Fizyka
Program przedmiotu:
30 godzin wykładu - dr Krystyna Chłędowska
15 godzin ćwiczeń audytoryjnych
15 godzin laboratorium
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Katedra Fizyki
pracownicy
Fizyka
Program przedmiotu:
30 godzin wykładu - dr Krystyna Chłędowska
15 godzin ćwiczeń audytoryjnych
15 godzin laboratorium
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Katedra Fizyki
pracownicy
Literatura
1. C. Bobrowski, Fizyka – krótki kurs, WNT Warszawa 2003
2. K. Chłędowska, R. Sikora, Wybrane problemy fizyki z rozwiązaniami
cz. I, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2008
3. K. Chłędowska, R. Sikora, Wybrane problemy fizyki z rozwiązaniami
cz. II, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2010
4. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki ,PWN, Warszawa
1999
5. J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inżynierów, WNT Warszawa
1980
6. J. Orear, Fizyka, WNT Warszawa 1999
7. I.W. Sawieliew, Wykłady z fizyki, PWN Warszawa 1994
Zaliczenie przedmiotu:
Uzyskanie zaliczenia z ćwiczeń
audytoryjnych
Egzamin po II semestrze:
Część pisemna – zadania + teoria
Przestrzeń trójwymiarową
określamy podając trzy wektory, zwane wektorami bazy.
Mogą nimi być trzy wzajemnie prostopadłe wektory
których długości są równe jedności (wersory)
3
2
1
,
,
e
e
e
1
3
2
1
e
e
e
Wektory te definiują tzw. kartezjański układ współrzędnych, w
którym są one zwyczajowo oznaczane jako
Dowolny wektor możemy przedstawić jako kombinację
liniową wersorów
k
j
i
,
,
a
z
y
x
z
y
x
a
a
a
k
a
j
a
i
a
a
,
,
z
y
x
a
a
a
,
,
gdzie: odpowiednie składowe wektora
a
.
Elementy rachunku wektorowego
a
i
j
k
x
y
z
a
x
a
y
a
z
2
2
2
z
y
x
a
a
a
a
a
Suma wektorów
c
b
a
W kartezjańskim układzie współrzędnych:
k
b
a
j
b
a
i
b
a
c
z
z
y
y
x
x
)
(
)
(
)
(
Różnica wektorów:
)
( b
a
b
a
b
c
a
x
y
z
Iloczyn skalarny wektorów:
)
,
(
cos
b
a
b
a
b
a
lub przy pomocy składowych wektorów w układzie kartezjańskim jako:
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
b
a
b
k
b
j
b
i
a
k
a
j
a
i
b
a
Iloczyn skalarny dla wektorów prostopadłych jest równy zeru.
0
,
0
,
0
90
cos
1
,
1
,
0
cos
0
1
k
j
k
i
b
a
j
i
b
j
a
i
k
k
j
j
b
a
b
a
i
i
b
i
a
i
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
)
,
(
cos
b
a
b
a
b
a
a
b
)
,
(
cos
b
a
a
c
b
a
Iloczyn wektorowy:
jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez
obydwa wektory
Długość wektora
:
)
,
(
sin
b
a
b
a
c
jest równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach
Iloczyn wektorowy wektorów równoległych jest równy zeru.
c
wektor pierwszy w iloczynie
wektorowym obracamy o
mniejszy kąt w prawo tak by
doprowadzić go do pokrycia
się z wektorem drugim w
iloczynie wektorowym. Zwrot
wektora jest zgodny z
kierunkiem ruchu końca śruby
prawoskrętnej.
Zwrot wektora
a
b
c
c
Składowe wektora w układzie kartezjańskim,
możemy wyznaczyć obliczając wyznacznik:
c
)
(
)
(
)
(
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
y
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
k
b
a
b
a
j
b
a
b
a
i
b
b
b
a
a
a
k
j
i
.
Elementy analizy matematycznej
Funkcje
Zmienna
y
nazywa się
zmienną zależną
albo
funkcją
zmiennej x
jeśli przyjmuje określone wartości dla każdej wartości zmiennej x w
jej pewnym przedziale zmienności.
