Dodatek A
Uzupełnienie matematyczne
wersja na dzień 7 marca 2002 roku
A.1
Lematy Green’a
Dla dowolnych (dostatecznie gładkich) funkcji f i g określamy funkcję wekto-
rową ~
K
:= f ∇g. Korzystając z twierdzenia Gaussa dla funkcji ~
K
otrzymamy
pierwszy lemat Green’a
:
Z
V
dV
(
−
→
∇f ·
−
→
∇g + f 4g) =
I
∂V
f
−
→
∇g · d~σ =
I
∂V
f
∂g
∂n
ds
(A.1)
gdzie ~n jest jednostkowym wektorem normalnym skierowanym na zewnątrz
objętości V .
Zamieniając miejscami f i g, a następnie odejmując stronami obie postaci
lematu Green’a otrzymuje się drugi lemat Green’a:
Z
V
dV
(f 4g − g4f ) =
I
∂V
f
∂g
∂n
− g
∂f
∂n
!
ds
;
(A.2)
A.2
Warunki brzegowe dla równania Poisso-
na
Mamy równanie potencjału
4 Φ = −4πρ ;
I
DODATEK A. UZUPEŁNIENIE MATEMATYCZNE
II
Bierzemy w drugim lemacie Green’a f = Φ, natomiast za funkcję g bierzemy
funkcję Green’a G(~r, ~r
1
). Dla ~r leżących wewnątrz V otrzymamy wtedy
Φ(~r) = − 4π
Z
V
d
3
r
1
G
(~r, ~r
1
)ρ(~r
1
)
+
I
∂V
Φ(~r
1
)
∂G
(~r, ~r
1
)
∂n
1
− G(~r, ~r
1
)
∂
Φ(~r
1
)
∂n
1
!
ds
1
;
(A.3)
A.2.1
Warunki brzegowe Dirichleta
Zadany jest warunek brzegowy na powierzchni zamkniętej S jako warunek
na funkcję Φ:
Φ(~r)|
~
r∈S
= u
0
(~r)
Dobiera się wtedy funkcję Green’a tak, że dla dowolnego ~r
G
(~r, ~r
1
)|
~
r
1
∈S
= 0 .
(A.4)
Wtedy funkcja Φ dana przez
Φ(~r) = −4π
Z
V
d
3
r
1
G
(~r, ~r
1
)ρ(~r
1
) +
I
∂V
u
0
(~r
1
)
∂G
(~r, ~r
1
)
∂n
1
ds
1
;
(A.5)
jest rozwiązaniem naszego zagadnienia.
A.2.2
Warunki brzegowe Neumanna
Zadany jest warunek brzegowy na powierzchni zamkniętej S jako warunek
na pochodną funkcji Φ
∂
Φ
∂n
~
r
1
∈S
= u
1
(~r)
Nie można powtórzyć dokładnie metody użytej przy rozwiązywaniu zagad-
nienia Dirichleta ponieważ nie jesteśmy w stanie tak dobrać funkcji Green’a
aby
∂G
(~r, ~r
1
)
∂n
1
~
r
1
∈S
= 0
Dzieje się tak ponieważ z prawa Gaussa i definicji funkcji Green’a wynika, że
I
∂V
∂G
(~r, ~r
1
)
∂n
1
ds
1
= 1
DODATEK A. UZUPEŁNIENIE MATEMATYCZNE
III
I rzeczywiście:
1 =
Z
V
d
3
r
1
4
(r
1
)
G
(~r, ~r
1
) =
I
∂V
grad
(r
1
)
G
(~r, ~r
1
) · d~σ
1
=
I
∂V
∂G
(~r, ~r
1
)
∂n
1
ds
1
Oznaczmy
<
Φ >
S
=
1
S
I
S
ds
Φ ;
Na funkcję Green’a możemy natomiast nałożyć warunek
∂G
(~r, ~r
1
)
∂n
1
~
r
1
∈S
=
1
S
;
(A.6)
Wtedy funkcja
Φ(~r) =< Φ >
S
−4π
Z
V
d
3
r
1
G
(~r, ~r
1
)ρ(~r
1
) −
I
∂V
G
(~r, ~r
1
)u
1
(~r
1
) ds
1
;
(A.7)
jest rozwiązaniem naszego zagadnienia brzegowego. Występujący po prawej
stronie czynnik liczbowy < Φ >
S
ma charakter addytywnego czynnika nor-
mującego funkcję Φ: jeśli funkcja Φ jest rozwiązaniem zagadnienia Neumanna
to funkcja ˜
Φ = Φ + C jest również rozwiązaniem tego zagadnienia. Jeśli S
jest powierzchnią w nieskończoności, to < Φ >
S
= 0 i ostateczne rozwiązanie
ma postać
Φ(~r) = −4π
Z
V
d
3
r
1
G
(~r, ~r
1
)ρ(~r
1
) −
I
∂V
G
(~r, ~r
1
)u
1
(~r
1
) ds
1
;
(A.8)
A.2.3
Mieszane warunki brzegowe
Mieszanymi warunkami brzegowymi nazywamy zagadnienie gdzie na części
powierzchni S zadana jest funkcja Φ, a na pozostałej części zadana jest po-
chodna normalna do powierzchni:
d
Φ
dn
.
Można dowieść, że jednoczesne zadanie funkcji i jej pochodnej na po-
wierzchni prowadzi na ogół do sprzeczności. Wiąże się to z tym, że jak zna-
jomość bądź funkcji bądź pochodnej na danej powierzchni prowadzi do jed-
noznacznego określenia funkcji w pozostałej części przestrzeni. Wynika to
chociażby z wzorów (A.5) i (A.7). Jednoczesne nałożenie obu tych warun-
ków prowadziłoby do dwóch różnych rozwiązań tego samego równania, co
jest sprzeczne z udowodnionym twierdzeniem o jednoznaczności rozwiązania
warunku brzegowego.
DODATEK A. UZUPEŁNIENIE MATEMATYCZNE
IV
Przy okazji warto tu zwrócić uwagę na swoistości równań różniczkowych
cząstkowych. W przypadku jednej zmiennej odpowiednikiem równania Pois-
sona jest równanie różniczkowe drugiego rzędu
d
2
f
dx
2
= g
Dla jednoznaczności rozwiązania konieczne jest tu jednoczesne zadanie za-
równo funkcji jak i jej pierwszej pochodnej w danym punkcie (lub też każde
w innym). Widać więc, że sytuacja jest odmienna od tej, z jaką mamy do
czynienia w przypadku równań cząstkowych.