Wykład 5
18.III.2002
wersja na dzień 19 marca 2002 roku
5.1 Funkcje Green’a poprzez metodę obra-
zów
Rozpatrzmy sferę S o promieniu R ze środkiem w początku układu. Dla ~r 6= 0
określamy przekształcenie inwersji
~r 7→ ~r
∗
=
R
2
r
2
~r
(5.1)
Punkty ~r i ~r
∗
nazywają się symetrycznymi względem sfery S.
Definicja. Niech funkcja f(~r) będzie funkcją harmoniczną na zewnątrz sfery
S
. Przekształceniem Kelvin’a funkcji f nazywamy funkcję
f
∗
(~r
∗
) =
R
r
∗
f
R
2
r
∗2
~r
∗
!
Bezpośrednim rachunkiem (vide Ćwiczenia treningowe) pokazuje się, że
jeśli funkcja f jest harmoniczna na zewnątrz sfery S, to funkcja f
∗
(~r
∗
) jest
harmoniczna wewnątrz sfery S. Zauważmy, że gdy r = R to przekształcenia
inwersji i przekształcenie Kelvin’a stają się tożsamościami:
~r
∗
= ~r
(5.2)
f
∗
(~r
∗
) = f(~r)
(5.3)
Rozpatrzmy nieruchomy ładunek punktowy q umieszczony w punkcie ~a. W
próżni ładunek ten generuje potencjał elektrostatyczny
Φ(~r) =
q
|~r − ~a|
(5.4)
24
WYKŁAD 5.
18.III.2002
25
spełniający równanie
4Φ(~r) = −4qπδ(~r − ~a)
Oznacza to, że wszędzie z wyjątkiem punktu ~r = ~a potencjał spełnia równa-
nie jednorodne
4Φ(~r) = 0
W szczególności, gdy z początku układu wyprowadzimy sferę o promieniu R,
to wszędzie na zewnątrz sfery potencjał będzie spełniał równanie Laplace’a.
Wykonajmy na funkcji Φ przekształcenia Kelvin’a względem naszej sfery.
Otrzymamy w wyniku funkcję
Φ
∗
(~r
∗
) =
R
r
∗
q
|R
2
~r
∗
/r
∗2
− ~a|
=
R
r
∗
q
R
4
/r
∗2
+ a
2
− 2R
2
a
cos θ/r
∗
(5.5)
Po przekształceniach otrzymujemy
Φ
∗
(~r
∗
) =
q R
a
√
r
∗2
+ a
∗2
− 2r
∗
a
∗
cos θ
(5.6)
gdzie
a
∗
=
R
2
a
jest długością wektora ~a
∗
otrzymanego z ~a przekształceniem inwersji wzglę-
dem naszej sfery.
Z ogólnych własności przekształcenia Kelvin’a wynika, że
• funkcja Φ
∗
(~r) spełnia równanie Laplace’a dla {~r: r < R} czyli wewnątrz
sfery
• funkcja Φ
∗
(~r) jest równa funkcji Φ(~r) gdy r = R
• punkt ~
a
∗
leży na zewnątrz sfery (o ile tylko a < R)
Jednocześnie funkcja (5.6) ma postać potencjału elektrostatycznego związa-
nego z ładunkiem punktowym qR/a umieszczonym w punkcie ~a
∗
.
5.1.1 Powierzchnia graniczna – wnętrze sfery
Rozpatrzmy teraz funkcję, która jest różnicą:
Ω(~r) = Φ(~r) − Φ
∗
(~r)
i zbadajmy jej własności dla r ¬ R. Widać natychmiast, że
WYKŁAD 5.
18.III.2002
26
•
4Ω = −4qπδ(~r − ~a)
• Ω(~
r
)|
r
=R
= 0
W ten sposób pokazaliśmy, że funkcja
G
(~r,~a) = −
1
4π
1
|~r − ~a|
−
R
a |~r − ~a
∗
|
!
(5.7)
jest funkcją Green’a rozwiązującą zagadnienie Dirichleta dla sfery o promie-
niu R. Funkcja ta z dokładnością do czynnika −1/4π odpowiada potencjało-
wi elektrostatycznemu wytworzonemu przez ładunek punktowy umieszczony
wewnątrz uziemionej przewodzącej sfery. Potencjał ten przedstawiony jest na
rys. (5.1). Sfera o środku w początku układu ma promień R = 2. Ładunek
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
Rysunek 5.1: Przekrój przez powierzchnie ekwipotencjalne punktowego ła-
dunku wewnątrz uziemionej sfery
WYKŁAD 5.
