Wykład 9

22.IV.2002

wersja na dzień 29 kwietnia 2002 roku

9.1 Momenty multipolowe

9.1.1 Multipole w magnetostatyce – cd.

Podobnie jak w elektrostatyce postępujemy z wyrażeniem na potencjał wek-
torowy ~

A. Pierwszymi wyrazami rozwinięcia będą

~

A( ~

R) =

1

cR

Z

d

3

r~(~r) +

1

cR

3

Z

d

3

r( ~

R · ~r)~(~r) + · · ·

(9.1)

Łatwo można sprawdzić, że pierwszy wyraz tego rozwinięcia jest równy zeru.
Ponieważ zagadnienie jest magnetostatyczne to div ~ = 0. Stąd wynika

3

X

i=1

d

dr

i

r

k

j

i

=

3

X

i=1

δ

i k

j

i

+

3

X

i=1

r

k

dj

i

dr

i

= j

k

+ r

k

div ~ = j

k

Mamy więc dla każdego prądu ~ – zlokalizowanego i zachowanego

Z

d

3

rj

k

(~r) =

3

X

i=1

Z

d

3

r

d

dr

i

r

k

j

i

=

I

∂V

r

k

~ · d~σ = 0 .

(9.2)

Przedostatnia równość wynika z twierdzenia Gauss’a, a ostatnia z faktu,

że prąd ~ jest zlokalizowany, czyli nie przepływa przez powierzchnię ∂V .

Pierwszym nieznikającym tożsamościowo członem rozwinięcia multipolo-

wego potencjału wektorowego ~

A jest więc

1

cR

3

Z

d

3

r( ~

R · ~r)~(~r)

(9.3)

48

WYKŁAD 9.

22.IV.2002

49

Występujące pod powyższą całką wyrażenie r

k

j

i

(~r) przekształcamy podobnie

jak już to czyniliśmy poprzednio:

3

X

i=1

d

dr

i

r

s

r

k

j

i

=

3

X

i=1

δ

i k

r

s

j

i

+

3

X

i=1

δ

i s

r

k

j

i

+ r

s

r

k

div ~ = r

s

j

k

+ r

k

j

s

.

Stąd zaś na mocy twierdzenia Gauss’a wynika dla każdego prądu ~ – zloka-
lizowanego i zachowanego

Z

d

3

r r

s

j

k

(~r) = −

Z

d

3

r r

k

j

s

(~r)

(9.4)

lub równoważnie

Z

d

3

r r

s

j

k

(~r) =

1
2

Z

d

3

r[r

s

j

k

(~r) − r

k

j

s

(~r)]

(9.5)

Stosując tożsamość (9.5) do wyrażenia (9.3) mamy

Z

d

3

r( ~

R · ~r)~(~r) =

1
2

Z

d

3

r[( ~

R · ~r)~ − ( ~

R · ~)~r] =

1
2

Z

d

3

r ~

R × (~ × ~r) (9.6)

Moment magnetyczny

~

m określamy jako

~

m =

1

2c

Z

d

3

r ~ × ~r .

(9.7)

Mamy zatem ostatecznie

~

A( ~

R) =

~

m × ~

R

R

3

+ · · ·

(9.8)

Otrzymana stąd indukcja magnetyczna jest postaci

~

B( ~

R) = rot ~

A( ~

R) =

3~n (~n · ~

m) − ~

m

R

3

+ · · ·

Gdy prąd jest generowany przez ruch ładunków punktowych {q

i

, M

i

}

~(~r) =

X

i

q

i

~v

i

δ(~r − ~r

i

)

~

m =

1

2c

X

i

q

i

(~r

i

× ~v

i

) =

X

i

q

i

1

2M

i

c

~

L

i

gdzie ~

L

i

jest momentem pędu i-tej cząstki.

WYKŁAD 9.

