Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7 p. ] a) Wiadomo, że



1 2 − 1 

A · B− 1 =  2 3

0  .





3 5

7

Znaleźć taką macierz X, aby spełniała ona równanie B− 1 · X · A = I.

[2 p. ] b) Dana jest macierz A wymiaru 2 × 3 i macierz nieosobliwa B stopnia 3.

Które z iloczynów: ABA, B− 1 AT A, B 2 A, AAT B− 1 istnieją? Odpowiedź uzasadnić.

2. [7 p. ] Rozwiązać nierówność

1

1

1

1 1

1

2

1

x 2

3

3 x − 1 0 < 0

x x x

x 2 0

1

1

1

2 1

3. [7 p. ] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań



λx + y + z = 1





x + y − z = λ





x − y + λz = 1

[2 p. ] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera n równań z n niewiadomymi, gdzie n jest dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Odpowiedź uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7 p. ] a) Dane są proste l 1 i l 2 o równaniach



x = − 1 + 2 t



x = − 3 t



1



2





l 1 :

y = 2 + t 1

, t 1 ∈ R,

l 2 :

y = 5 + t 2

, t 2 ∈ R







z = − 1 − 2 t 1



z = − 4 + t 2

Znaleźć punkt przecięcia tych prostych i równanie płaszczyzny zawierającej obie proste.

[2 p. ] b) Sprawdzić, czy punkty A(1 , 3 , 0), B(2 , 4 , 5) i C(3 , 5 , 9) należą do jednej prostej.

√

5. [4 p. ] a) Niech z = ( 3 + i)9(1 − i)5. Obliczyć |z| oraz Arg z.

[3 p. ] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

π

I

sin

z

2

dz,

z 2 − 1

C

gdzie C jest okręgiem |z − 1 | = 1 zorientowanym dodatnio.

3 s 2 + 9 s + 14

6. [7 p. ] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a F ( s) =

.

s 3 + 4 s 2 + 7 s

[2 p. ] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [ dla chętnych] [5 p. ] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający największej z wyznaczonych wartości własnych macierzy



2 − 1 − 6 

A =  0

1

0  .





0

0

− 1