Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Wiadomo, że
B
−1
· A
T
=
0
1 2
0
3 5
−1 1 1
.
Znaleźć taką macierz X, aby spełniała ona równanie A
T
· X · B
−1
= 2I.
[2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 3 × 2 i macierz nieosobliwa B stopnia 3.
Które z iloczynów: B
2
A
T
, AA
T
B
−1
, B
−1
AB
T
, (AA
T
)
2
istnieją? Odpowiedź uzasadnić.
2. [7p.] Rozwiązać nierówność
0 −1 −1 −1 2
x
x
x
0 1
1
2
x −1 1
1
2
0
1 1
2
1
1
1 0
< 3 − 6x
2
3. [7p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
x + λy + z = 1
2x + y + z = λ
x + y + λz = λ
2
[2p.] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera n równań z n niewiadomymi,
gdzie n jest dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Odpowiedź uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] a) Wykazać, że proste l
1
i l
2
l
1
:
x = 2 + 4t
y = −6t
z = −1 − 8t
, t ∈ R,
i
l
2
:
x − 7
−6
=
y − 2
9
=
z
12
są równoległe. Obliczyć odległość między nimi i wyznaczyć równanie płaszczyzny, w której one
leżą.
[2p.] b) Sprawdzić, czy punkty A(1, 3, 0), B(2, 4, 5), C(3, 5, 9) i D(0, 1, 2) należą do jednej
płaszczyzny.
5. [4p.] a) Niech z =
(i − 1)
6
(1 +
√
3i)
8
. Obliczyć |z| oraz Argz.
[3p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
I
C
dz
(z
2
+ 1)
2
,
gdzie C jest okręgiem |z + i| = 1 zorientowanym dodatnio.
6. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a F (s) =
−s
3
+ 5s
2
+ 6s + 15
s
4
+ 2s
3
+ 5s
2
.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji potęgowej f (t) = t
n
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający najmniejszej
dodatniej z wyznaczonych wartości własnych macierzy
A =
1
0
0
2
2
0
−1 −1 −1
.