Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2002 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
B
A
A
A
B
A
B
∩
−
=
∩
−
Ω
=
∩
′
(
)
B
A
B
B
A
A
B
∩
−
=
∩
−
Ω
=
′
∩
(
)
(
)
( )
3
1
2
1
)
(
=
′
′
∩
=
∩
′
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
(
)
(
)
(
)
x
B
A
P
OZN
A
P
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
A
P
=
∩
=
−
∩
−
=
∩
−
:
3
1
)
(
1
)
(
2
1
)
(
)
(
p
x
x
p
p
p
x
p
p
x
p
2
1
2
1
3
1
1
2
1
=
→
−
=
→
=
−
−
=
−
p
p
p
p
p
p
2
1
3
1
3
1
3
1
1
2
1
−
=
−
→
=
−
−
3
1
6
5
=
p
5
2
5
6
3
1
=
=
p
Zadanie 2
Rozkład hipergeometryczny
1
var
1
1
−
−
=
n
n
n
pq
n
nie ma znaczenia – chodzi o podział na grupy
(
)
2
1
S
var
kul
14
.
1
S
+
( )
1
S
var
kul
6
.
2
( )
2
S
var
kul
8
.
3
1.r=14, n=25, n1=15
2. r=6
3. r=8
25
11
25
14
24
10
15
var
.
1
⋅
=
25
19
25
6
24
10
15
var
.
2
⋅
=
25
17
25
8
24
10
15
var
.
3
⋅
=
(
)
(
)
+
=
−
+
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
n
µ
n
λ
n
n
µ
n
λ
n
q
p
q
q
p
p
(
)
(
)
(
)
(
)
µ
n
λ
µ
n
µ
n
λ
n
p
p
p
p
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
−
+
−
=
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
(
)
λ
µ
µ
µ
λ
µ
n
p
p
p
p
−
−
−
−
−
−
+
−
−
=
→
−
+
−
=
2
2
1
2
1
2
1
2
2
:
lim
(
)
µ
λ
λ
n
µ
n
λ
n
q
q
q
q
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
→
→
+
−
=
2
2
1
2
lim
2
1
2
1
1
=
+
−
+
+
−
−
=
−
+
+
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
µ
λ
λ
λ
µ
µ
µ
λ
ODP
5
4
5
1
5
3
5
4
2
1
2
1
5
4
4
3
=
+
=
+
=
Zadanie 6
≅
≅
385
,
0
,
100
,
0
2
2
σ
N
Y
σ
N
X
(
)
Y
X
P
>
Γ
≅
>
=
>
≅
≅
2
1
,
100
385
10
385
385
10
2
2
)
1
,
0
(
)
1
,
0
(
Y
X
Y
σ
X
σ
P
σ
σ
Y
σ
σ
X
P
N
N
4
8
47
6
8
7
6
)
1
,
1
(
85
,
3
)
85
,
3
(
F
X
Y
X
Y
P
X
Y
P
≅
<
=
<
∫
∫
Π
=
Γ
Γ
=
+
Γ
=
=
=
=
+
Γ
Γ
−
85
,
3
0
85
,
3
0
2
2
2
2
2
2
1
)
5
,
0
(
,
85
,
3
)
5
,
0
(
2
1
2
)
5
,
0
(
1
)
1
(
)
5
,
0
(
)
5
,
0
(
1
arctg
dt
t
t
x
t
x
dx
x
x
arctgx
x
f
=
)
(
2
1
1
)
(
x
x
f
+
=
′
(
)
2
2
1
2
)
(
x
x
x
f
+
−
=
′′
(
)
3
2
2
1
2
6
)
(
x
x
x
f
+
−
=
′′′
( ) (
) ( )
( )
6
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
2
6
1
12
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
IV
+
+
−
−
+
=
rozwinięcie w Taylora wokół
1
0
=
x
:
bo
7
,
0
0
)
1
(
≈
→
=
ODP
f
IV
....
6
)
1
(
8
4
2
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
4
3
2
−
+
−
−
−
+
Π
x
x
x
( )(
)
∑
=
−
≈
N
k
k
k
k
x
x
x
f
x
f
0
0
0
)
(
!
)
(
Zadanie 7
( )
∫
−
−
−
−
−
−
=
−
=
+
−
−
=
=
≤
<
−
=
=
k
k
λ
k
λ
k
λ
k
λ
x
λ
k
e
e
e
e
dx
e
λ
k
W
k
P
k
Z
P
1
)
1
(
,...
2
,
1
1
1
1
)
1
(
)
(
( )
n
λ
S
λ
e
e
L
1
−
=
−
( )
1
ln
ln
−
+
−
=
λ
e
n
S
λ
L
0
1
=
−
+
−
=
∂
∂
λ
λ
e
ne
S
λ
( )
λ
λ
ne
S
e
=
−
1
S
n
S
e
λ
=
−
)
(
n
S
S
e
λ
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
S
n
S
n
S
n
S
S
λ
1
ln
ln
ln
ˆ
max
0
1
→
<
−
−
=
′′
λ
λ
e
e
f
Zadanie 8
F(t)-F(-t)=0,995 t(13)
Z tego: t=3,735 (moŜna znaleźć dokładne tablice lub przybliŜając)
)
13
(
13
2
2
2
χ
σ
S
≅
po przekształceniach:
≤
≤
−
≅
σ
St
σ
X
σ
St
P
N
15
15
14
15
)
1
,
0
(
8
7
6
6
,
0
)
96
,
0
(
)
96
,
0
(
15
)
13
(
15
≈
−
−
≈
≤
≤
−
F
F
t
t
t
P