)
(
)
(
x
y
y
x
f
y
lub
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
2
4
6
8
10
y
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
2
4
6
8
10
y
x
2
2x
y
3
4
2
2
x
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
5
10
15
20
25
30
y
x
x
x
x
y
2
3
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4
-2
0
2
4
y
x
x
y 3
Pochodna funkcji
x
y
A(x
o
,y
o
)
B(x
1
,y
1
)
β
∆y
∆x
y
y
y
x
x
x
1
1
Pochodna funkcji
x
y
dx
dy
y
x
0
lim
α
tan
dx
dy
Pochodna funkcji w danym punkcie jest równa
współczynnikowi
kierunkowemu stycznej
do wykresu funkcji w tym punkcie.
Wyrażenie
dy = y’dx
nazywa się różniczką funkcji y = y(x),
dx
– jest różniczką
argumentu x.
2
2
dx
y
d
dx
dy
dx
d
Różniczkując pierwsza pochodną po x, otrzymamy drugą pochodną
itd……
1
0
)
(
dx
dc
c
x
y
c = const
2
dx
dy
c
dx
cy
d
)
(
3
dx
dy
dx
dy
dx
dy
y
y
y
2
1
2
1
4
dx
dy
y
y
dx
dy
dx
dy
y
y
y
2
1
2
1
2
1
Podstawowe wzory rachunku różniczkowego
5
2
2
2
1
2
1
2
1
y
dx
dy
y
y
dx
dy
dx
dy
y
y
y
6
dx
dy
dy
dz
dx
dz
x
g
y
y
f
z
)
(
),
(
Pochodna funkcji złożonej
Pochodne funkcji elementarnych
y=f(x)
y’
y=f(x)
y’
x
1
cosx
-sinx
x
n
nx
n-1
tgx
1/cos
2
x
e
x
e
x
ctgx
-1/sin
2
x
lnx
x
-1
a
x
a
x
lna
sinx
cosx
Rachunek całkowy – całka nieoznaczona
Całką nieoznaczoną
lub funkcją pierwotną funkcji y =
f(x) nazywamy taką funkcję F(x), której
pochodna
jest równa danej funkcji
f(x)
Całkę nieoznaczoną zapisujemy symbolicznie jako
)
(
)
(
'
)
(
x
f
x
F
dx
x
dF
)
(
)
(
'
)
(
)
(
x
dF
dx
x
F
dx
x
f
x
F
Całki funkcji elementarnych
1
1
1
n
c
n
x
dx
x
n
n
c
x
x
dx
ln
c
e
dx
e
x
x
1
,
0
,
ln
a
a
c
a
a
dx
a
x
x
c
x
xdx
cos
sin
c
x
xdx
sin
cos
c
x
x
dx
tan
cos
2
c
x
x
dx
cot
sin
2
Całka oznaczona
Funkcja y = f(x) jest ciągła w przedziale
<
a,b
>
zmiennej x.
a
b
Całka oznaczona jest równa polu ograniczonemu osią x
i krzywą f(x)
b
a
b
a
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
Przykład
c
x
xdx
x
y
2
2
Całka oznaczona w przedziale
<
-2,3
>
5
.
2
4
9
2
1
2
3
2
2
3
2
x
xdx
-2
-2
3
3
y = x
Pole trójkąta
ah
P
2
1
+
-
5
.
4
3
3
2
1
P
2
2
2
2
1
P
5
.
2
2
5
.
4
P
P
P
Kinematyka punktu materialnego
Punkt materialny – ciało obdarzone masą, ale nie
posiadające objętości. Ruch postępowy każdego
rzeczywistego obiektu można opisać jako ruch punktu
materialnego.
