25.II.2002
wersja na dzień 26 lutego 2002 roku
2.1 Potencjały elektromagnetyczne – cecho-
wanie
Nie ma wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania:
czteropotencjał ⇐⇒ pola
Przyporządkowanie jest typu
czteropotencjał = ⇒ pola
Jako, że rot grad ≡ 0 to do potencjału wektorowego ~
A można dodać gra-
dient dowolnej funkcji skalarnej f , bez jakiejkolwiek zmiany pola indukcji magnetycznej ~
B. Ponieważ
~
1 ∂ ~
A
E = − grad φ − c ∂t
to zmiana
~
˜
A 7→ ~
A = ~
A + grad λ
(2.1a)
nie zmieni pola ~
E jeśli jednocześnie potencjał skalarny
1 ∂λ
φ 7→ ˜
φ = φ −
.
(2.1b)
c ∂t
Przekształcenia (2.1) nazywamy transformacją cechowania, a to, że pola ~
E i
~
B nie zmieniają się względem transformacji (2.1)nazywa się niezmienniczością 8
25.II.2002
9
elektrodynamiki względem transformacji cechowania. Można to uogólnić mó-
wiąc, że fizyczny sens mają tylko wielkości niezmiennicze względem transformacji cechowania.
Startując z dowolnego czteropotencjału ( φ, ~
A) można tak dobrać funkcję
˜
cechowania λ, aby nowy potencjał ( ˜
φ, ~
A) otrzymany z poprzedniego poprzez
transformację cechowania (2.1) spełniał ustalony przez nas warunek. Warunek ten zwykle dobieramy tak, aby uprościć odpowiednie równania.
Mówimy, że potencjał spełnia warunek Coulomba (ewentualnie mówi się o cechowaniu kulombowskim) jeśli
div ~
A = 0
(2.2)
Mówimy, że potencjał spełnia warunek Lorentza (ewentualnie mówi się o cechowaniu lorentzowskim) jeśli
1 ∂φ + div ~A = 0
(2.3)
c ∂t
Zatem z równań (1.10) i (1.11) wynika, że w cechowaniu kulombowskim czteropotencjał spełnia równania
4φ = − 4 πρ
(2.4)
1 ∂ 2 ~
A
4 π
1
∂Φ
4 ~
A −
= −
~ + grad
;
(2.5)
c 2 ∂t 2
c
c
∂t
W cechowaniu lorentzowskim czteropotencjał spełnia
1 ∂ 2 φ
4φ −
= − 4 πρ
(2.6)
c 2 ∂t 2
1 ∂ 2 ~
A
4 π
4 ~
A −
= −
~ ;
(2.7)
c 2 ∂t 2
c
Jako przykład pokażemy w jaki sposób otrzymać potencjał w cechowaniu lorentzowskim. Startujemy z potencjału ( φ, ~
A) takiego, że
1 ∂φ + div ~A = χ 6= 0
c ∂t
˜
Szukamy funkcji cechowania λ takiej, że dla ~
A = ~
A + grad λ i ˜
φ = φ − ∂tλ/c
1 ∂ ˜
φ
˜
+ div ~
A = 0
c ∂t
25.II.2002
10
Innymi słowy
1 ∂
1 ∂λ !
φ −
+ div ( ~
A + grad λ) = 0
c ∂t
c ∂t
Stąd otrzymuje się równanie na funkcję λ:
1 ∂ 2 λ
4λ −
= −χ
c 2 ∂t 2
2.2 Pułapki równań Maxwella
Rozwiązywanie zagadnień elektrodynamiki prowadzi zwykle przez etap szu-kania rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych. Są to albo równania Maxwella na pola elektromagnetyczne, albo równania na potencjały ~
A, φ.
Dla pewnych zagadnień odpowiedź można uzyskać analizując ogólną struk-turę teorii. Przykładem takiego podejścia do fizyki teoretycznej jest „Kurs Fizyki Teoretycznej” Landaua i Lifszyca.
