Przykład 1.3. Wyznaczanie toru punktu, jego prędkości i przyśpieszenia oraz promienia krzywizny toru – współrzędne biegunowe.
Punkt na płaszczyźnie porusza się tak, że jego równania ruchu we współrzędnych biegunowych (gdzie k i ω są stałymi dodatnimi) są postaci: r
t = k eω t
( )
ϕ (t ) = ω t
Wyznaczyć tor punktu, jego prędkość i przyśpieszenie oraz promień krzywizny toru.
ROZWIĄZANIE
1. Wyznaczenie toru punktu
Równanie toru uzyskamy rugując z równań ruchu parametr czasu. W tym celu wystarczy podstawić ω t = ϕ ( t ) do równania r( t ). Otrzymamy wtedy r = k e ϕ .
Zatem torem punktu jest spirala logarytmiczna.
2. Wyznaczenie prędkości punktu
Obliczamy składowe: promieniową i obwodową prędkości punktu, które określone są związkami:
dr( t )
V =
= k ω eω t
r
dt
dϕ ( t )
V = r
= rω = kω eω t ϕ
dt
Prędkość całkowita punktu wynosi zatem V t = V 2 + V 2 = 2 kω eω t ( )
= 2 ω r(t
r
)
ϕ
.
3. Wyznaczenie przyśpieszenia punktu Składowe: promieniowa i obwodowa przyśpieszenia wyrażają się związkami: d 2r( t )
dϕ ( t ) 2
a =
−
r
r
2
dt
dt
1 d
ϕ
2 d
a = ⋅
r
ϕ
r dt
dt
Obliczając potrzebne pochodne
1
e t
dt
d 2r( t )
= k ω 2 ω
e t
dt 2
dϕ = ω
dt
d 2 dϕ
d
r
k 2ω
ω
e2 t
2k 2 2
ω
ω
e2 t
dt
dt =
dt
=
i podstawiając do związków określających a , mamy:
r aϕ
a =
r
0
a = 2k 2
ω eω t
ϕ
Z powyższego wynika, że wektor przyśpieszenia punktu jest prostopadły do promienia wodzącego, a jego długość wynosi
a a
2kω 2eω t
=
=
= ω
2 2r( t ) .
ϕ
4. Wyznaczenie promienia krzywizny toru Promień krzywizny ρ związany jest ze składową normalną przyśpieszenia zależnością: 2
n
V
a =
, która pozwoli nam obliczyć jego długość.
ρ
Obliczmy składową an poprzez rozkład przyśpieszenia na kierunki styczny i normalny: 2
2
a2 = ( a n) + ( a τ ) .
2
Mamy stąd a n = a2 − ( a τ ) .
τ
dV
Składową styczną przyśpieszenia możemy obliczyć jako a =
dt
τ
d
uzyskując
a =
( ω 2r t ) = 2kω 2
( )
eω t .
dt
Wartość składowej a n wynosi więc a n
( 2k 2 2
eω t ) ( 2k 2
2
eω t
=
−
) = 2 k 2
ω
ω
e t
ω ω ,
a szukany promień krzywizny ρ wynosi (
2
2 ω ω
k e t )
ρ
ω
=
= 2 ke t = 2 r(t ).
2 ω 2 ω
k
e t
2