Przemieszczenia liniowe wszystkich elementów samochodu
są
jednakowe
Przemieszczenie liniowe elementów pręta
zależy
od
odległości od osi obrotu
A
B
)
(t
r
Jest to promień wodzący poprowadzony z początku układu
współrzędnych do tego punktu.
y
z
0
1
r
1
2
r
2
r
Położenie punktu materialnego określa
wektor położenia
y
z
0
r
1
r
2
r
Punkt 2 wybieramy blisko punktu 1
1
r
2
r
1
2
r
r
r
.
t
r
t
t
r
r
v
śr
1
2
1
2
.
dt
r
d
t
r
t
v
t
0
lim
)
(
Wektor przemieszczenia opisujący zmianę położenia punktu
materialnego z punktu opisanego wektorem położenia do
punktu opisanego wektorem
Wektor przemieszczenia podzielony przez czas, w którym to
przemieszczenie nastąpiło jest
prędkością średnią
punktu
materialnego
Prędkość punktu materialnego w danej chwili (t0) jest
prędkością chwilową
dt
r
d
v
t
v
)
(
Wartość prędkości chwilowej
jest zawsze liczbą dodatnią.
Wektor prędkości jest
zawsze
styczny do toru
poruszającego się punktu.
v
v
t
v
a
śr
dt
v
d
t
v
t
a
t
0
lim
)
(
Przyspieszenie
określa zmianę wektora prędkości w czasie.
Przyspieszenie średnie
Jeśli t 0, przyspieszenie chwilowe
z
y
x
0
v
1
v
2
v
t
v
a
śr
dt
v
d
t
v
t
a
t
0
lim
)
(
Przyspieszenie
określa zmianę wektora prędkości w czasie.
Przyspieszenie średnie
Jeśli t 0, przyspieszenie chwilowe
0
x
y
θ
∆θ
v
1
v
2
ε
R
ε
θ
ε
θ,
ε
R
– wektory jednostkowe
ε
θ2
ε
θ1
∆ε
∆θ
Przyspieszenie styczne i normalne
v
v
v
1
v
2
r
1
r
2
Δv
1
2
Jeśli punkt 2 wybierzemy blisko punktu 1 wektor Δv będzie
skierowany do środka okręgu.
v = const
Wektor prędkości w układzie biegunowym
- wektor jednostkowy. Jeżeli
to obydwie wielkości występujące w powyższym wzorze
zmieniają się w czasie Przyspieszenie punktu materialnego
dt
d
v
dt
dv
dt
v
d
a
v
v
const
v
Oznacza to, że w dowolnym punkcie ma kierunek a wartość
Wektor
w przypadku granicznym,
jest skierowany do środka okręgu.
1
2
0
t
r
r
v
dt
d
t
dt
d
r
r
t
r
0
lim
ε
θ2
ε
θ1
∆ε
∆θ
r
v
dt
dv
a
r
2
dt
dv
a
r
v
a
n
2
n
r
a
a
a
2
2
n
a
a
a
przyspieszenie styczne do toru
przyspieszenie normalne, prostopadłe do toru
0
r 1
r2
Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe
Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu r. W
czasie wektor jednostkowy opisuje mały kąt
t
r
v
r
r
v
r
a
dt
d
t
t
,
lim
0
Przyspieszenie kątowe
Radian jednostka kąta
długość łuku
promień
r
1
r
2
s
1
s
2
2
2
1
1
r
s
r
s
r
s
v
r
dt
ds
r
dt
d
1
1
a
r
dt
dv
r
dt
d
1
1
Dynamika punktu materialnego
1. Dane jest ciało o ściśle określonych własnościach
2. Ciało umieszczamy w znanym otoczeniu –
potrafimy określić siły, które na niego działają
Pytamy:
jaki będzie ruch tego ciała?
r
F
M
m
r
r
r
Mm
G
F
2
2
2
11
10
66
.
6
kg
Nm
G
r
+q
+Q
r
r
r
k
F
2
F
2
2
12
10
8542
,
8
Nm
C
o
2
2
9
10
9
4
1
C
Nm
k
o
k
m
kx
F
1
F
1
Jeżeli dodatkowo występuje tarcie pomiędzy masą m a powierzchnią, to
fmg
F
2
f – współczynnik tarcia
I
1
I
2
F
F
l
a
I
I
F
2
1
0
2
4
Am
Wb
7
0
10
4
Zasady dynamiki Newtona
I zasada dynamiki
Każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub ruchu
jednostajnego po linii prostej dopóty, dopóki nie zostanie
zmuszone za pomocą wywierania odpowiednich sił do zmiany
tego stanu.
I zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli w pobliżu danego ciała
nie ma innych ciał (a więc nie działają siły), to można znaleźć
taki układ odniesienia, w którym ciało nie będzie mieć
przyspieszenia.
Isaac Newton 1642-1721
Układ S spoczywa, układ S’ porusza się ze stałą prędkością v.
S’
S
Obserwator znajdujący się w układzie S’ stwierdza:
chłopiec spoczywa
Obserwator znajdujący się w układzie S stwierdza:
chłopiec porusza się z prędkością v = const.
Obydwaj obserwatorzy stwierdzą”
przyspieszenie chłopca a = 0.
Fakt, ze ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą
prędkością, jeśli nie przykładamy do niego żadnej siły wiąże
się z właściwością materii zwaną bezwładnością (inercją).
Układy, w których obowiązuje I zasada dynamiki nazywamy
układami inercjalnymi.
II zasada dynamiki
Jeżeli na ciało działa wypadkowa siła to przyspieszenie
tego
jest wprost proporcjonalne do działającej siły a odwrotnie do
masy ciała.
Jeśli określimy siły działające na ciało, to znając warunki
początkowe
możemy wyznaczyć położenie ciała, jego prędkość i
przyspieszenie w dowolnej chwili.
F
m
F
a
o
o
r
r
v
v
t
,
,
0
Równanie
jest równaniem wektorowym.
2
2
dt
r
d
m
dt
v
d
m
a
m
F
m
F
a
z
y
x
F
F
F
F
F
,
,
2
2
2
2
2
2
dt
z
d
m
dt
dz
dt
d
m
dt
dv
m
F
dt
y
d
m
dt
dy
dt
d
m
dt
dv
m
F
dt
x
d
m
dt
dx
dt
d
m
dt
dv
m
F
z
z
y
y
x
x
Z II zasady dynamiki wynika
- pęd ciała.
Siła działająca na ciało jest równa szybkości zmian pędu ciała.
Rozwiązując ostatnie równanie otrzymamy
Zmiana pędu ciała jest równa popędowi działającej siły
dt
p
d
v
m
dt
d
dt
v
d
m
a
m
F
t
p
p
t
o
dt
F
p
p
dt
F
p
d
dt
F
p
d
o
0
0
p
v
m
popęd siły
III zasada dynamiki
Wszelkie działanie jest równe przeciwdziałaniu.
Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą to ciało B działa na
ciało A siłą równą co do wartości, ale o przeciwnym
zwrocie
AB
F
BA
F
BA
AB
F
F
const
p
p
p
p
dt
d
dt
p
d
dt
p
d
2
1
2
1
2
1
0
dt
p
d
F
dt
p
d
F
2
2
1
1
,
Zasada zachowania pędu
Założenia:
• układ składa się z dwóch oddziałujących ze sobą cząstek
• nie ma żadnych sił zewnętrznych działających na ten układ.
Z II zasady dynamiki wynika, że
z III zasady dynamiki
Dopóki rozpatrujemy tylko siły
wewnętrzne
całkowity pęd układu
jest stały.
Zwiększenie
pędu jednej cząstki musi spowodować
zmniejszenie
pędu drugiej cząstki.
const
p
p
p
p
p
N
i
i
N
1
3
2
1
........
1
2
2
1
2
2
1
1
0
m
m
v
v
v
m
v
m
Uogólnienie dla układu N ciał
Napęd odrzutowy
x’
y’
S’
0’
z’
P
r’
o
r
r
r
'
Nieinercjalne układy odniesienia
- układy poruszające się prostoliniowo z przyspieszeniem:
układ S’ porusza się prostoliniowo z przyspieszeniem a
o
względem
układu inercjalnego S
o
r
r
o
r
r
r
'
o
o
v
v
v
dt
r
d
dt
r
d
dt
r
d
'
'
prędkość punktu P
względem układu S
prędkość punktu P
względem układu S’
prędkość układu S’
(prędkość unoszenia)
Przyspieszenie
o
o
a
a
a
dt
v
d
dt
v
d
dt
v
d
a
'
'
o
o
a
m
a
m
a
m
a
m
a
m
a
m
'
'
b
o
F
a
m
F
a
m
b
F
F
a
m
'
.
