Wykład 12

13.V.2002

wersja na dzień 20 maja 2002 roku

12.1

Energia pola elektromagnetycznego – cd

12.2

Rozchodzenie się prądu elektrycznego

Przekaz energii związany z prądem elektrycznym wiąże się z energią pola
elektromagnetycznego wytwarzanego przez płynący prąd. Przewody odgry-
wają rolę prowadnic wzdłuż których rozchodzi się energia. Ilustracją będą
dwa przykłady.

Prostoliniowy przewodnik walcowy

Rozważmy przewodnik w kształcie walca o promieniu r. Płynie w nim prąd
stały o gęstości ~, ewentualnie prąd na tyle wolno zmienny, że w równaniach
Maxwell’a można zaniedbać prąd przesunięcia. Zgodnie z prawem Ohma

~

= λ ~

E

. λ jest przewodniością właściwą i dla niedoskonałych przewodników

λ

6

= ∞.

Rozpatrujemy pole tuż przy powierzchni przewodnika. Ze względu na

ciągłość składowych stycznych pola elektrycznego, na zewnątrz przewodnika
tuż przy powierzchni, mamy równoległe do niego pole elektryczne ~

E

. Pole

magnetyczne otrzymuje się z twierdzenia Stokes’a:

2πrH =

c

4π

πr

2

j .

W tym miejscu został wykorzystany fakt wolnozmienności prądu!

Strumień energii elektromagnetycznej jest dany przez wektor Poyntinga

~

S

=

4π

c

~

E

× ~

H

;

63

WYKŁAD 12.

13.V.2002

64

Strumień ten jest zatem skierowany prostopadle do powierzchni i w głąb
przewodnika. Liczymy energię wnikającą w głąb przewodnika, na długości l,
w jednostce czasu. Jest on równy

S

·

2πrl =

j

2

r

2

lπ

λ

Ciepłem

wydzielonym w przewodniku w jednostce czasu i objętości jest

Q

= ~ · ~

E

=

j

2

λ

W całej objętości, na długości l, będzie ono równe

j

2

λ

πr

2

l

;

czyli jest równe energii elektromagnetycznej wpływającej do przewodnika.

Prostoliniowy kabel koncentryczny

Rozpatrzmy prostoliniowy kabel koncentryczny posiadający zerowy opór elek-
tryczny. W wewnętrznym przewodniku o promieniu r

1

płynie prąd o natęże-

niu I, w zewnętrznej części płynie prąd o natężeniu −I. Obszar r

1

< ρ < r

2

jest wypełniony dielektrykiem. Wzdłuż kabla nie ma spadku napięcia, nato-
miast różnica potencjałów między wewnętrznym i zewnętrznym przewodni-
kiem wynosi V .

Bierzemy cylindryczny układ współrzędnych, z osią z skierowaną wzdłuż

kabla. Ze względu na brak oporu elektrycznego E

z

= 0, a z uwagi na symetrię

E

ϕ

= 0. Pozostaje tylko niezerowa składowa E

ρ

. Pole elektryczne spełnia w

naszym przypadku

div ~

E

= 0 =

1
ρ

∂

∂ρ

(ρE

ρ

) ;

Wynika stąd, że

E

ρ

=

a
ρ

Stałą a wyznacza się z warunku

V

=

r

2

Z

r

1

E

ρ

dρ

=⇒ E

ρ

=

V

ρ

ln



r

2

r

1



;

Natężenie pola magnetycznego otrzymuje się z twierdzenia Gauss’a.

H

= H

ϕ

=

2I

cρ

;

WYKŁAD 12.

13.V.2002

65

Wektor Poyntinga

S

= S

z

=

c

4π

EρH

ϕ

=

1

2π

V I

ρ

2

ln



r

2

r

1



,

;

Strumień energii przechodzący przez przekrój poprzeczny kabla w jednostce
czasu jest równy

Q

=

Z

S

Sdσ

= 2π

r

2

Z

r

1

Sρdρ

= V I ;

otrzymujemy więc, że moc wydzielana w odbiorniku równa jest energii do-
starczanej przez falę elektromagnetyczną rozchodzącą się wzdłuż kabla

.

W przypadku większych częstotliwości rosną straty związane z wypromie-

niowaniem fali elektromagnetycznej przez przewód, który zaczyna zachowy-
wać się jak antena.

. . .