18.III.2002
27
punktowy umieszczony jest w punkcie o współrzędnych (1, 0, 0). Na rysun-
ku przedstawiony jest przekrój powierzchni ekwipotencjalnych płaszczyzną
z
= 0. Ponieważ sfera jest uziemiona to na zewnątrz sfery potencjał jest
równy zeru.
Widać zatem, że funkcja Green’a G(~r, ~r
0
) (5.7) rozwiązująca zagadnienie
Dirichleta dla wnętrza sfery o promieniu R ma postać, która formalnie odpo-
wiada potencjałowi elektrostatycznemu dwóch ładunków punktowych: jeden
o ładunku jednostkowym umieszczony wewnątrz sfery w punkcie ~r
0
,
(r
0
< R
)
i drugi o ładunku −R/r
0
.
Ten drugi ładunek (ładunek – obraz, ładunek –
duch) umieszczony jest w punkcie ~r
∗
0
powstałym z z ~r
0
przez przekształcenie
inwersji (5.1).
5.1.2 Powierzchnia graniczna – płaszczyzna
Przypadek graniczny promienia sfery R → ∞ odpowiada zagadnieniu, gdy
obszarem V jest półprzestrzeń, której jednym brzegiem jest płaszczyzna, na-
tomiast pozostała część brzegu znajduje się w nieskończoności. Przy takim
przejściu granicznym za stały parametr obieramy odległość ładunku od po-
wierzchni sfery. Odległość tą oznaczamy jako δ :
δ
= R − a .
Przez δ
∗
oznaczmy odległość ładunku–obrazu od powierzchni sfery. Wtedy
obliczona z (5.7) odległość r
∗
od środka sfery jest równa R + δ
∗
i związek
(5.7) daje
R
+ δ
∗
=
R
2
R − δ
Mamy stąd
δ
∗
=
Rδ
R − δ
,
co w granicy R → ∞ daje δ = δ
∗
.
Również wielkość ładunku–obrazu pozostaje taka sama (co do wartości
bezwzględnej):
q
∗
=
qR
a
=
qR
R − δ
→ q dla R → ∞
.
WYKŁAD 5.
18.III.2002
28
5.2 Zadania i ćwiczenia
Zadania z listy nr 4
Zadanie 1.
Pokazać, że dla przekształcenia inwersji mamy
• ~
r
∗∗
= ~r
• rr
∗
= R
2
Zadanie 2.
Na wykładzie została wyprowadzona funkcja Green’a dla wnętrza sfery o
promieniu R przy założeniu, że środek sfery pokrywa się ze środkiem układu
współrzędnych. Wyznaczyć postać funkcji Green’a jeśli środek sfery znajduje
się w punkcie ~
R.
Zadanie 3.
Napisać jawną postać funkcji Green’a dla płaszczyzny.
• Naszkicować powierzchnie ekwipotencjalne oraz linie sił pola elektrycz-
nego generowane przez ładunek punktowy znajdujący się w odległości
a
od uziemionej płaszczyzny przewodzącej.
• Obliczyć gęstość ładunku indukowanego na płaszczyźnie.
• Obliczyć ładunek indukowany na płaszczyźnie zawarty wewnątrz okrę-
gu o promieniu R. Środek okręgu wyznaczony jest przez rzut prosto-
padły ładunku na płaszczyznę.
Ćwiczenia treningowe
Ćwiczenie 1.
Zapisać przekształcenie inwersji we współrzędnych sferycznych.
Ćwiczenie 2.
Pokazać, że zachodzi
4
(~
r
∗
)
f
∗
(~r
∗
) =
r
5
R
5
4f(~r)
Ćwiczenie 3.
Otrzymać wynik
(5.6) posługując się wyłącznie zapisem wektorowym
Φ(~r
∗
) =
R
r
∗
q
|R
2
~r
∗
/r
∗2
− ~a|
,
tzn. bez rozpisywania wyrażenia na pierwiastek itd. . .
WYKŁAD 5.
18.III.2002
29
Wskazówka
: wykorzystać fakt, że każdy wektor ~
b można zapisać jako
~b = b ~n
b
,
gdzie
~n
b
=
~b
b
.
Potem w przedostatnim kroku trzeba jeszcze coś zauważyć, co wiąże się z wła-
snościami iloczynu skalarnego. Potem jest już z górki.