siły bezwładności
działające na
punkt materialny – pseudosiły, siły
pozorne
Zwrot wektora sił bezwładności jest przeciwny do zwrotu
wektora przyspieszenia
siły rzeczywiście działające na punkt
materialny pochodzące od otoczenia
II zasada dynamiki w układzie nieinercjalnym
- układy obracające się:
a) siła odśrodkowa – działa na każde ciało znajdujące się w
odległości od osi obrotu
b) siła Coriolisa – działa na ciało poruszające się z
prędkością względem układu obracającego się
'
r
'
v
'
,
,
'
,
sin
'
2
,'
2
v
F
v
v
m
F
v
m
F
C
C
C
.
r
r
r
v
m
r
m
r
m
F
o
2
2
'
'
v
c
a
'
2
v
m
F
C
'
2
v
a
C
Siła Coriolisa na Ziemi
Gustave Gaspard de Coriolis
1792 - 1843.
Czy laboratorium znajdujące się na powierzchni Ziemi jest
układem inercjalnym?
Ziemia wykonuje dwa ruchy obrotowe:
a) wokół własnej osi
przyspieszenie dośrodkowe
b) wokół Słońca
przyspieszenie dośrodkowe
2
2
2
2
6
2
2
2
2
1
s
m
10
38
.
3
s
3600
24
m
10
4
.
6
4
4
z
z
d
R
T
R
a
2
3
2
2
11
2
2
2
2
2
s
m
10
95
.
5
s
3600
24
365
m
10
5
.
1
4
4
s
z
s
z
d
R
T
R
a
Tak, ale ze względu na niewielkie wartości przyspieszeń tę
„nieinercjalność” można pominąć w zjawiskach, które będziemy
omawiać.
Prawo zachowania energii
• prawa zachowania są niezależne od własności toru, a
często również od własności danej siły
• prawa zachowania mają zastosowanie nawet wtedy, gdy
siły są nieznane
• prawa zachowania stanowią dogodną pomoc w
rozwiązywaniu zagadnienia ruchu cząstki.
Cząstka o masie m nie jest poddana działaniu żadnej siły. W
chwili t = 0 do cząstki przyłożono siłę
p
F
const
F
p
m
F
a
ma
F
p
p
Prędkość cząstki
at
v
t
v
0
)
(
0
0
,
,
0
x
x
v
v
t
0
0
)
(
v
t
v
F
m
t
t
m
F
v
t
v
p
p
2
)
(
2
0
0
t
m
F
t
v
x
t
x
p
2
0
0
2
2
0
0
2
0
2
2
0
0
2
0
0
)
(
2
)
(
2
1
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
v
v
t
v
t
v
v
v
t
v
F
m
v
t
v
F
m
m
F
v
t
v
F
m
v
t
m
F
t
v
x
t
x
p
p
p
p
p
2
0
2
0
)
(
2
)
(
v
t
v
F
m
x
t
x
p
2
0
2
0
2
)
(
2
)
(
v
m
t
v
m
x
t
x
F
p
2
2
mv
energia kinetyczna cząstki
)
(
0
x
x
F
p
p
F
praca wykonana przez przyłożoną siłę jest równa
zmianie energii kinetycznej cząstki
2
0
2
0
2
)
(
2
)
(
v
m
t
v
m
x
t
x
F
p
praca wykonana na cząstce przez siłę
Wówczas
równanie to jest słuszne w granicy, gdy - toru
krzywoliniowego nie można
dokładnie
rozłożyć na skończoną
liczbę odcinków prostoliniowych.