Rozpatrując prosty przypadek o dobrze znanym rozwiązaniu dojdziemy do pewnych subtelnych, acz ważnych, własności równań Maxwella. Jako przykład weźmy ładunek punktowy q umieszczony w początku układu. Dobrze wiadomo, że pole elektryczne takiego umieszczonego w próżni ładunku ma postać
~
q
E( ~r) =
~r
r 3
Sprawdźmy czy spełnione jest w tym przypadku odpowiednie równanie Maxwella
div ~
E = 4 πρ
(2.8)
Bezpośrednim rachunkiem łatwo sprawdzić, że dla ~r 6= 0 równanie (2.8)jest spełnione. Problem pojawia się dla ~r = 0 gdzie dywergencja naszego ~
E ma
osobliwość. Problem polega tu należytym zdefiniowaniu gęstości ρ w przypadku ładunku punktowego. Z dotychczasowych rozważań wynika, że gęstość miałaby postać
0 ,
dla ~r 6= 0 ,
ρ( ~r) =
(2.9)
∞,
dla ~r = 0 .
co oczywiście nie rozwiązuje naszego problemu.
Weźmy całkową postać równania (2.8)
I
~
4 πq,
gdy ~ 0 ∈ V,
E · ~n dσ =
(2.10)
0 ,
gdy ~ 0 /
∈ V.
∂V
25.II.2002
11
W klasycznej analizie całkę z funkcji, która jest równa zeru prawie wszę-
dzie (tak jak w równaniu (2.9) można określić tylko poprzez odpowiednią procedurę graniczną. Również bezpośrednie stosowanie twierdzenia Gaussa do takiego tworu jest matematycznie mocno podejrzane. Biorąc jednak za punkt wyjścia równanie (2.10) można określić obiekt ogólniejszy niż kla-syczna funkcja, będący jednocześnie dobrym kandydatem na prawą stronę równania (2.8).
2.2.1 Funkcja delta Diraca
„Funkcję” delta Diraca, δ( x) określamy jako obiekt mający następujące własności:
1.
0 ,
gdy x 6= 0 ,
δ( x) =
∞,
gdy x = 0 .
2. dla dowolnej funkcji f ( x) :
b
Z
f (0)
gdy 0 ∈ [ a, b] ,
f ( x) δ( x) dx =
0 ,
gdy 0 /
∈ [ a, b] .
a
Stąd wynika, że dla dowolnej funkcji f ( x) : b
Z
f ( x
f ( x) δ( x − x
0)
gdy x 0 ∈ [ a, b] ,
0) dx =
0 ,
gdy x
a
0 /
∈ [ a, b] .
Uogólnienie na wielowymiarową deltę jest proste. W przypadku trzech wymiarów deltę „trójwymiarową” zapisujemy jako δ(3)( ~r) taką, że dla dowolnej funkcji f ( ~r) :
Z
f ( ~
r
f ( ~r) δ( ~r − ~r
0)
gdy ~r 0 ∈ V,
0) d 3 r =
0 ,
gdy ~r 0 /
∈ V.
V
2.3 Gęstość ładunku punktowego
Przy tak określonej delcie Diraca gęstość ładunku punktowego umieszczonego w punkcie ~r 0 można zapisać jako
ρ( ~r) = qδ( ~r − ~r 0) (2.11)
25.II.2002
12
Można zatem napisać
~r − ~r
q div
0
= 4 πqδ(3)( ~r − ~r
|~r − ~r
0)
0 | 3
Całkując obustronnie to równanie po objętości V otrzymuje się automatycz-nie równanie (2.10).
Rozpatrzmy teraz dowolny ciągły rozkład gęstości ładunku ρ( ~r). Formal-nie możemy zapisać
Z
ρ( ~r) =
d 3˜
rρ(˜
~r) δ(3)( ~r − ˜
~r)
Prawa strona tego równania może być interpretowana jako ciągła superpo-zycja ładunków punktowych takich, że ładunek ρ(˜
~r) znajduje się w punkcie
˜
~r. Pole elektryczne pochodzące od takiego ładunku (w próżni) jest równe
~r − ˜
~r
ρ(˜
~r) |~r − ˜ ~r| 3
Ponieważ pole pochodzące od superpozycji ładunków jest superpozycją pól od poszczególnych ładunków, to pole elektryczne pochodzące od gęstości ρ( ~r) jest równe
Z
~
~r − ˜
~r
E( ~r) =
d 3˜
rρ(˜
~r)
(2.12)
|~r − ˜
~r| 3
Otrzymaliśmy w ten sposób rozwiązanie równania Maxwella (2.8) dla dowolnej gęstości ładunku ρ( ~r). Rozwiązanie to ma taką samą postać również w przypadku gęstości zależnych od czasu ρ( ~r, t). Wtedy Z
~
~r − ˜
~r
E( ~r, t) =
d 3˜
rρ(˜
~r, t)
(2.13)
|~r − ˜
~r| 3
2.4 Zadania i ćwiczenia
Zadania z listy nr 2
Zadanie 1.
