Przykład 1.2. Wyznaczanie przyśpieszenia punktu Punkt M porusza się po torze parabolicznym o równaniu y = kx2 ze stałą prędkością Vo .

Znaleźć przyśpieszenie tego punktu w funkcji jego położenia.

ROZWIĄZANIE

Zilustrujmy treść zadania na rysunku 2.A.

y

VM

M

yM

α

xM

x

rys 2.A

Wektor

prędkości punktu jest w każdej chwili styczny do toru. Znając równanie trajektorii można więc określić kierunek stycznej do paraboli i tym samym kierunek wektora VM . Oznaczając jako α kąt nachylenia stycznej do toru (rys. 2.A) mamy d

tgα =

( y( x ) ) = 2kx .

dx

Przez kąt α można wyrazić składowe wektora prędkości punktu M jako V

= V cosα

Mx

M

V

= V

α

My

M sin

Wykorzystując zależności trygonometryczne 1

tg

cosα =

, sinα

α

=

,

1 + 2

tg α

1 + tg2α

otrzymujemy

1

2k ⋅ x

V

= V

=

Mx

o

,

V

V

My

o

.

1 + 4k 2 x2

1 + 4k 2 x2

Wyznaczone

składowe wektora prędkości pozwalają określić składowe wektora przyśpieszenia. Wykorzystując reguły różniczkowania funkcji złożonej otrzymujemy 1

d

dV

dx

dV

a

=

V

V

Mx

( Mx ) = Mx ⋅ = Mx ⋅

=

Mx

dt

dx

dt

dx

8k 2 x

V

2

2

4k x

= − V

⋅

o

= − V

o

,

3

2 2

2

2 (

o

1 + 4k 2 x2 ) 1 + 4k x

( 1+ 4k2x2)

d

dVMy dx dVMy

2 k

a

=

=

⋅

=

⋅

=

My

( VMy)

2

V

V

dt

dx

dt

dx

My

o (

2

1+ 4 k x )2

2

Określenie długości wektora przyśpieszenia punktu M sprowadza się teraz do obliczenia sumy geometrycznej składowych a

, a

Mx

My

2

2

2

2k

a

= a

+ a

= V

M

Mx

My

o

.

( 1+

3

4k 2 x2 )

Kąt β nachylenia wektora przyśpieszenia do osi x określony jest związkiem a

tg

Mx

β =

= − 1 .

a

2k

My

x

1

Ponieważ tgβ

α β π

= −

⇒

+ =

. Oznacza to, że wektor przyśpieszenia jest tgα

2

prostopadły do wektora prędkości.

Kierunek wektora przyśpieszenia można określić także w inny sposób. Całkowite przyśpieszenie punktu poruszającego się ze stałą co wartości prędkością jest równe przyśpieszeniu normalnemu, czyli jest skierowane prostopadle do kierunku ruchu.

2