Praca
–
iloczyn skalarny
wektorów siły i przemieszczenia
)
,
(
cos
r
F
r
F
r
F
W
p
p
p
const
r
F
F
p
p
)
(
const
r
F
p
)
(
N
i
i
i
p
N
N
p
p
p
p
r
r
F
r
r
F
r
r
F
r
r
F
r
r
F
W
1
3
3
2
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
i
r
x
y
F
p
r
1
r
2
r
Drogę rozkładamy na N odcinków liniowych takich, że na każdym z nich
B
A
i
r
r
p
i
i
i
p
r
r
d
r
F
r
r
F
W
)
(
)
(
lim
1
0
Pracę definiujemy jako:
B
A
p
r
d
r
F
B
A
W
)
(
a) Stała siła
A
B
p
B
A
p
x
x
F
dx
F
B
A
W
F
A
x
B
x
x
p
F
W
b) Siła zmienna, np. rozciągamy sprężynę:
kx
kx
F
p
B
A
A
B
x
x
k
dx
kx
B
A
W
2
2
2
1
2
2
1
,
0
kx
B
A
W
x
A
F
x
W
praca wykonana przez dowolną siłę = zmiana energii kinetycznej ciała
(przyjmiemy bez dowodu)
Siły zachowawcze
x
y
A
B
2
2
)
(
2
2
A
B
mv
mv
B
A
W
2
2
)
(
2
2
B
A
mv
mv
A
B
W
0
2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
B
A
A
B
mv
mv
mv
mv
A
B
A
W
Praca wykonana przez siłę zachowawczą po drodze zamkniętej
jest równa zeru.
Praca wykonana przez siłę zachowawczą nie zależy od kształtu
toru.
siły zachowawcze = siły potencjalne
B
A
p
p
p
r
d
F
B
A
W
A
E
B
E
)
(
)
(
)
(
r
A
p
p
p
r
d
F
A
E
r
E
)
(
)
(
Energia potencjalna
Przykładamy do ciała siłę F
p
równoważącą wszystkie inne siły
działające na ciało. Wówczas E
k
= const. Praca wykonana przez
siłę F
p
podczas przenoszenia tego ciała z punktu A do punktu B
pola zachowawczego = zmianie energii potencjalnej ciała
Energia potencjalna ciała w danym punkcie pola
wyznaczona jest z dokładnością do stałej addytywnej
Jeśli siłę przyłożoną zastąpimy siłą rzeczywiście działającą na
ciało
to energia potencjalna ciała w danym punkcie pola
lub względem punktu położonego w nieskończoności
Jeśli punkt A , wówczas i energia potencjalna
ciała
względem nieskończoności
r
p
r
d
F
r
E
)
(
r
A
p
p
r
d
F
A
E
r
E
)
(
)
(
F
F
p
F
0
)
(
p
E
r
p
p
r
d
F
r
E
)
(
Zasada zachowania energii mechanicznej
N
z
F
F
F
N
z
W
W
W
Na cząstkę działa siła
suma sił
zachowawczych
suma sił
niezachowawczych
Praca wykonana przez siłę
Praca wykonana przez
dowolne siły
podczas przenoszenia ciała
z punktu A do B = zmianie energii kinetycznej ciała
Praca wykonana przez
siły zachowawcze
= zmianie energii
potencjalnej ciała
kA
kB
E
E
B
A
W
W
)
(
pA
pB
z
E
E
B
A
W
W
)
(
N
pA
pB
kA
kB
W
E
E
E
E
0
0
0
N
N
F
W
const
E
E
Zmiana całkowitej energii mechanicznej układu
równa jest pracy sił niezachowawczych.
Jeśli na ciało (układ ciał) działają tylko siły
zachowawcze wówczas energia mechaniczna jest
stała.
N
cA
cB
W
E
E
E
N
pA
kA
pB
kB
W
E
E
E
E
energia całkowita
w punkcie B pola
energia całkowita
w punkcie A pola
Dynamika ruchu obrotowego:
• punktu materialnego
• bryły sztywnej
Bryła sztywna
– zbiór punktów, przy czym dla dowolnych dwóch
punktów A i B ich wzajemna odległość r
AB
jest stała w czasie,
niezależnie od przyłożonej siły.
A
B
r
AB
Moment siły
F
r
M
)
,
(
sin
F
r
rF
M
r
F
1
r
F
a
P
M
O
ramię siły
kierunek działania siły
dla punktu materialnego
p
r
L
Moment pędu punktu materialnego
p
r
L
p
r
rp
L
,
),
,
(
sin
v
m
r
L
L
v
m
r
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
wokół stałej osi obrotu
I
M
Moment siły działającej na punkt materialny jest
proporcjonalny do przyspieszenia kątowego jakie ten punkt
uzyskuje.
