫

−1

nt

(1−2 t + 2 t)=  t −

+

 =

n 1

n

2

0

0



+

+ 0

2

2

n

n

n + 3 n + 2 − 2 2

n − 4

2

n + n + n

2

= 1−

+

=

=

n + 1

n + 2

( n + )

1 ( n + )

2

( n + )

1 ( n + )

2

1 1

1 −

1 y

E( XY ) = ∫ ∫

n−

n( n − )

1 ( x −

2

y)

xydxdy = x − y = t = ∫ ∫

n−

n( n −

2

)

1 t

( t + y) ydtdy =

0 y

0

0

1



y

n

n 1

t

yt

 −

−

1

1

 1

( − y) n

y 1

( −

n−1

y)



= ∫ n( n − )1 y +



dy = ∫ n( n − )

1 y

+

 dy = 1 − y = x =

n

n 1

n

n 1

0



− 0

0



−



1

 xn

1

( −

n−1

x) x



1

 n

n−1

n

n+1

n

n+1

x

x

x

x

x

x



= ∫ n( n − )1 1(− x ) +

 = ∫ n( n − 

)

1

+

−

−

−

+

 =

n

n 1

n

n 1

n 1

n

n 1

n 1

0



−



0



−

−

−

− 

1

 n−1

x

n + 1

n

1





n+2

n

n

n

x

1

= ∫ n( n −

+

1

1

1

+

)

1 

−

x +

x

 =  x −

1

x

+

 = 1 −1 +

=

n 1

n( n

)

1

n( n

)

1

n

2

n

2

n

2

0

 −

−

−





+ 

+

+

0

E[ c(

 n



n −

n +

max− min)]

1

1

1

= c

( b − a) −

( b − a)  = c( b − a)

= b − a → c =

 n +1

n + 1



n + 1

n −1

E[ c(max− min)]2 = ( b −

2

2

a) c [

2

EY − 2 E( XY ) +

2

EX ] =



n

2

2

2

2



= c ( b − a) 

−

+

 =

 ( n + )

1 ( n + 2)

n + 2

n + 2 

( n + 2

)

1

2

2( n

)

1

n( n

)

1

n 1 2

2 n

2

n

n

2

−

+ +

+

+

−

− + 2 +

= ( b − a)

=

( b −

2

a) =

( n − 2

)

1

( n + )

1 ( n + 2)

( n − 2

)

1

n + 2

n + 1 n( n − )

1

( n + )

1 n

2

2

=

( b − a) =

( b − a)

2

( n − )

1

n + 2

( n − )

1 ( n + 2)

( n + )

1 n

n

n

n

n

2

2

2 (

+ )

1

− ( − )

1 ( +

var =

( b − a) − ( b − a) = ( b −

2)

a)

=

( n − )

1 ( n + 2)

( n − )

1 ( n + 2)

2

2

n + n − n − 2 n + n + 2

b − a

2

(

2

)2

=

( b − a) =

( n − )

1 ( n + )

2

( n − )

1 ( n + )

2

Zadanie 10

L = θ (∏ X

i )θ 1

−

10

10

ln L = 10 lnθ + (θ − )

1 ∑ ln x

i

i=1

∂

10

10 + θ ∑ ln x

=

+ ∑

10

ln x = 0 →

i

ˆ

0

θ

i

= → = −

∂θ

θ

θ

∑ln xi

dla t ∈ (−∞ 0

; )

P(

exp( t )

x < t) = P( X < t e ) = ∫

θ −1

t

ln

x

θ

dx = [ xθ ]exp( )

t

e θ

0

=

0

czyli − ln X ≅ wykl(θ ) 10

− ∑ln X

θ

X

i ≅ Γ 1

(

,

0

) ≅

i=1

10 c

10

10

10

P(

θ

c

c

θ

θ < θ

c ˆ)









= P θ < −

= P(θ X < 10 c)





= P X <

 =

9

−θ x





∫

x e

dx



∑

=

ln X



1

( 0)

i

θ 



Γ

0

2 x

θ = t

20 c

=

2

dt = ∫ χ (20) dt = ,

0 05 → 20 c = 10 8

, 51 → c ≈ 5

,

0 4

dx =

0

2θ

10

10

P(θ > dθˆ)







d



= P θ > −

= P(θ X > 10 d )



d 

= P X >

 =





∑

ln X



i

θ 





∞

10

∞

θ

= ∫

9

−θ x

x e

dx = θ x = t = ∫ χ 2 (2 ) 0 dx =

0

,

0 5 → 20 d = 3 ,

1 41 → d ≈ 5

,

1 7

1

(

)

0

10 d Γ

20 d

θ