Wykorzystując przejście graniczne
1
lim q
a→ 0
( ~r − ~r0)2 + a 2
udowodnić, że:
1
4
= − 4 πδ(3)( ~r − ~r0)
|~r − ~r0|
25.II.2002
13
Zadanie 2.
Posługując się twierdzeniem Gaussa znaleźć pole elektryczne pochodzące od nie-skończenie długiej nici prostoliniowej, naładowanej elektrycznie ze stałą gęstością liniową τ .
Zadanie 3.
Wyznaczyć pole pochodzące od prostej nici o skończonej długości l. Nić jest naładowana elektrycznie ze stałą gęstością liniową τ .
Zadanie 4.
Pokazać, że zawsze można tak wybrać funkcję cechowania, aby „przecechowany”
czteropotencjał spełniał warunek Coulomba: div ~
A = 0.
Zadanie 5.
Pokazać, że potencjał wektorowy odpowiadający stałemu jednorodnemu polu magnetycznemu ~
B ma postać: 1 ~
B × ~r
2
Zadanie 6.
Znaleźć pola ~
E i ~
B oraz rozkłady ładunku i prądu odpowiadające czteropotencjałowi:
qt
V ( ~r, t) = 0 ,
~
A( ~r, t) = −
~r .
r 3
Ćwiczenia treningowe
Ćwiczenie 1.
Jeżeli na każdym z dwóch sąsiadujących i odizolowanych od siebie przewodników umieścimy równe, lecz przeciwne ładunki, to powstanie między nimi różnica potencjałów. Stosunek wielkości ładunku na przewodnikach to tej różnicy potencja-
łów jest pojemnością kondensatora. Stosując prawo Gaussa obliczyć pojemność: a) dwóch dużych, płaskich i równoległych przewodników o powierzchni S od-dzielonych od siebie odległością d,
b) dwóch koncentrycznych i przewodzących powierzchni walców o długości l, dużej w porównaniu z ich promieniami a i b ( b > a), c) dwóch koncentrycznych i przewodzących powierzchni kulistych o promieniach a i b ( b > a),
Ćwiczenie 2.
Pokazać, że potencjał wektorowy odpowiadający stałemu jednorodnemu polu magnetycznemu ~
B skierowanemu wzdłuż osi z ma postać:
~
• A = ( −yB/ 2 , xB/ 2 , 0)
25.II.2002
14
˜
~
• A = ( −yB, 0 , 0)
˜
Znaleźć transformację cechowania łączącą potencjały ~
A i ~
A.
Ćwiczenie 3.
Rozważmy czteropotencjał: V ( ~r, t) = 0 , ~
A = (0 , a 0 sin( kx − ωt) , 0) , gdzie a 0 , ω, k są stałe. Znaleźć pola ~
E, ~
B i sprawdzić jaki warunek należy nałożyć na współczynniki ω, k, aby były spełnione równania Maxwella w próżni.
Ćwiczenie 4.
Dla tych, którzy mają zacięcie teoretyczne. Wiadomo, że czteropotencjały połą-
czone ze sobą poprzez transformację cechowania odpowiadają tym samym po-lom ~
E, ~
B. Rozpatrzmy zagadnienie odwrotne: pokazać, że dla dowolnych dwóch czteropotencjałów takich, że
˜
1 ∂ ~
A
1 ∂ ~
A
− grad φ −
= − grad ˜
φ −
c ∂t
c ∂t
˜
rot ~
A = rot ~
A
istnieje funkcja λ taka, że
˜
~
A = ~
A + grad λ
˜
1 ∂λ
φ = φ − c ∂t