22.IV.2002

50

9.2 Elektrostatyczna energia potencjalna

Bierzemy ładunek próbny q umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym

~

E(~r). Działającą siłą jest

~

F = q ~

E = −q∇Φ

Dla przeniesienia ładunku z nieskończoności do punktu ~r, trzeba wykonać

pracę

−

~

r

Z

∞

d~l · ~

F = qΦ(~r)

Znak minus pojawia się tu ponieważ praca jest wykonana wbrew siłom

pola. W przypadku układu ładunków {g

j

} ich wzajemna energia wynosi

W =

1
2

X

i6=j

q

i

q

j

|~r

i

− ~r

j

|

,

gdzie czynnik 1/2 jest wprowadzony dla uniknięcia podwójnego liczenia

tych samych energii. Dla ciągłego rozkładu mamy (z uwzględnieniem wkła-
dów od energii własnej)

W =

1
2

Z

d

3

rd

3

r

0

ρ(~r)ρ(~r

0

)

|~r − ~r

0

|

=

1
2

Z

d

3

rρ(~r)Φ(~r) =

= −

1

8π

Z

d

3

rΦ(~r)4Φ(~r) =

1

8π

Z

d

3

r|∇Φ(~r)|

2

=

=

1

8π

Z

d

3

rE

2

Ostatnie wyrażenie identyfikujemy z energią pola elektrostatycznego.

9.3 Energia w polu magnetycznym

Weźmy zlokalizowany i stacjonarny obwód prądu ~(~r) umieszczony w ze-
wnętrznym polu indukcji magnetycznej ~

B(~r). Siłą działającą na punktowy

ładunek qporuszający się w polu indukcji magnetycznej jest siła Lorentz’a

~

F =

q

c

~v × ~

B .

(9.9a)

Siłą działająca na obwód z prądem jest naturalne uogólnienie siły Lorentz’a:

~

F =

1

c

Z

d

3

r~(~r) × ~

B(~r)

(9.9b)

WYKŁAD 9.

22.IV.2002

51

Nasz obwód jest na tyle mały, że indukcja ~

B zmienia się niewiele w obsza-

rze lokalizacji prądu. Pozwala to wykorzystać rozwinięcie ~

B w szereg Taylora

(początek układu znajduje się wewnątrz obszaru lokalizacji):

B

j

(~r) = B

j

(0) + ~r · ~

∇B

j

|

0

+ · · ·

Dla późniejszych obliczeń wygodnie jest zapisać powyższe wyrażenie używa-
jąc oznaczenia

1

~

B(~r) = ~

B(0) + (~r · ~

∇

ξ

) ~

B(ξ)|

ξ=0

+ · · ·

(9.10)

W równaniu (9.9b) wkład od pierwszego wyrazu w rozwinięciu (9.10) znika
z uwagi na tożsamość (9.2). Ograniczając się tylko do wkładu od pierwszego
nieznikającego członu mamy

~

F =

1

c

Z

d

3

r ~(~r) × (~r · ~

∇

ξ

) ~

B(ξ)





ξ=0

=

1

c

Z

d

3

r (~r · ~

∇

ξ

)



~(~r) × ~

B(ξ)






ξ=0

.

(9.11a)

Z wykorzystaniem tożsamości (9.5) ostatnie wyrażenie można zapisać jako

1

2c

Z

d

3

r

h

(~r · ~

∇

ξ

)



~(~r) × ~

B(ξ)



− (~(~r) · ~

∇

ξ

)



~r × ~

B(ξ)

i




ξ=0

=

1

2c

Z

d

3

r

h

(~r · ~

∇

ξ

)~(~r) − (~(~r) · ~

∇

ξ

)~r

i

× ~

B(ξ)





ξ=0

,

(9.11b)

Wyrażenie na ~

F będzie miało postać

~

F =

1

2c

Z

d

3

r

h

(~r × ~(~r)) × ~

∇

ξ

i

× ~

B(ξ)





ξ=0

=



~

m × ~

∇

ξ



× ~

B(ξ)





ξ=0

.

(9.11c)

Siła jest wtedy równa

~

F = ( ~

m × ~

∇

ξ

) × ~

B(ξ)|

ξ=0

= grad ( ~

m · ~

B)|

ξ=0

− ~

m div ~

B(ξ)|

ξ=0

= grad ( ~

m · ~

B) .

(9.12)

1

dobra notacja jest podstawą sukcesu!

WYKŁAD 9.

22.IV.2002

52

9.4 Zadania i ćwiczenia

9.4.1 Ćwiczenia treningowe

Ćwiczenie 1.
Rozpatrzmy naładowane ciało o masie

M i ładunku Q, poruszające się z mo-

mentem pędu ~

L. Kiedy będzie zachodził związek

~

m =

Q

2M c

~

L ,

gdzie

~

m jest momentem magnetycznym ciała.

Ćwiczenie 2.
Sprawdzić związek z poprzedniego ćwiczenia w przypadku jednorodnej, jedno-
rodnie naładowanej kuli o całkowitym ładunku

Q, masie M i promieniu R. Kula

wiruje z prędkością kątową

ω.