Współczynnikiem proporcjonalności jest moment
bezwładności.
Dla punktu materialnego
2
mr
I
na punkt materialny działa zewnętrzny
moment siły, to zmienia się moment pędu
tego punktu materialnego
dt
L
d
M
const
M
t
L
M
Układy punktów materialnych
Dla układu zawierającego n punktów materialnych zapiszemy:
n
i
i
n
L
L
L
L
L
L
1
3
2
1
oraz
n
i
i
i
n
n
n
r
m
r
m
r
m
r
m
r
m
I
I
I
I
I
1
2
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
2
1
dt
L
d
M
n
i
i
n
M
M
M
M
M
M
1
3
2
1
Zmiana całkowitego momentu pędu układu
punktów
materialnych w jednostce czasu względem
początku inercjalnego układu odniesienia jest
równa sumie zewnętrznych momentów sił
działających na układ
Ruch postępowo-obrotowy bryły sztywnej
toczenie ciał
Jak opisać taki ruch?
Załóżmy, że cylinder toczy się po poziomej powierzchni bez
poślizgu
Dowolny punkt toczącego się cylindra obraca się wokół
chwilowej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i
przechodzącej przez punkt P, prędkość liniowa każdego punktu
jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z punktem P
wartość bezwzględna tej prędkości jest proporcjonalna do
odległości między punktami
r
v
r
v
,
r
2
2
i
i
ki
v
m
E
i
i
i
k
v
m
E
2
2
i
i
r
v
i
i
i
i
i
i
k
r
m
r
m
E
2
2
2
2
2
2
i
i
i
r
m
I
2
moment bezwładności układu punktów materialnych
względem danej osi obrotu
2
2
I
E
k
dm
r
I
2
moment bezwładności bryły sztywnej względem
danej osi obrotu
Energia kinetyczna i-tego
punktu materialnego
Energia kinetyczna układu
punktów materialnych
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
r
2
2
mr
I
12
4
2
2
ml
mr
I
3
2
ml
I
5
2
2
mr
I
2
mr
I
r
l
Twierdzenie Steinera
2
0
md
I
I
0
I
d
I
2
0
5
2
mr
I
r
d
3
2
2
2
2
2
45
38
9
4
5
2
3
2
5
2
mr
mr
r
m
mr
I
P
S
Cylinder obraca się wokół punktu P z prędkością kątową
w danej chwili – jest to więc czysty ruch obrotowy.
Energia kinetyczna takiego ruchu
2
2
1
I
E
k
Z twierdzenia Steinera wynika
a więc energia kinetyczna cylindra wynosi
2
mr
I
I
S
2
2
2
2
1
2
1
mr
I
E
S
k
Iloczyn jest prędkością liniową środka masy cylindra
względem nieruchomego punktu P
r
2
2
2
1
2
1
S
S
k
mv
I
E
Prędkość środka masy względem punktu P jest taka sama jak
prędkość punktu P względem środka masy stąd prędkość
kątowa środka masy wokół punktu P jest taka sama jak prędkość
kątowa punktu P wokół środka masy
2
2
2
1
2
1
S
S
k
mv
I
E
energia kinetyczna
obracającego się cylindra
energia kinetyczna
cylindra poruszającego
się ruchem postępowym
P
S
Dowolny punkt znajdujący się na obwodzie walca obraca
się z prędkością v i z taką samą prędkością porusza się
prostoliniowo
M
dt
L
d
Ogólna postać II zasady dynamiki dla
ruchu obrotowego
Szybkość zmian momentu pędu jest równa momentowi siły
analogicznie do
F
dt
p
d
const
L
dt
L
d
M
0
0
Zasada zachowania momentu pędu
Moment pędu jest stały gdy nie działa zewnętrzny moment siły.
Związek pomiędzy krętem a prędkością kątową
const
L
const
I
2
2
1
1
I
I
I
L
Jeśli moment pędu jest zachowany, to